初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.2 一元一次不等式课时作业

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9.2 一元一次不等式
知识点1：解一元一次不等式
【典例分析01】（2021秋•柯桥区期末）不等式x﹣1＜0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【思路引导】原不等式移项可得x＜1，据此可得答案．
【完整解答】解：x﹣1＜0，
x＜1，
故选：D．
【考察注意点】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【变式训练01】（2021秋•龙凤区校级期末）若不等式（3a﹣2）x+2＜3的解集是x＜2，那么a必须满足（ ）
A．a＝B．a＞C．a＜D．a＝﹣
【思路引导】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据题中所给的解集，来求得a的值．
【完整解答】解：移项得，（3a﹣2）x＜1，
∵本题的解集是x＜2，不等号的方向没有改变，
∴x＜，
∴＝2，
解得a＝．
故选：A．
【考察注意点】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据所给的解集进行判断，求得另一个字母的值．
【变式训练02】（2021秋•祁阳县期末）关于x的不等式2x﹣m≤﹣1的解集如图所示，则m的值是 3 ．
【思路引导】由不等式得出x≤，结合数轴得出关于m的方程，解之即可．
【完整解答】解：∵2x﹣m≤﹣1，
∴2x≤m﹣1，
则x≤，
由数轴知＝1，
解得m＝3，
故答案为：3．
【考察注意点】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式训练03】（2021秋•东台市期末）在平面直角坐标系中，点A（5，a﹣2）在第四象限，则a满足的条件是 a＜2 ．
【思路引导】根据点A在第四象限，得到横坐标为正，纵坐标为负，列出不等式求出解集即可确定出a的范围．
【完整解答】解：∵在平面直角坐标系中，点A（5，a﹣2）在第四象限，
∴a﹣2＜0，
解得：a＜2．
故答案为：a＜2．
【考察注意点】此题考查了解一元一次不等式，以及点的坐标，熟练掌握各自的性质及运算法则是解本题的关键．
【变式训练04】（2021春•金坛区月考）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式x＜﹣3的解都是不等式x＜﹣1的解，则x＜﹣3是x＜﹣1的蕴含不等式．
（1）在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的蕴含不等式的是 x＞3 ；
（2）若x＞﹣6是3（x﹣1）＞2x﹣m的蕴含不等式，求m的取值范围；
（3）若x＜﹣2是x＜﹣2n+4的蕴含不等式，x＜﹣2n+4是x＜2的蕴含不等式，求n的取值范围．
【思路引导】（1）根据蕴含不等式的定义即可求解；
（2）先解不等式3（x﹣1）＞2x﹣m可得x＞3﹣m，再根据蕴含不等式的定义可得3﹣m≤﹣6，解不等式即可求解；
（3）根据蕴含不等式的定义可得，解不等式组即可求解．
【完整解答】解：（1）在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的蕴含不等式的是x＞3．
故答案为：x＞3；
（2）解不等式3（x﹣1）＞2x﹣m可得x＞3﹣m，
则3﹣m≤﹣6，解得m≥9．
故m的取值范围是m≥9；
（3）依题意有：，
解得1≤n≤3．
故n的取值范围是1≤n≤3．
【考察注意点】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能和蕴含不等式的定义是解题的关键．
【变式训练05】（2021春•宽城县期末）小明解不等式﹣≤1的过程如下．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤1…①
去括号，得：3+3x﹣4x+1≤1…②
移项，得：3x﹣4x≤1﹣3﹣1…③
合并同类项，得：﹣x≤﹣3…④
两边都除以﹣1，得：x≤3…⑤
（1）错误的步骤有 3 处，分别为 ①②⑤ ．（填序号）
（2）请写出正确解答过程．
【思路引导】（1）根据小明的解题步骤找出错误的步骤即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得．
【完整解答】解：（1）3，①②⑤，
故答案为：3，①②⑤；
（2）正确的解答过程：
去分母，得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6①，
去括号，得：3+3x﹣4x﹣2≤6②，
移项，得：3x﹣4x≤6﹣3+2③，
合并同类项，得：﹣x≤5④，
两边都除以﹣1，得：x≥﹣5⑤．
【考察注意点】本题考查的是解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据是解题的关键．
知识点2：一元一次不等式的整数解
【典例分析02】（2021秋•石景山区期末）按照下面给定的计算程序，当x＝﹣2时，输出的结果是 ；使代数式2x+5的值小于20的最大整数x是 ．
【思路引导】由运算程序可计算出当x＝2时，输出结果，由经过3次运算结果不大于20，经过3次运算结果为43；解不等式2x+5＜20，求得解集，即可求得使代数式2x+5的值小于20的最大整数x是7．
【完整解答】解：当x＝﹣2时，第1次运算结果为2×（﹣2）+5＝1，第2次运算结果为2×1+5＝7，第3次运算结果为2×7+5＝19，第4次运算结果为2×19+5＝43，
∴当x＝﹣2时，输出结果是43，
由2x+5＜20，
解得x＜，
