新高考数学一轮复习微专题专练39空间向量的应用（含详解）

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一、选择题
1．若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为V1＝(1，0，－1)，V2＝(－3，0，3)，则l1和l2的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
2．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为( )
A． eq \f(4\r(85),85) B． eq \f(\r(69),85)
C．－ eq \f(\r(15),15) D．0
3．若直线l的一个方向向量a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量b＝(1，1，－1)，则( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l⊂α D．A，C都有可能
4．在空间四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
5．若平面α，β的法向量分别为m＝(2，－3，5)，n＝(－3，1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交，但不垂直 D．以上均不正确
6.
如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝( )
A．6 eq \r(2) B．6
C．12 D．144
7.
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(\r(5),3)
C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(3,5)
8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝ eq \r(3) ，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
9．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥面ABCD，若AB＝PA，则平面ADP与平面CDP所成的二面角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
二、填空题
10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．
11．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则以 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 为邻边的平行四边形的面积为________．
12．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D1点到平面A1BD的距离为________．
[能力提升]
13.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝ eq \f(\r(2)a,3) ，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.斜交
B．平行
C．垂直
D．MN在平面BB1C1C内
14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
15．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则α与l所成角的正弦值为________．
16.
如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，BC＝2 eq \r(2) ，AB＝2，SA＝SB＝ eq \r(3) .求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为________.
专练39 空间向量的应用
1．A ∵V1＝－ eq \f(1,3) V2，∴l1∥l2.
2．C ∵|a|＝ eq \r(22＋（－2）2＋（－2）2) ＝2 eq \r(3) ，|b|＝ eq \r(22＋02＋42) ＝2 eq \r(5) ，
a·b＝2×2＋(－2)×0＋(－2)×4＝－4，
∴cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(－4,2\r(3)×2\r(5)) ＝－ eq \f(\r(15),15) .
3．A ∵a＝2b，∴a与b共线，∴l⊥α.
4．B 解析：
如图，令 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝b， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝c，
则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→))
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
故选B.
5．C ∵m与n不共线，且m·n＝－6－3－20≠0，
∴α与β相交但不垂直．
6．C ∵AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，∴AC＝6 eq \r(3) ，
建立如图所示的空间直角坐标系，其中O为AC的中点，
则P(0，－3 eq \r(3) ，6)，C(0，3 eq \r(3) ，0)
∴|PC|＝ eq \r(（0－0）2＋（3\r(3)＋3\r(3)）2＋62)
＝12.
7．A 设BC＝1，则B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，
·＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×1＝3.
||＝ eq \r(5) ，||＝3，
8．A
∵AB＝1，AC＝2，BC＝ eq \r(3) ，∴AB2＋BC2＝AC2，
∴AB⊥BC，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，C1(0， eq \r(3) ，h)，B1(0，0，h)，B(0，0，0)
∴D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(h,2))) ，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(h,2))) .
∴ eq \(DE,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，0)) ，显然面BB1C1C的法向量为m＝(1，0，0)，
∴ eq \(DE,\s\up6(→)) 与平面BB1C1C所成角α满足
sin α＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(DE,\s\up6(→))·m,|\(DE,\s\up6(→))|·|m|))) ＝ eq \f(\f(1,2),1×1) ＝ eq \f(1,2) ，
又α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0°，90°)) ，
∴α＝30°.
9．D
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，
显然面ADP的法向量m＝(1，0，0)，
设平面CDP的法向量n＝(x，y，z)，
eq \(CD,\s\up6(→)) ＝(－1，0，0)， eq \(CP,\s\up6(→)) ＝(－1，－1，1)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＝0，,－x－y＋z＝0，)) 令y＝1，则z＝1，
∴n＝(0，1，1)，
m·n＝1×0＋0×1＋0×1＝0，∴m⊥n，
∴平面ADP与平面CDP所成的角为90°.
10．(5，13，－3)
解析：设D(x，y，z)，由题意得 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ，
∴(x－4，y－1，z－3)＝(1，12，－6)
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝13，,z＝－3，)) ∴D(5，13，－3).
11．7 eq \r(3)
解析： eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，－1，3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，－3，2)，
∴ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－2＋3＋6＝7，| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(14) ，| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(14) .
又cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(7,\r(14)×\r(14)) ＝ eq \f(1,2) ，
∴sin 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\r(3),2) ，
∴平行四边形的面积S＝| eq \(AB,\s\up6(→)) |×| eq \(AC,\s\up6(→)) |×sin 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 〉＝7 eq \r(3) .
12. eq \f(2\r(3),3)
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)， eq \(DB,\s\up6(→)) ＝(2，2，0).
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·DA1＝2x＋2z＝0，,n·\(DB,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0.))
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
∴点D1到平面A1BD的距离是
d＝ eq \f(|D1A1·n|,|n|) ＝ eq \f(2,\r(3)) ＝ eq \f(2\r(3),3) .
13．B 建立如图所示
的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝ eq \f(\r(2)a,3) ，
则M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(2a,3)，\f(a,3))) ，N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，a)) ，
eq \(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3)，0，\f(2a,3))) .又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为 eq \(MN,\s\up6(→)) ·＝0，所以 eq \(MN,\s\up6(→)) ⊥，所以MN∥平面BB1C1C.
14．C
如图所示，以A1为坐标原点，A1B1所在直线为x轴，A1B1为单位长度，A1C1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A1－xyz.则可得A1(0，0，0)，B1(1，0，0，)，C1(0，1，0)，A(0，0，1)，B(1，0，1).所以＝(1，0，1)，＝(0，1，－1).
所以异面直线BA1与AC1所成角为60°.故选C.
15. eq \f(\r(21),6)
解析：设直线l与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n·a,|n||a|))) ＝ eq \f(|2×1＋1×2＋1×3|,\r(22＋12＋12)·\r(12＋22＋32)) ＝ eq \f(\r(21),6) .
16. eq \f(\r(22),11)
解析：如图所示，
作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.
由SA＝SB，可得OA＝OB.又由∠ABC＝45°，得△ABO为等腰直角三角形，OA⊥OB.建立如图所示空间直角坐标系O－xyz，则A( eq \r(2) ，0，0)，B(0， eq \r(2) ，0)，C(0，－ eq \r(2) ，0)，S(0，0，1)，D( eq \r(2) ，－2 eq \r(2) ，0)， eq \(DS,\s\up6(→)) ＝(－ eq \r(2) ，2 eq \r(2) ，1)， eq \(SA,\s\up6(→)) ＝( eq \r(2) ，0，－1)， eq \(SB,\s\up6(→)) ＝(0， eq \r(2) ，－1).
设平面SAB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(SA,\s\up6(→))＝0，,n·\(SB,\s\up6(→))＝0)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(2)x1－z1＝0，,\r(2)y1－z1＝0，))
令z1＝ eq \r(2) ，得n＝(1，1， eq \r(2) ).
设直线SD与平面SAB所成角为θ，
则sin θ＝|cs 〈 eq \(DS,\s\up6(→)) ，n〉|＝ eq \f(|\(DS,\s\up6(→))·n|,|\(DS,\s\up6(→))||n|) ＝ eq \f(|－\r(2)＋2\r(2)＋\r(2)|,\r(11)×2) ＝ eq \f(\r(22),11) .
所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为 eq \f(\r(22),11) .