专题42 二次根式-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
1.二次根式的性质
（1）；
（2）.
2.二次根式运算法则
（1）；
（2）.
【典例】如果式子(x-1)2+|x﹣2|化简的结果为2x﹣3，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x＞0
【解答】解：∵(x-1)2+|x﹣2|＝|x﹣1|+|x﹣2|，
又∵化简的结果为2x﹣3，
∴x-1≥0x-2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【巩固】实数a、b满足a2-2a+1+25-10a+a2=10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为 ．
【解答】解：∵a2-2a+1+25-10a+a2=10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10，
∵|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝4，|b+4|+|b﹣2|＝6，
∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，
∴a2+b2的最大值为：
52+（﹣4）2＝41．
故答案为：41．
二、二次根式分母有理化
【典例】已知x=3+23-2，y=3-23+2，则xy+yx= ．
【解答】解：把x、y进行分母有理化可得：
x=3+23-2=(3+2)(3+2)(3-2)(3+2)=5+26，
y=3-23+2=(3-2)(3-2)(3-2)(3+2)=5﹣26，
∴xy+yx=x2+y2xy=(5+26)2+(5-26)2(5+26)(5-26)=98．
故答案为：98．
【巩固】已知x=12020-2019，则x6﹣22019x5﹣x4+x3﹣22020x2+2x-2020的值为（ ）
A．0B．1C．2019D．2020
【解答】解：∵x=12020-2019=2020+2019，
∴x6﹣22019x5﹣x4+x3﹣22020x2+2x-2020
＝x5（x﹣22019）﹣x4+x2（x﹣22020）+2x-2020
＝x5（2020+2019-22019）﹣x4+x2（2020+2019-22020）+2x-2020
＝x5（2020-2019）﹣x4+x2（2019-2020）+2x-2020
＝x4[x（2020-2019）﹣1]+x2（2019-2020）+2x-2020
＝0+x（2020+2019）（2019-2020）+2x-2020
＝﹣x+2x-2020
＝x-2020
=2019．
故选：C．
三、二次根式中的整数和小数部分应用
【典例】已知5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2-4b2a2+4ab+4b2的值．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜5＜3，
∴4＜5+2＜5，
∴a＝4，b=5-2；
∴a2-4b2a2+4ab+4b2
=(a-2b)(a+2b)(a+2b)2
=a-2ba+2b
=4-25+44+25-4
=455-1．
【巩固】
设a为3+5-3-5的小数部分，b为6+33-6-33的小数部分，则2b-1a= ．
【解答】解：∵3+5-3-5=6+252-6-252=5+12-5-12=2，
∴a的小数部分=2-1；
∵6+33-6-33=12+632-12-632=3+32-3-32=6，
∴b的小数部分=6-2，
∴2b-1a=26-2-12-1=6+2-2-1=6-2+1．
故答案为：6-2+1．
巩固练习
1．若实数a，b，c满足等式2a+3|b|=6，4a-9|b|=6c，则c可能取的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由两个已知等式可得，
a=35(c+3)，|b|=25(2-c)，
而|b|≥0，所以c≤2．
当c＝2时，可得a＝9，b＝0，满足已知等式．
所以c可能取的最大值为2．
故选：C．
2．化简3+2217+122-3-2217-122的结果是（ ）
A．2B．-2C．2D．﹣2
【解答】解：3+22=(2+1)2，3-22=(2-1)2；17+122=(3+22)2，17-122=(3-22)2，
因此，原式=13+22-13-22=12+1-12-1=-2．
故选：D．
3．如果实数x，y满足（x2+1+x）（y2+1+y）＝1，那么x+y值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
【解答】解：∵（x2+1+x）（x2+1-x）＝x2+1﹣x2＝1，（y2+1+y）（y2+1-y）＝y2+1﹣y2＝1
又∵（x2+1+x）（y2+1+y）＝1，
∴x2+1-x=y2+1+y①y2+1-y=x2+1+x②，
①+②得：﹣x﹣y＝x+y，
∴2（x+y）＝0，
∴x+y＝0．
故选：A．
4．小明在解方程24-x-8-x=2时采用了下面的方法：由
(24-x-8-x)(24-x+8-x)=(24-x)2-(8-x)2=（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又有24-x-8-x=2，可得24-x+8-x=8，将这两式相加可得
24-x=58-x=3，将24-x=5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解决下列问题：
