新高考数学一轮复习讲练测专题8.5直线、平面垂直的判定及性质（练）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习讲练测专题8.5直线、平面垂直的判定及性质（练）（含解析），共30页。试卷主要包含了【多选题】等内容，欢迎下载使用。
1．（2020·浙江开学考试）已知两个不重合的平面 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
根据面面垂直的判定定理，可知若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可推出 SKIPIF 1 < 0 ，即必要性成立；反之，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系不确定，即充分性不成立；
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2021·浙江高二期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，直线 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由面面垂直的判定定理及面面垂直的性质，结合充分必要条件的定义即可判断.
【详解】
根据面面垂直的判定定理，可知若 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”则 SKIPIF 1 < 0 成立，满足充分性；
反之，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系不确定，即不满足必要性；
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，
故选：A.
3．【多选题】（2021·河北高一期末）已知直线a，b与平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为异面直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
举反例可判断A和B；由线面平行的性质定理可判断C；由反证法可判断D.
【详解】
对于选项A：反例如图，故A错误；
对于选项B：反例如图，故B错误；
对于选项C：是“线面平行的性质定理”的符号语言，故C正确；
对于选项D：若平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由线面平行的性质定理得 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为异面直线矛盾，所以 SKIPIF 1 < 0 .故D正确.
故选：AB.
4．【多选题】（2021·南京市宁海中学高一月考）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，线段 SKIPIF 1 < 0 上有两个动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若线段 SKIPIF 1 < 0 长度为一定值，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
【答案】ACD
【解析】
选项A，连接BD，通过证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可判定 SKIPIF 1 < 0 ；选项B，通过 SKIPIF 1 < 0 可判定；选项C，利用平面ABCD SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 可判定 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD；选项D，可利用三棱锥的高和底面积为定值来判定.
【详解】
选项A：
连接BD， SKIPIF 1 < 0 底面ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
选项B：
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
但显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立，故选项B错误；
选项C：
正方体中，平面ABCD SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，故选项C正确；
选项D：
SKIPIF 1 < 0 点A到平面BEF的距离也是点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，等于AC的一半，
即三棱锥高为定值，而 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 为定值，高为 SKIPIF 1 < 0 为定值，故体积为定值，
故选项D正确.
故选：ACD.
5．（2020·北京101中学期末）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，l是直线且 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).
【答案】充分不必要
【解析】
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
因为直线 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
所以由判断定理得 SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 则直线 SKIPIF 1 < 0 ，或直线 SKIPIF 1 < 0 ，或直线l与平面 SKIPIF 1 < 0 相交，或直线l在平面 SKIPIF 1 < 0 内.
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
6.（2021·河北巨鹿中学高一月考）三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高为 SKIPIF 1 < 0 ，若三条侧棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的______心.
【答案】垂
【解析】
根据题意可证明 SKIPIF 1 < 0 面PBC，结合PH为三棱锥的高可以证明 SKIPIF 1 < 0 ，同理： SKIPIF 1 < 0 ，进而得到答案.
【详解】
如图，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面PBC，则PA⊥BC，
又PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面PAH，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可证： SKIPIF 1 < 0 ，所以点H为垂心.
故答案为：垂.
7．（2021·云南弥勒市一中高一月考）如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．求证：
（1）平面 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【解析】
（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，由已知条件可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，再结棱柱的特点可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 ，所以由线面平行的判定可得 SKIPIF 1 < 0 ‖平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ‖ 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再由面面平行的判 定可得结论，
（2）由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再由面面垂直的判定定理可证得结论
【详解】
证明：（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ‖平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ‖ SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2021·山西高一期中）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面ABCD为菱形， SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别为AB和PD的中点.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面PBD；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 平面PBC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）首先证出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用线面垂直的判定定理即可证明.
（2）取PC的中点G，连接FG，BG，证出四边形BEFG是平行四边形，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由线面平行的判定定理即可证明.
【详解】
证明：（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则O是AC，BD中点，连接PO，
∵底面ABCD是菱形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，O是AC中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PBD， SKIPIF 1 < 0 平面PBD，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面PBD.
（2）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：
∵F是PD的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面PBC， SKIPIF 1 < 0 平面PBC，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面PBC.
9．（2021·湖南高二期末）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 垂直，得面面垂直，再由棱柱上下底面平行得证结论；
（2）由棱柱、棱锥体积得 SKIPIF 1 < 0 ，计算三棱锥体积可得结论．
【详解】
（1）如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2020·内蒙古宁城·月考（文））在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为中点，
所以为正三角形，则，
在中，因为，，，
由余弦定理可得：，
又因为，所以
所以，
又，平面，且，
所以平面
（2）在中，
设点到平面的距离为，
由得
解得：，
所以点到平面的距离为.
练提升TIDHNEG
1. （2019·福建高考模拟（理））已知等边△的边长为2，现把△绕着边旋转到△的位置．给出以下三个命题：①对于任意点，； ②存在点，使得平面； ③三棱锥的体积的最大值为1.以上命题正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】
由题意，取中点，由于，，根据线面垂直的判定定理，得平面，平面，所以，故①正确；
假设平面，则，又，这不可能，故②错误；
由，当平面平面时，达到最大，此时，故③正确. 故选B．
2．（2020·重庆市广益中学校期末）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC； ②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D－ABC是正三棱锥； ④平面ADC⊥平面ABC．
其中正确的是___________
【答案】①②③
【解析】
设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC= SKIPIF 1 < 0 a，
D为BC的中点，∴AD⊥BC，
又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABD，
∴BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，
∴BD⊥AC，故①正确；
②由A知，BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，
∴BD⊥CD，又 SKIPIF 1 < 0 ∴由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，又AB=AC=a，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
③∵△ABC是等边三角形，DA=DB=DC，
∴三棱锥D-ABC是正三棱锥，故③正确．
④∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，
∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，
由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误；
综上所述，正确的结论是①②③．
3．（2021·四川高二期末（文））如图，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上动点.