∴使代数式2x+5的值小于20的最大整数x是7，
故答案为：43，7．
【考察注意点】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，能够理解题意是解题的关键．
【变式训练06】（2021•南充）满足x≤3的最大整数x是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路引导】根据不等式x≤3得出选项即可。
【完整解答】解：满足x≤3的最大整数x是3，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了一元一次不等式的整数解和有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键．
【变式训练07】（2021•饶平县校级模拟）不等式3x≥x﹣5的最小整数解是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2
【思路引导】求出不等式的解集，找出最小整数解即可．
【完整解答】解：不等式移项合并得：2x≥﹣5，
解得：x≥﹣2.5，
则不等式最小的整数解为﹣2，
故选：B．
【考察注意点】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练08】（2021秋•海曙区期末）不等式2x﹣1≤6的非负整数解有 0，1，2，3 个．
【思路引导】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
【完整解答】解：2x﹣1≤6，
2x≤7，
x≤3.5
所以不等式的非负整数解是0，1，2，3．
故答案为0，1，2，3．
【考察注意点】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集是解决本题的关键．解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式训练09】（2021春•柘城县期末）已知整数x同时满足不等式﹣1＜和3x﹣4≤6x﹣2，并且满足方程3（x+a）﹣5a+2＝0，求+a2021﹣2的值．
【思路引导】先求出两不等式组成的不等式组的解集，再把x＝0代入方程，求出a的值，最后求出答案即可．
【完整解答】解：由两个不等式组成不等式组：，
解不等式①，得x＜1，
解不等式②，得x≥﹣，
所以不等式组的解集为﹣≤x＜1，
∵x为整数，
∴x为0，
把x＝0代入方程3（x+a）﹣5a+2＝0，得3（0+a）﹣5a+2＝0，
解得：a＝1，
∴．
【考察注意点】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，立方根等知识点，能求出x的值是解此题的关键．
【变式训练10】（2021春•江都区期末）已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|+|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数值时，不等式2mx﹣3＞2m﹣3x的解集为x＜1．
【思路引导】（1）解方程组得出，根据a为负数，b为非正数得出关于m的不等式组，解之即可得出答案；
（2）由﹣2≤m＜3得出m﹣3＜0，m+2≥0，再去绝对值符号、合并同类项即可；
（3）由2mx﹣3＞2m﹣3x知（2m+3）x＞2m+3，根据解集为x＜1得到关于m的不等式，解之得出m的范围，结合以上所求m的范围可确定整数m的值．
【完整解答】解：（1）解方程组，得：，
∵a为负数，b为非正数，
∴，
解得﹣2≤m＜3；
（2）∵﹣2≤m＜3，
∴m﹣3＜0，m+2≥0，
则原式＝3﹣m+m+2＝5；
（3）∵2mx﹣3＞2m﹣3x，
∴2mx+3x＞2m+3，
∴（2m+3）x＞2m+3，
∵解集为x＜1，
∴2m+3＜0，
解得m＜﹣，
∴在﹣2≤m＜3范围内符合m＜﹣的整数是﹣2．
【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m的不等式组并求解．
知识点3：由实际问题抽象出一元一次不等式
【典例分析03】（2021秋•澧县期末）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（ ）
A．T＞37.3℃B．T＜37.3℃C．T≤37.3℃D．T≤﹣37.3℃
【思路引导】根据题意可知，体温超过37.3℃，说明体温大于37.3℃，从而可以用相应的不等式表示出来．
【完整解答】解：体温“超过37.3℃”用不等式表示为T＞37.3℃，
故选：A．
【考察注意点】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
【变式训练11】（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（ ）
A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80
C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜80
【思路引导】设小明答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据小明的得分＝5×答对的题目数﹣2×答错或不答的题目数结合小明得分要超过80分，即可得出关于x的一元一次不等式．
【完整解答】解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，
依题意，得：5x﹣2（20﹣x）＞80．
故选：C．
【考察注意点】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
【变式训练12】（2021秋•湖州期末）“x减去1的值是负数”用不等式表示为 x﹣1＜0 ．