（1）已知22-a2-10-a2=32，则22-a2+10-a2的值为 ．
（2）解方程4x2+6x-5+4x2-2x-5=4x，得方程的解为 ．
【解答】解：（1）（22-a2+10-a2）（22-a2-10-a2）＝22﹣a2﹣（10﹣a2）＝12，
∵22-a2-10-a2=32，
∴22-a2+10-a2=22，
故答案为：22；
（2）（4x2+6x-5+4x2-2x-5）（4x2+6x-5-4x2-2x-5）＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x，
∵4x2+6x-5+4x2-2x-5=4x，
∴4x2+6x-5-4x2-2x-5=2，
将这两式相加可得4x2+6x-5=2x+1，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
∴原方程的解为：x＝3，
故答案为：x＝3．
5．已知整数x、y满足：1＜x＜y＜100，且xy+yx-2009x-2009y+2009xy=2009
则：x+y+10= ．
【解答】解：∵xy+yx-2009x-2009y+2009xy=2009
∴xy（x+y）-2009（x+y）+2009xy-20092=0
（x+y+2009）（xy-2009）＝0
∵1＜x＜y＜100
∴xy-2009=0
∴xy＝2009＝7×7×41＝49×41
∵整数x、y满足：1＜x＜y＜100
∴x＝41，y＝49
∴x+y+10=41+49+10=100=10．
故本题答案为：10．
6．已知x=b-b2-4122（b＞21），则x2﹣bx+103＝ ．
【解答】解：将x=b-b2-4122代入x2﹣bx+103，
x2﹣bx+103
＝（b-b2-4122）2﹣b•b-b2-4122+103
=b2-2bb2-412+b2-4124-b2-2bb2-412+b2-4124
＝0，
故答案为0．
7．已知x＝3+22，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．
【解答】解：原式＝x2+2+1x2+6（x+1x）+5
＝（x+1x）2+6（x+1x）+5
＝（x+1x+1）（x+1x+5），
∵x＝3+22，
∴1x=13+22=3﹣22，
∴x+1x=3+22+3﹣22=6．
∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．
8．计算：
（1）25（420-345+25）；
（2）23-1+27-（3-π）0+3﹣2
（3）若a=5+1，b=5-1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：a2-|a+b|+(c-a)2+|b+c|
【解答】解：（1）原式＝25（85-95+25）
＝25×5
＝10；
（2）原式=3+1+33-1+19
＝43+19；
（3）∵a=5+1，b=5-1，
∴a+b＝25，ab＝4，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝4×25
＝85；
（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．
∴a2-|a+b|+(c-a)2+|b+c|
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
9．已知x﹣y＝6，x2-xy+xy-y2=9，求x2-xy-xy-y2的值．
【解答】解：∵x﹣y＝6，
∴(x+y)(x-y)=6，
∴x+y=6x-y，
∵x2-xy+xy-y2
=x•x-y+y•x-y
=x-y（x+y）
＝9，
∴66x-y=9，
即x-y=669，
∴x2-xy-xy-y2
=x-y（x-y）
=6×669
＝4．
10．若m满足关系3x+5y-2-m+2x+3y-m=x-199+y⋅199-x-y，试求m的值．
【解答】解：根据题意得：x-199+y≥0199-x-y≥0，
则x+y﹣199＝0，
即3x+5y-2-m+2x+3y-m=0，
则x+y-199=03x+5y-2-m=02x+3y-m=0，
解得x=396y=-197m=201．
故m＝201．
11．已知x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n（n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x2+36xy+19y2的值为1 998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
【解答】解：不存在．
∵x+y=n+1-nn+1+n+n+1+nn+1-n=(n+1-n)2+(n+1+n)2
＝n+1﹣2n(n+1)+n+n+1+n+2n(n+1)=4n+2．
xy=n+1-nn+1+n•n+1+nn+1-n=1．
假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．
即19x2+36xy+19y2＝1998．
19x2+19y2＝1962，（x2+y2）=196219．
（x+y）2=196219+3819=200019.x+y=200019=209519．
由已知条件，得x+y＝2（2n+1）．
∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，
∴x+y=209519不为整数．
∴不存在这样的自然数n．