2024版高考数学微专题专练43直线平面垂直的判定与性质理（附解析）

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[基础强化]
一、选择题
1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．[2022·哈尔滨模拟]设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是( )
A．m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．m⊥n，n∥α，则m⊥α
3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β
D．a⊂α，b∥β，α⊥β
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC
5．[2022·安徽省蚌埠市质检]已知平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，过平面α和β外的一点P作直线m⊥l，则“m∥α”是“m⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥lB．m∥n
C．n⊥lD．m⊥n
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为( )
A．eq \f(\r(2),2)B．eq \f(4,3)C．eq \f(3,5)D．1
9．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A.平面ABC⊥面ABD
B．平面ABD⊥面BCD
C．平面ABC⊥面BDE且平面ACD⊥面BDE
D．平面ABC⊥面ACD且平面ACD⊥面BDE
二、填空题
10．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，则P在平面ABC中的射影O为△ABC的________心．
11．已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m则
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上).
12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．
[能力提升]
13.
如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
14．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是( )
A．①②B．①③C．②③D．③④
15．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，底面各边都相等，M为PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
16.
如图，VA⊥平面ABC，△ABC的外接圆是以边AB的中点O为圆心的圆，点M、N、P分别为VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的是________．(把正确结论的序号都填上)
①MN∥平面ABC；
②OC⊥平面VAC；
③MN与BC所成的角为60°；
④MN⊥OP；
⑤平面VAC⊥平面VBC.
专练43 直线、平面垂直的判定与性质
1．D
如图ABCD为矩形，PA⊥面ABCD时，△PAB，△PAD为直角三角形，
又AD⊥DC，PA⊥DC，PA∩AD＝A，
∴CD⊥面PAD，∴CD⊥PD，∴△PCD为直角三角形，同理△PBC为直角三角形，共4个直角三角形．
2．D 对于A，∵n∥α，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面β与平面α的交线l平行于n，
∵m⊥α，l⊂α，∴m⊥l，
∴m⊥n，故A正确；
对于B，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，
可得m∥n，故B正确；
对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；
对于D，若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误．
3．C 当α∥β，b⊥β时，b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a，故C正确.
4．C ∵A1B1⊥面BCC1B1，
BC1⊂面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，
又BC1⊥B1C且B1C∩A1B1＝B1，
∴BC1⊥面A1B1CD，又A1E⊂面A1B1CD，
∴BC1⊥A1E.
5．C 当m∥α时，过m作平面γ∩α＝n，则m∥n，结合α⊥β，得n⊥β，从而m⊥β；当m⊥β时，在α内作直线n⊥l，结合α⊥β，得n⊥β，所以m∥n，又m⊄α，n⊂α，所以m∥α.
6．B 由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.
7．C ∵α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，
∴n⊥l.
8．D 如图所示，连接AC，∵AA1⊥平面ABCD，∴A1C与平面ABCD所成的角为∠ACA1，∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，∵AA1＝5，
∴tan∠ACA1＝1，故选D.
9．C ∵AB＝BC，E为AC的中点，∴EB⊥AC，同理DE⊥AC，又DE∩EB＝E，∴AC⊥面BDE，又AC⊂面ACD，∴平面ACD⊥面BDE，同理平面ABC⊥面BDE.
10．外
解析：连结OA，OB，OC，OP，
∴△POA，△POB，△POC为直角三角形，
又PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，
∴O为△ABC的外心．
11．②④
解析：∵γ∩β＝l，∴l⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m，l⊥m，∴l⊥α，∵γ∩β＝l，∴l⊂β，又l⊥α，∴α⊥β，∴②④正确．
12．5
解析：
∵PA⊥面ABCD，又PA⊂面PAD，
∴面PAD⊥面ABCD；同理面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩PA＝A，
∴CD⊥面PAD，又CD⊂面PCD，
∴面PCD⊥面PAD，同理面PBC⊥面PAB，面PAB⊥面PAD，共有5对．
13．D ∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立．又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立．∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，
∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∠PDA＝45°，∴D正确．
14．C 设正方体的棱长为2，
对于①，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，
图(1)
故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，
在Rt△OPC中，
OC＝eq \r(2)，CP＝1，
故tan∠POC＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
故MN⊥OP不成立．
对于②，如图(2)所示，取AN的中点B，连接PB，OB，
图(2)
则OP＝eq \r(12＋（\r(2)）2)＝eq \r(3)，PB＝eq \r(2)，OB＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，
所以OP2＋PB2＝OB2，
所以OP⊥PB，
又PB∥MN，所以OP⊥MN.
对于③，如图(3)所示，取AD的中点C，连接OC，PC，BD，因为P，C分别是DE，AD的中点，所以CP⊥BD，又OC⊥平面ADEB，BD⊂平面ADEB，
图(3)
所以OC⊥BD，又OC∩CP＝C，OC，CP⊂平面OCP，所以BD⊥平面OCP，所以BD⊥OP，又BD∥MN，
所以OP⊥MN.
对于④，如图(4)所示，取AN的中点B，ME的中点F，连接PB，BF，OF，
图(4)
若OP⊥MN，又OF⊥平面MENA，所以OF⊥MN，所以MN⊥平面OFBP，所以MN⊥BF，显然，MN与BF不可能垂直，所以OP⊥MN不成立．
15．BM⊥PC(DM⊥PC)
解析：
当BM⊥PC时，面MBD⊥面PCD，证明如下：
如图所示，∵PA⊥面ABCD，AB＝AD，
∴PB＝PD，又BC＝CD，
∴△PBC≌△PCD，∴当BM⊥PC时，
DM⊥PC，∴PC⊥面MBD，又PC⊂面PCD，
∴平面MBD⊥面PCD.
16．①④⑤
解析：对于①，因为点M，N分别为VA，VC的中点，所以MN∥AC，又MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，故①正确；对于②，若OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，而由题意知AB是圆O的直径，则BC⊥AC，故OC与AC不可能垂直，故②不正确；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN⊥BC，即MN与BC所成的角为90°，故③不正确；对于④，易得OP∥VA，VA⊥MN，所以MN⊥OP，故④正确；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故⑤正确．综上，应填①④⑤.