第5章三角函数、解三角形 第1节任意角、弧度制及三角函数的概念 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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考情分析:从题型和题量上看,高考对本专题考查基本稳定在“两小一大”的形式,总分约20~22分.从内容上看,小题主要考查三角函数的图象和性质,三角恒等变换等,解答题则主要考查三角恒等变换及利用正、余弦定理解三角形,且可能命制多条件选择的开放性题目.难度中等.
复习策略:1.熟记公式:本单元公式众多,公式是解决问题的根本和工具,需熟练记忆.2.掌握重要知识点:常见考点有三角函数的定义、图象和性质,诱导公式,同角三角函数关系式,和、差、倍角公式,三角函数图象变换,用正、余弦定理解三角形等.3.提高运算正确率:要注意对三角恒等变换及解三角形等问题的训练,以提高运算的正确率.4.重视知识交汇:三角函数与解三角形会与平面向量、圆、函数等知识综合.
1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,并能利用三角函数的定义解决相关问题.
1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(3)相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为　　　. (4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合　　　 　　. (5)象限角:在直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与　　　　　　　　重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限. 
S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
微思考(1)锐角一定是第一象限角吗?第一象限角一定是锐角吗?(2)终边相同的角是否一定相等?
提示 锐角一定是第一象限角.但第一象限角不一定是锐角.提示 终边相同的角不一定相等,它们之间相差360°的整数倍.
2.弧度制的定义和有关公式(1)定义:长度等于　　　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号 rad表示,读作弧度. 
微点拨有关弧度制的注意点:(1)角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.(2)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是0<θ<2π,实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
3.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α=　　,cs α=　　,tan α=　　　(x≠0). (2)定义的推广:设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,它与原点O的距离为r(r>0),则sin α=　　　　,cs α=　　　　,tan α=　　　　. 
弧度制下,任意一个实数都表示 一个角,角与实数之间一一对应
(3)三角函数值在各象限内的符号
口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦
常用结论1.象限角的集合
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.第二象限角必大于第一象限角.(　　)2.终边相同的角的三角函数值相等.(　　)3.若sin α>0,则α是第一或第二象限角.(　　)4.若α为第一象限角,则sin α+cs α>1.(　　)
题组二回源教材5.(人教A版必修第一册习题5.1第4题改编)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角等于　　　 弧度. 
解析 由题意,这条弦与圆的相应的两条半径组成等边三角形,所对的圆心角是60°,即 弧度.
6.(人教B版必修第三册7.2.1节练习B第5题改编)已知角α的终边在直线y=2x上,则sin α=　　 　　. 
7.(人教A版必修第一册5.2.1节例1)求 的正弦、余弦和正切值.
题组三连线高考8.(2014·全国大纲,文2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cs α=(　　)
9.(2007·北京,理7)已知cs θ·tan θ<0,那么角θ是(　　)A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角
解析 ∵cs θ·tan θ<0,∴当cs θ<0,tan θ>0时,角θ是第三象限角;当cs θ>0,tan θ<0时,角θ是第四象限角.
考点一 象限角与终边相同的角
(2)若α是第二象限角,则(　　)A.-α是第一象限角
D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上
变式探究(变条件)若本例(2)中α是第一象限角,则 是第几象限角?
考点二 弧度制、弧长公式及扇形面积公式的应用
例2已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l,(1)若α=30°,R=10,求扇形的弧长l;(2)若α= ,R=2,求扇形的弧所在的弓形的面积;(3)若扇形的周长为20,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
[对点训练2](1)(2024·陕西西安模拟)折扇(如图1)在我国已有三千多年的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征,图2为其结构简化图,设扇面A,B间的圆弧长为l,A,B间的弦长为d,圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角),则l,d和θ所满足的恒等关系为(　　)
(2)(2024·天津河东模拟)在面积为4的扇形中,其周长最小时半径的值为(　　)
A.4B.C.2D.1
考点三 三角函数的概念及其应用(多考向探究预测)
考向1三角函数定义的应用
(2)(2024·北京昌平二中期中)角α以Ox为始边,它的终边与单位圆O相交于第四象限的点P,且点P的横坐标为 ,则tan α的值为　　　　. 
[对点训练3](2024·北京八一中学校考)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,-3),且tan α= ,则sin α的值为　　　　. 
考向2三角函数值符号的判断例4(1)已知点P(tan α,cs α)在第三象限,则角α的终边在(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
解析 ∵点P(tan α,cs α)在第三象限,∴tan α<0,cs α<0,则角α的终边在第二象限.
解析 由角α的终边落在直线y=-3x(x<0)上,所以角α的终边在第二象限,可得cs α<0,sin α>0,所以 =1-(-1)=2.
[对点训练4](1)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式的值恒大于0的有(　　)① ;②cs α-sin α;③sin αcs α;④sin α+cs α.A.0个B.1个C.2个D.3个
解析 由题意知角α是第四象限角,所以sin α<0,cs α>0,tan α<0,则 >0;②cs α-sin α>0;③sin αcs α<0;④sin α+cs α符号不确定.故选C.
解析 因 为 =0,故sin x,cs x必一正一负.当sin x<0,cs x>0时,x为第四象限角;当sin x>0,cs x<0时,x为第二象限角.