统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练42直线平面垂直的判定与性质文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练42直线平面垂直的判定与性质文，共7页。
[基础强化]
一、选择题
1.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（ ）
A．1个 B．2个
C.3个 D．4个
2.[2023·哈尔滨模拟]设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是（ ）
A.m⊥α，n∥α，则m⊥n
B.m⊥α，n⊥α，则m∥n
C.m⊥α，m⊥n，则n∥α
D.m⊥n，n∥α，则m⊥α
3.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（ ）
A.a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β
C.a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
4.[2023·贵州省普通高等学校测试]如图，在四面体ABCD中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC
5.[2023·安徽省蚌埠质检]已知平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，过平面α和β外的一点P作直线m⊥l，则“m∥α”是“m⊥β”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A.m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
8.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为（ ）
A. eq \f(\r(2),2) B． eq \f(4,3) C． eq \f(3,5) D．1
9.
如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A.平面ABC⊥面ABD
B.平面ABD⊥面BCD
C.平面ABC⊥面BDE且平面ACD⊥面BDE
D.平面ABC⊥面ACD且平面ACD⊥面BDE
二、填空题
10.在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，则P在平面ABC中的射影O为△ABC的 心．
11.已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m则
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有 （请将你认为正确的结论的序号都填上）.
12.在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有 对．
[能力提升]
13.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是（ ）
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
14.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（ ）
A.①② B．①③ C．②③ D．③④
15.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，底面各边都相等，M为PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.
16.
如图，VA⊥平面ABC，△ABC的外接圆是以边AB的中点O为圆心的圆，点M、N、P分别为VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的是 ．（把正确结论的序号都填上）
①MN∥平面ABC；
②OC⊥平面VAC；
③MN与BC所成的角为60°；
④MN⊥OP；
⑤平面VAC⊥平面VBC.
专练42 直线、平面垂直的判定与性质
1．D 如图ABCD为矩形，PA⊥面ABCD时，△PAB，△PAD为直角三角形，
又AD⊥DC，PA⊥DC，PA∩AD＝A，
∴CD⊥面PAD，∴CD⊥PD，∴△PCD为直角三角形，同理△PBC为直角三角形，共4个直角三角形．
2．D ∵n∥α，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面β与平面α的交线l平行于n，
∵m⊥α，l⊂α，∴m⊥l，∴m⊥n，故A正确；若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，可得m∥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误．
3．C 当α∥β，b⊥β时，b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a，故C正确.
4．C 因AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC，而BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，
则有AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确；
在平面ABC内取点P，作PM⊥AB，PN⊥BE，垂足分别为M，N，如图，
因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE＝BE，则PN⊥平面BDE，则有PN⊥BD，
若平面ABC⊥平面ABD，同理可得PM⊥BD，而PM∩PN＝P，PM，PN⊂平面ABC，
于是得BD⊥平面ABC，显然BD与平面ABC不一定垂直，A不正确；
过A作△ABD边BD上的高AF，连CF，由△ABD≌△CBD得，CF是△CBD边BD上的高，
则∠AFC是二面角A­BD­C的平面角，而∠AFC不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；
因AC⊥平面BDE，则∠DEB是二面角D­AC­B的平面角，∠DEB不一定是直角，平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确．
5．C 当m∥α时，过m作平面γ∩α＝n，则m∥n，结合α⊥β，得n⊥β，从而m⊥β；当m⊥β时，在α内作直线n⊥l，结合α⊥β，得n⊥β，所以m∥n，又m⊄α，n⊂α，所以m∥α.
6．B 由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．
7．C ∵α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，
∴n⊥l.
8．D
如图所示，连接AC，∵AA1⊥平面ABCD，∴A1C与平面ABCD所成的角为∠ACA1，∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，∵AA1＝5，
∴tan ∠ACA1＝1.
9．C ∵AB＝BC，E为AC的中点，∴EB⊥AC，同理DE⊥AC，又DE∩EB＝E，
∴AC⊥面BDE，又AC⊂面ACD，
∴平面ACD⊥面BDE，同理平面ABC⊥面BDE.
10．答案：
外
解析：连结OA，OB，OC，OP，
∴△POA，△POB，△POC为直角三角形，
又PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O为△ABC的外心．
11．答案：②④
解析：∵γ∩β＝l，
∴l⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m，l⊥m，
∴l⊥α，∵γ∩β＝l，
∴l⊂β，又l⊥α，∴α⊥β，∴②④正确．
12．答案：5
解析：
∵PA⊥面ABCD，又PA⊂面PAD，
∴面PAD⊥面ABCD；同理面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥面ABCD，
∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩PA＝A，
∴CD⊥面PAD，又CD⊂面PCD，
∴面PCD⊥面PAD，同理面PBC⊥面PAB，面PAB⊥面PAD，共有5对．
13．D ∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立．又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立．∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，
∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∠PDA＝45°，∴D正确．
14．C 设正方体的棱长为2，
对于①，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，
图(1)
故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，
在Rt△OPC中，OC＝ eq \r(2)，CP＝1，
故tan ∠POC＝ eq \f(1,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，故MN⊥OP不成立．
对于②，如图(2)所示，取AN的中点B，连接PB，OB，
图(2)
则OP＝ eq \r(12＋（\r(2)）2)＝ eq \r(3)，
PB＝ eq \r(2)，OB＝ eq \r(12＋22)＝ eq \r(5)，
所以OP2＋PB2＝OB2，所以OP⊥PB，
又PB∥MN，所以OP⊥MN.
图(3)
对于③，如图(3)所示，取AD的中点C，连接OC，PC，BD，因为P，C分别是DE，AD的中点，所以CP⊥BD，又OC⊥平面ADEB，BD⊂平面ADEB.
所以OC⊥BD，又OC∩CP＝C，OC，CP⊂平面OCP，所以BD⊥平面OCP，所以BD⊥OP，
又BD∥MN，所以OP⊥MN，
图(4)
对于④，如图(4)所示，取AN的中点B，ME的中点F，连接PB，BF，OF，
若OP⊥MN，又OF⊥平面MENA，所以OF⊥MN，所以MN⊥平面OFBP，
所以MN⊥BF，显然，MN与BF不可能垂直，所以OP⊥MN不成立．
15．答案：BM⊥PC(DM⊥PC)
解析：当BM⊥PC时，面MBD⊥面PCD，证明如下：
如图所示，∵PA⊥面ABCD，AB＝AD，
∴PB＝PD，又BC＝CD，
∴△PBC≌△PCD，∴当BM⊥PC时，
DM⊥PC，∴PC⊥面MBD，又PC⊂面PCD，
∴平面MBD⊥面PCD.
16．答案：①④⑤
解析：对于①，因为点M，N分别为VA，VC的中点，所以MN∥AC，又MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，故①正确；对于②，若OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，而由题意知AB是圆O的直径，则BC⊥AC，故OC与AC不可能垂直，故②不正确；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN⊥BC，即MN与BC所成的角为90°，故③不正确；对于④，易得OP∥VA，VA⊥MN，所以MN⊥OP，故④正确；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故⑤正确．综上，应填①④⑤.