2024高考数学专题-“8+3+3”小题强化训练（22）（新高考九省联考题型）（原卷+解析版）

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1．已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，
故，A错误；
由于，但，故A不是B的子集，B错误，
，C错误；
，D正确，
故选：D
2．已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，设，又是两个不共线的向量，
所以，所以．
故选：D
3．下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是（ ）
A. 这10个月的月销售量的中位数为28
B. 这10个月的月销售量的平均数为31
C. 这10个月的月销售量的第75百分位数为34.5
D. 前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差
【答案】B
【解析】将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这10个月的月销售量的中位数为，A错误；
这10个月的月销售量的平均数为，B正确;
根据百分位数的定义可知，则这10个月的月销售量的第75百分位数为第8个数36，C错误；
由图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，D错误.
故选:B．
4．设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【答案】B
【解析】对于A，如图，设平面为平面，平面为平面，为m，为l满足，，，但l与m不平行，A错．
对于C，设平面为平面，平面为平面，为l，为m，
满足，，，但l与m不垂直，C错．
对于D，设平面为平面，平面为平面，为l，为m，
满足，，，但l与m不平行，D错，
故选:B．
5．设各项均不相等的等比数列的前n项和为，若，则公比（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由数列为各项均不相等的等比数列，设公比为，
由，得，又因为，
当时，则，化简得，解得，或（舍）；
当，则，化简得，因，
所以无解；
综上可得，故C正确.
故选：C.
6．已知点P是曲线在第一象限内的一点，A为的左顶点，R为PA的中点，F为的右焦点．若直线OR（O为原点）的斜率为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，
所以，
因为直线OR的斜率为，所以，
化简得，，与联立解得，或3，其中舍去，
所以P点的坐标为，又，
所以的面积为．
故选：A．
7．甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，
事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，
事件为“此人患了流感”．
由题可知，，，，
，
由条件概率公式可得，
，，
由题意可得，即，解得，
故选：D.
8．已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题目条件可得：.
令，可得：，则，即，.
令，则；.
因为，
所以，
则函数在区间上单调递增，
所以，即.
所以方程有两个不同的实数解等价于方程有两个实数解，即函数与的图象有两个不同的交点.
因为，
令，得；令，得.
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
则.
又因为当时，；当时，.
所以，解得：.
又因为，
所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是（ ）
A. B. 为纯虚数
C. D.
【答案】ACD
【解析】设复数，则，故，A正确；
，当时，为实数，B错误；
，则，C正确；
，
，故，
则，D正确，
故选：ACD
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点中心对称
C. 的最小正周期是
D. 在上有最大值，且最大值为
【答案】BCD
【解析】由，解得，
则函数的定义域为，
令，则，令函数，
当时，，，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，
在上单调递减，从而函数的图象不关于直线对称，A错误；
在上有最大值，且最大值为，D正确；
显然，
，
因此的图象关于点中心对称，B正确；
由对称性可得在上单调递减，在上单调递增，
则在上不具有周期性，又，
所以的最小正周期为，C正确.
故选：BCD
11．棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ）
A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C. 四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体
D. 四棱锥与四棱锥的公共部分体积为
【答案】ABD
【解析】连接与线段上任意一点，过作交于，
所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，A对；

由上分析及正方体结构特征易知：四边形为平行四边形，
若为各线段上的中点时，四边形为菱形，
此时截面最小面积为；
根据正方体对称性，从中点向或运动时，四边形面积都是由小变大，
当与重合时，截面最大面积为；
综上，过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为，B对；
令交于，交于，交于，
显然是各交线的中点，若是中点，连接，
所以四棱锥与四棱锥的公共部分为六面体，C错；
其体积，D对.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有__________种．
【答案】70
【解析】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为.
故答案为：70
13.若，x，，则的最小值为_________．
【答案】C
【解析】因为，
所以．
因为，所以．
所以，即．
当且仅当，，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：
14.若圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于的焦点A，则_________．
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线l为，依题意不妨令C在第一象限，，
则圆C的半径，设，则圆C的方程为，
由，则，所以抛物线在点B处的切线m的斜率，
因为圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，所以直线CB与m垂直，
所以，则①，
又点B在圆C上，所以，则②，
所以，整理可得，解得，或（舍去），
所以，所以，
所以．
故答案为：