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）判断点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离是否为定值，并说明理由，若是定值，请求出该定值.
【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，理由见解析， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 证得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，证得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，从而证得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离即为 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离，可转化为点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离，由条件证得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离，求得 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】
解：（1）连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为定值.
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离即为 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离，可转化为点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离
在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为定值，且定值为 SKIPIF 1 < 0
4．（2020·佛山市第四中学高二月考）在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点.
（1）求证: SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ，试确定 SKIPIF 1 < 0 点的位置，并给出证明.
【答案】（1）证明详见解析；（2）点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，证明详见解析.
【解析】
（1）即证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，只需证四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形即可.
【详解】
（1）要证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
依题意知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
依题意知 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 . 证明如下：
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . 则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
依题意知四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2019·河北高考模拟（文））如图，在四棱锥中，，是梯形，且，，.
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求得值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见证明；（2）（3）见解析
【解析】
(1)由题意，可知 ，则，
所以，，面，所以，
又因为，所以
(2) 因为，，为等腰直角三角形，所以，
在中，，，，
又，
.
(3)在棱上取点，使得，过作交于，
则，又且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面，
故在棱上存在点，当时，使得平面.
6.如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若点分别为上的点，且，在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析（2）线段上存在一点，使得平面．
【解析】
（Ⅰ）证明：由已知，得，
∵，，
又，∴．
又底面，平面，则，
∵平面，平面，且，
∴平面．
∵平面，∴平面平面．
（Ⅱ）线段上存在一点，使得平面．
证明：在线段上取一点，使，连接
∵，∴，且，
又∵，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面．
∴．
7．（2021·江苏高一期末）如图， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的点， SKIPIF 1 < 0 垂直于圆 SKIPIF 1 < 0 所在的平面，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证：平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）由线面垂直的判定，推得AC⊥平面PDO，再由面面垂直的判定定理，可得证明；
（2）在三棱锥 P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，由三点共线取得最值的性质，计算可得所求最小值．
【详解】
解：（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 垂直于圆 SKIPIF 1 < 0 所在的平面，因为 SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 所在的平面，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
同理 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，将侧面 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 旋转至平面 SKIPIF 1 < 0 ，使之与平面 SKIPIF 1 < 0 共面，
如图所示．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点．

从而 SKIPIF 1 < 0 ，
亦即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2020·江苏南京师大附中高二开学考试）在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，如图1，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 的位置，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图 SKIPIF 1 < 0
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 必定存在交线 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）由平面的性质和线面平行的性质定理可证得结果；
（2）证得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而由线面垂直的判定定理可证得结果；
（3）由等体积法可得结果.
【详解】
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 .
又平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，
则由公理3可知平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 必然相交，设交线为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以由线面平行的性质定理得到 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，由三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而，等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 底边上的高 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高一期中）如图所示，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，F是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
（1）取 SKIPIF 1 < 0 的中点M，根据中位线定理以及公理4可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，再根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）根据正三角形性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据线面垂直的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可根据线面垂直的判定定理证出；
（3）易证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而可知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，解三角形即可求出．
【详解】
（1）证明：取 SKIPIF 1 < 0 的中点为M，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵F是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且由于 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ，∵底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为正三角形
∵F是 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）连结 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于O，∴底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影．
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角．
∵O，E分别是中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2021·浙江温州市·高二期中）如图所示，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ，在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 .若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】
（1）结合面面垂直的性质定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，由此证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）作出 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 上的射影，结合线面角的知识确定正确结论.
【详解】
（1）证明：∵在该组合体中，平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
且平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
故有 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可证 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是底面 SKIPIF 1 < 0 的两条相交直线，
∴ SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在底面的射影是 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时，所成的线面角最大，此时
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故不可能在 SKIPIF 1 < 0 上存在点，满足条件.
练真题TIDHNEG
1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【解析】
由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.
【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
2．（2020·山东海南省高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20°B．40°
C．50°D．90°
【答案】B
【解析】
画出截面图如下图所示，其中 SKIPIF 1 < 0 是赤道所在平面的截线； SKIPIF 1 < 0 是点 SKIPIF 1 < 0 处的水平面的截线，依题意可知 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 是晷针所在直线. SKIPIF 1 < 0 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知 SKIPIF 1 < 0 、根据线面垂直的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ..
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，也即晷针与点 SKIPIF 1 < 0 处的水平面所成角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 SKIPIF 1 < 0 ，那么P到平面ABC的距离为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
作 SKIPIF 1 < 0 分别垂直于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，
知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 平分线，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
4.（2018·全国高考真题（文））如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 所在平面与半圆弧 SKIPIF 1 < 0 所在平面垂直， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的点．
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ？说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析
【解析】
（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为 SKIPIF 1 < 0 上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．
而DM SKIPIF 1 < 0 平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．
MC SKIPIF 1 < 0 平面PBD，OP SKIPIF 1 < 0 平面PBD，所以MC∥平面PBD．
5．（2021·全国高考真题）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【答案】(1)详见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.
【详解】
（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD SKIPIF 1 < 0 平面BCD SKIPIF 1 < 0 ,平面ABD⊥平面BCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, SKIPIF 1 < 0 ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC， SKIPIF 1 < 0 ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
则 SKIPIF 1 < 0 为二面角E-BC-D的平面角, SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为正三角形,所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
从而EF=FM= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面BCD,
所以 SKIPIF 1 < 0
6．（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，M为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，由线面垂直的判定定理可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，由平面知识可知， SKIPIF 1 < 0 ，由相似比可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积公式即可求出．
【详解】
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
故四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．