新高考数学一轮复习微专题专练37直线、平面垂直的判定与性质（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习微专题专练37直线、平面垂直的判定与性质（含详解），共6页。
一、选择题
1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题不正确的是( )
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．A1C1 B．BD
C．A1D1 D．AA1
6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为( )
A． eq \f(\r(2),2) B． eq \f(4,3)
C． eq \f(3,5) D．1
9．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD且平面ACD⊥平面BDE
二、填空题
10．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，则P在平面ABC中的射影O为△ABC的________心．
11．已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m则
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上).
12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．
[能力提升]
13．[2022·全国乙卷(理)，7]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
14.
如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
15．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，底面各边都相等，M为PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
16.
如图，VA⊥平面ABC，△ABC的外接圆是以边AB的中点O为圆心的圆，点M、N、P分别为VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的是________．(把正确结论的序号都填上)
①MN∥平面ABC；
②OC⊥平面VAC；
③MN与BC所成的角为60°；
④MN⊥OP；
⑤平面VAC⊥平面VBC.
专练37 直线、平面垂直的判定与性质
1．D 如图ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD时，△PAB，△PAD为直角三角形，
又AD⊥DC，PA⊥DC，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∴△PCD为直角三角形，同理△PBC为直角三角形，共4个直角三角形．
2．D 易知A、B、C均正确，D错误，m与n也可能异面．
3．C 当α∥β，b⊥β时，b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a，故C正确.
4．C ∵A1B1⊥平面BCC1B1，
BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，
又BC1⊥B1C且B1C∩A1B1＝B1，
∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，
∴BC1⊥A1E.
5．B 连接B1D1，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴E∈B1D1且B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，又A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，又CE⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥CE，又BD∥B1D1，∴BD⊥CE.
6．B 由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.
7．C ∵α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，
∴n⊥l.
8．D 如图所示，连接AC，∵AA1⊥平面ABCD，∴A1C与平面ABCD所成的角为∠ACA1，∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，∵AA1＝5，
∴tan ∠ACA1＝1，故选D.
9．C ∵AB＝BC，E为AC的中点，∴EB⊥AC，同理DE⊥AC，又DE∩EB＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，同理平面ABC⊥平面BDE.
10．外
解析：连结OA，OB，OC，OP，
∴△POA，△POB，△POC为直角三角形，
又PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O为△ABC的外心．
11．②④
解析：∵γ∩β＝l，∴l⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m，l⊥m，∴l⊥α，∵γ∩β＝l，∴l⊂β，又l⊥α，∴α⊥β，∴②④正确．
12．5
解析：
∵PA⊥平面ABCD，又PA⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD；同理平面PAB⊥平面ABCD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD，同理平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，共有5对．
13.
A 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易知BD⊥AC.又E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF.由正方体的性质，知DD1⊥平面ABCD.又EF⊂平面ABCD，所以DD1⊥EF.因为BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1.因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，A正确．假设平面B1EF⊥平面A1BD.因为平面B1EF⊥平面BDD1，且平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以BD⊥平面B1EF.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，显然BD与平面B1EF不垂直，B错误．设A1A与B1E的延长线相交于点P，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，C错误．连接AB1，B1C，易证平面ACB1∥平面A1C1D.因为平面ACB1与平面B1EF相交，所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，D错误．故选A.
14．C 如图，
因为D、F分别是AB、AC中点，所以BC∥DF，因为DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF.因为该几何体是正四面体，E是BC中点，所以BC⊥PE，BC⊥AE，因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，又因为DF⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故A、B、D都成立．故选C.
15．BM⊥PC(DM⊥PC)
解析：
当BM⊥PC时，平面MBD⊥平面PCD，证明如下：
如图所示，∵PA⊥平面ABCD，AB＝AD，
∴PB＝PD，又BC＝CD，
∴△PBC≌△PCD，∴当BM⊥PC时，
DM⊥PC，∴PC⊥平面MBD，又PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
16．①④⑤
解析：对于①，因为点M，N分别为VA，VC的中点，所以MN∥AC，又MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，故①正确；对于②，若OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，而由题意知AB是圆O的直径，则BC⊥AC，故OC与AC不可能垂直，故②不正确；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN⊥BC，即MN与BC所成的角为90°，故③不正确；对于④，易得OP∥VA，VA⊥MN，所以MN⊥OP，故④正确；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故⑤正确．综上，应填①④⑤.