《新高考数学大二轮复习课件》专题六 第4讲 母题突破3 定值问题

这是一份《新高考数学大二轮复习课件》专题六 第4讲 母题突破3 定值问题，共37页。PPT课件主要包含了内容索引，母题突破3定值问题，综上所述θ为定值，跟踪演练，专题强化练等内容，欢迎下载使用。

母题　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l斜率的取值范围；
解　因为抛物线y2＝2px过点P(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0，解得k<1，又因为k≠0.故k＜0或0＜k＜1.
又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).从而k≠－3.所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1).
思路分析❶联立l，C的方程，由判别式及PA，PB与y轴有交点求斜率的取值范围　　　　↓❷用A，B的坐标表示M，N的坐标　　　　↓❸用M，N的坐标表示λ，μ　　　　↓
证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得P(2,3)，Q(2，－3)或P(2，－3)，Q(2,3)，∴圆心为(2,0)，半径为3，
(2)当PF不垂直x轴时，设其方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x0，y0)，
消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
∵四边形OAGB为平行四边形，
∴平行四边形OAGB的面积为
求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.
证明　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，与双曲线的方程x2－4y2＝4联立，可得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，直线与双曲线的右支相切，可得Δ＝(8km)2－4(4k2－1)·(4m2＋4)＝0，可得4k2＝m2＋1，
即△MON面积为定值2.当直线l的斜率不存在时，P点坐标为(2,0)，此时直线l的方程为x＝2，与两条渐近线的交点分别为M(2,1)，N(2，－1)，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称点为B′，直线PB′交x轴于点M，求证：|OM|·|ON|为定值.
证明　由题意知直线PB的斜率存在，
故|OM|·|ON|为定值4.
1.已知抛物线G：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为k的直线l过点F，且与G交于A，B两点，当k＝1时，|AB|＝16.(1)求p的值；
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AB|＝16，可得x1＋x2＋p＝16，所以4p＝16，解得p＝4.
(2)直线l1：y＝k1(x－2)与G相交于C，D两点，M，N分别为AB，CD的中点，若直线MN恒过定点(2,2)，求k＋k1的值.
解　由(1)知，曲线G的方程为y2＝8x，设直线l的方程为y＝k(x－2)，
因为直线MN过点(2,2)，
(2)椭圆上有两点A，B，O为坐标原点，且AO⊥BO，证明存在定点M，使得M到直线AB的距离为定值，并求出定值.
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2).①若直线AB与x轴垂直，由对称性可知|x1|＝|y1|，
②若直线AB不与x轴垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
Δ＝182k2m2－36(m2－5)(9k2＋5)＝180(9k2－m2＋5)>0，
又AO⊥BO，则x1x2＋y1y2＝0，又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，