广西专用高考数学一轮复习考点规范练28平面向量的数量积与平面向量的应用含解析新人教A版理

考点规范练28　平面向量的数量积与平面向量的应用

基础巩固

1.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是(　　)

A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||

C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2

答案:B

解析:A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;

B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.

故不等式不恒成立;

C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;

D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.

综上,故选B.

2.(2020全国Ⅲ,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=(　　)

A.- B.- C D

答案:D

解析:∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,

∴cos<a,a+b>=

3.(2020海南海口期中)在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=1.点M满足=2,则=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:C

解析:由题意知,△ABC为等腰直角三角形,

∴AC=,∠BAC=45°.

=2,∴点A为线段BM的中点.

∴AM=AB=1.

=()=()2+1cos45°=3.故选C.

4.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　)

A.-3 B.-2 C.2 D.3

答案:C

解析:由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0).所以=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.

5.设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3=2,则=(　　)

A.20 B.15 C.9 D.6

答案:C

解析:因为=3=2,所以,则==9.

6.已知平面向量的模都为2,<>=90°,若=(λ≠0),则()=(　　)

A.4 B.2 C D.0

答案:A

解析:设BC的中点为N,根据向量加法的平行四边形法则得到=2,所以()=2平面向量的模都为2,AN是Rt△ABC的中线,则||=,AN⊥BC.由向量投影的几何意义可得2=2||2=4.故选A.

7.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为(　　)

A B C.5 D.13

答案:B

解析:由题意,得2×6+3x=0,解得x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=

8.(2020安徽六安检测)点P为椭圆=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=1的任意一条直径,则的取值范围是(　　)

A.(8,24) B.[8,24] C.[5,21] D.(5,21)

答案:B

解析:连接PN.由题意得=()·()=()·()=-1.

由椭圆的方程知a=4,c=1,所以圆心N(1,0)也为椭圆的右焦点.

所以a-c≤||≤a+c,即3≤||≤5.

所以的范围是[8,24].故选B.

9.(2020吉林梅河口模拟)如图,已知在圆O中,弦AB的长为,圆上的点C满足=0,那么方向上的投影为(　　)

A B.-

C D.-

答案:D

解析:连接BC,取AB的中点D,连接OD,

则OD⊥AB,=2

由=0,得2=-,

所以点O,C,D共线.

又OD垂直平分AB,

所以CD垂直平分AB.

所以AC=BC.同理AB=AC.

所以△ABC是等边三角形.

所以∠OAC=30°.

又弦AB的长为,所以方向上的投影为-||·cos30°=-=-,故选D.

10.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量在向量方向上的投影为　　　　　. 

答案:

解析:由A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),得=(2,2),=(-1,3),=2×(-1)+2×3=4,||=,则向量在向量方向上的投影为

11.设e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+λe2与b=2e1-3e2垂直,则λ=　　　　　. 

答案:

解析:∵e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,

∴|e1|=|e2|=1,e1·e2=

∵(e1+λe2)⊥(2e1-3e2),

∴(e1+λe2)·(2e1-3e2)=2+(2λ-3)e1·e2-3=2+(2λ-3)-3λ=0.∴λ=

12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.

(1)求向量a与b的夹角θ;

(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.

解:(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,

所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cosθ-3=9.

所以cosθ=

因为θ∈[0,π],所以θ=

(2)由(1)可知a·b=|a||b|cos=1,所以|a+b|=,a·(a+b)=a2+a·b=5.

所以向量a在a+b方向上的投影为

能力提升

13.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,m,n的夹角为θ,cos θ=若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)

A.4 B.-4 C D.-

答案:B

解析:由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),

因为n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m||n|cosθ+|n|2=t×3k×4k+(4k)2=4tk2+16k2=0.

所以t=-4,故选B.

14.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则()的最小值是(　　)

A.-2 B.- C.- D.-1

答案:B

解析:以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.

可知A(0,),B(-1,0),C(1,0).

设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y).

所以=(-2x,-2y).

所以()=2x2-2y(-y)=2x2+2-

当点P的坐标为时,()取得最小值为-,故选B.

15.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为(　　)

A B

C D.3

答案:A

解析:如图,取AB的中点F,连接EF,

==||2-

当EF⊥CD时,||最小,即取最小值.

过点A作AH⊥EF于点H,由AD⊥CD,EF⊥CD,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.

因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.

在Rt△AFH中,易知AF=,则HF=,

所以EF=EH+HF=1+

所以()min=

16.(2020宁夏一中四模)在△ABC中,AB=3AC=9,,点P是△ABC所在平面内一点,当取得最小值时,=(　　)

A.-24 B.6 C D.24

答案:D

解析:由,得||||cos∠BAC=||2,

即||cos∠BAC=||,

所以AC为AB在直线AC上的投影.

,即∠BCA=

以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,

则A(3,0),B(0,6).

设P(x,y),则=(x-3)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2

=3x2-6x+3y2-12y+81

=3[(x-1)2+(y-2)2+18],

所以当x=1,y=2时,取得最小值,此时P(1,2).

从而=(2,-2)·(0,-6)=24.故选D.

17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是　　　　　. 

答案:

解析:设a与b的夹角为φ,由已知得φ=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,).

设e=(cosα,sinα),

则|a·e|+|b·e|=|cosα|+|cosα+sinα|≤|cosα|+|cosα|+|sinα|=2|cosα|+|sinα|,

当cosα与sinα同号时等号成立.

所以2|cosα|+|sinα|=|2cosα+sinα|=cosα+sinα=|sin(α+θ)|其中tanθ=.

显然|sin(α+θ)|

上述不等式中等号能同时取到,故所求最大值为

高考预测

18.(2020江西南昌模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,,若=-4,则cos∠DAB=　　　　. 

答案:

解析:由题意得,

所以=·=

32-42-3×4×cos∠DAB=6-8-8cos∠DAB=-4,解得cos∠DAB=