【思路引导】根据“x减去1，结合差是负数”，即小于零，得出答案．
【完整解答】解：由题意可得：x﹣1＜0．
故答案为：x﹣1＜0．
【考察注意点】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确掌握非负数的定义是解题关键．
【变式训练13】（2021秋•瑞安市月考）某电梯的额定限载量为1000千克，某人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，若人的身体质量为70千克，每箱货物质量为30千克，问他每次最多搬运多少箱？若设每次搬运货物x箱，则根据题意可列出关于x的不等式： 30x+70≤1000 ．
【思路引导】设可以搬运货物x箱．根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可．
【完整解答】解：设可以搬运货物x箱．
根据题意得，30x+70≤1000，
故答案为：30x+70≤1000．
【考察注意点】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式训练14】（2021春•双辽市期末）现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9.5元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下：小强：x+ 0.5×（15﹣x） ＜9.5，小刚：0.5x+ 1×（15﹣x） ＜9.5．
（1）根据小强、小刚两名同学所列的不等式，请你分别指出未知数x表示的意义；
（2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式：小强：x+ 0.5×（15﹣x） ＜9.5，小刚：0.5x+ 1×（15﹣x） ＜9.5；
（3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．（写出完整的解答过程）
【思路引导】（1）根据这些硬币的总币值小于9.5元，结合两人所列不等式可得；
（2）由（1）可得答案；
（3）解不等式得出x的范围，从而得出答案．
【完整解答】解：（1）根据题意小强、小刚两名同学分别列出尚不完整的不等式如下：
小强：x+0.5×（15﹣x）＜9.5 小刚：0.5x+1×（15﹣x）＜9.5
小强：x表示有1元硬币的枚数；小刚：x表示有5角硬币的枚数．
（2）由（1）知小强：x+0.5×（15﹣x）＜9.5 小刚：0.5x+1×（15﹣x）＜9.5
故答案为：0.5×（15﹣x）、1×（15﹣x）．
（3）设小刚可能有5角的硬币x枚，
根据题意得出：0.5x+（15﹣x）＜9.5
解得：x＞11，
∵x是自然数，
∴x可取12，13、14，
答：小刚可能有5角的硬币12枚，13枚，14枚．
【考察注意点】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意得出不等关系是解题关键．
【变式训练15】用不等式表示下列不等关系：
（1）学生甲的身高是a厘米，学生乙的身高是b厘米，甲与乙身高的差是正数．
（2）姐姐每月上网20小时，妹妹每月上网x小时，妹妹每月上网的时间超过了姐姐上网时间的2倍．
（3）小明家每月的电话费m元在150元以内（不含150元）．
【思路引导】（1）差是正数表示差为大于零的数；
（2）“超过了”就是表示大于；
（3）“在150元以内”就是小于150元．
【完整解答】解：（1）由题意，得a﹣b＞0；
（2）由题意，得x＞20×2；
（3）由题意，得0≤m＜150．
【考察注意点】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
知识点4：一元一次不等式的应用
【典例分析04】（2021秋•宁波期末）某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？
【思路引导】（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，由题意：若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该班购买m盒A款的文具盒，由题意：某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【完整解答】解：（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每盒A款的文具盒为6元，每盒B款的文具盒为4元；
（2）设该班购买m盒A款的文具盒，
由题意得：6m+4（40﹣m）≤210，
解得：m≤25，
答：该班最多可以购买25盒A款的文具盒．
【考察注意点】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键时：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
【变式训练16】（2021秋•川汇区期末）一种新型笔记本售价2.3元/本，小华计划用班费230元购买这种笔记本100本供班级使用．购买时恰逢店家促销活动：如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.25元/本．则小华最多可买多少本？（ ）
A．100B．101C．102D．103
【思路引导】设可买x本笔记本，根据题意列出不等式可得答案．
【完整解答】解：设小华可买x本笔记本，
依题意得，2.25x≤230，
解得x≤102，
答：最多买笔记本102本．
故选：C．
【考察注意点】本题考查一元一次不等式的实际应用，找到题目中的不等关系列出不等式是解题关键．
【变式训练17】（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ）
A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户
【思路引导】设这个小区共有x户住户，根据每户平均支付不足1000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这个小区至少有21户住户．
【完整解答】解：设这个小区共有x户住户，
依题意得：1000x＞10000+500x，
解得：x＞20．
又∵x为正整数，
∴这个小区至少有21户住户．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式训练18】（2021秋•潼南区校级期末）某种商品的进价为500元，售价为750元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持该商品的利润率不低于20%，那么最多可以打 8 折．
【思路引导】设该商品打x折销售，根据利润＝售价﹣进价，结合要保持利润不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【完整解答】解：设该商品打x折销售，
依题意得：750×﹣500≥500×20%，
解得：x≥8，
即最多可以打8折．
故答案为：8．
【考察注意点】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式训练19】（2021秋•渝中区校级期末）“寒辞去冬雪，暖带入春风”，随着新春佳节的临近，家家户户都在准备年货，腊肉香肠几乎是川渝地区必备的年货之一．某超市购进一批川味香肠和广味香肠进行销售，试销期间，两种香肠各销售100千克，销售总额为12000元，利润率为20%．正式销售时，超市决定将两种香肠混装成礼盒的形式促销（每个礼盒的成本为混装香肠的成本之和），其中A礼盒混装2千克广味香肠，2千克川味香肠；B礼盒混装1千克广味香肠，3千克川味香肠，两种礼盒的数量之和不超过180个．超市工作人员在对这批礼盒进行成本核算时将两种香肠的成本刚好弄反，这样核算出的成本比实际成本少了500元，则超市混装A、B两种礼盒的总成本最多为 元．
【思路引导】设川味香肠的单价为x元/千克，广味香肠的单价为y/千克，则A、B两种礼盒的每个礼盒成本分别为（2x+2y）元，（3x+y）元，从而超市混装A、B两种礼盒的总成本为2x+2y+3x+y＝5x+3y（元），得：100（x+y）×（1+20%）＝12000，化简得：x+y＝100，得5x+3y＝5（x+y）﹣2y＝500﹣2y，根据增减性分析出y越小，500﹣2y的值越大，即超市混装A、B两种礼盒的总成本越大，设A、B两种礼盒分别有a个，b个，则0＜a+b≤180，有b≤180﹣a（a，b都是正整数），由题意得，（2y+2x）a+（3y+x）b＝（2x+2y）a+（3x+y）b﹣500，整理得，y＝50﹣，根据题意得出0＜50﹣＜100，得b的最小值为3，此时y取得最小值50﹣＝，即可求解．
【完整解答】解：设川味香肠的单价为x元/千克，广味香肠的单价为y/千克，
则A、B两种礼盒的每个礼盒成本分别为（2x+2y）元，（3x+y）元，
从而超市混装A、B两种礼盒的总成本为2x+2y+3x+y＝5x+3y（元），
依题意得：100（x+y）×（1+20%）＝12000，
化简得：x+y＝100，
∴5x+3y＝5（x+y）﹣2y＝500﹣2y，
∵﹣2＜0，
∴y越小，500﹣2y的值越大，即超市混装A、B两种礼盒的总成本越大，
设A、B两种礼盒分别有a个，b个，则
0＜a+b≤180，
有b≤180﹣a（a，b都是正整数），由题意得，
（2y+2x）a+（3y+x）b＝（2x+2y）a+（3x+y）b﹣500，
整理得，（y﹣x）b＝﹣250，
∴[y﹣（100﹣y）]b＝﹣250，
∴y＝50﹣，
∴b越小，y越小，
∵0＜y＜100，0＜b＜180，且b是正整数，
∴0＜50﹣＜100，
解得：b＞，
∴＜b＜180，且b是正整数，
∴b的最小值为3，此时y取得最小值50﹣＝，
∴5x+3y的最大值为：500﹣2y＝500﹣2×＝，
故答案为：．
【考察注意点】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是根据题意列出相关方程，不等式，进行综合分析．
【变式训练20】（2022•南岗区模拟）哈尔滨地铁“三号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．
（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？
（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？
【思路引导】（1）设该车队有载重量8吨的卡车x辆，载重量10吨的卡车y辆，由题意：某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进载重量8吨的卡车m辆，则购进载重量10吨的卡车（6﹣m）辆，根据该车队需要一次运输残土不低于166吨，列出一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可．
【完整解答】解：（1）设该车队有载重量8吨的卡车x辆，载重量10吨的卡车y辆，
依题意，得：，
解得：，
答：该车队有载重量8吨的卡车5辆，载重量10吨的卡车7辆．
（2）设购进载重量8吨的卡车m辆，则购进载重量10吨的卡车（6﹣m）辆，
依题意，得：110+8m+10（6﹣m）≥166，
解得：m≤2，
∴m可取的最大值为2．
答：最多购进载重量8吨的卡车2辆．
【考察注意点】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式