专题04 有理数的乘方-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】
有人说，将一张纸对折，再对折，重复下去，第43次后纸的厚度便超过地球到月球的距离，已知一张纸厚0.006cm，地球到月球的距离约为3.85×108m，用计算器算一下这种说法是否可信．
【解答】解：对折43次后，这张纸的厚度为0.006×243≈5.28×1010（cm）＝5.28×108（m），
∵5.28×108m＞3.85×108m，
∴这种说法是可信的．
【巩固】
1883年，康托尔构造的这个分形，称作康托尔集，从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段，然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集，上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第n个阶段时，余下的所有线段的长度之和为（ ）
A．2n3B．23C．(23)nD．(23)n-1
【解答】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为23，
第二阶段时，余下的线段的长度之和为23×23=（23）2，
第三阶段时，余下的线段的长度之和为23×23×23=（23）3，
…
以此类推，
当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为（23）n．
故选：C．
二、等比数列求和
【典例】阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22020+22021①
则2S＝2+22+…+22021+22022②
②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+…+220＝ ；
（2）求1+12+122+⋯+1250= ；
（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整数，请写出计算过程）
【解答】解：（1）设S＝2+22+…+220，则：
2S＝22+23+…+220+221，
2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，
∴S＝221﹣2，
故答案为：221﹣2．
（2）设S＝1+12+122+⋯+1250，则：
2S＝2+1+12+122+⋯+1249，
2S﹣S＝（2+1+12+122+⋯+1249）﹣（1+12+122+⋯+1250）＝2-1250，
∴S＝2-1250，
故答案为：2-1250．
（3）设S＝1+a+a2+a3+…+an，则：
aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，
aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．
∴S=an+1-1a-1．
【巩固】计算：
【解答】设，
则，
，
巩固练习
1．已知（a+1）2＝25，且a＜0，|a+3|+|b+2|＝14，且ab＞0，则a+b＝（ ）
A．﹣19B．﹣9C．13D．3
【解答】解；∵（a+1）2＝25，
∴a+1＝±5，
∴a＝﹣6或4，
∵a＜0，
∴a＝﹣6，
∵|a+3|+|b+2|＝14
∴b+2＝±11，
b＝9或﹣13，
∵ab＞0，a＜0，
∴b＜0，b＝﹣13，
∴a+b＝﹣6﹣13＝﹣19．
故选：A．
2．若a，b，c均为整数且满足（a﹣b）10+（a﹣c）10＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：因为a，b，c均为整数，所以a﹣b和a﹣c均为整数，
从而由（a﹣b）10+（a﹣c）10＝1可得|a-b|=1|a-c|=0或|a-b|=0|a-c|=1.
若|a-b|=1|a-c|=0则a＝c，
从而|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝|a﹣b|+|b﹣a|+|a﹣a|＝2|a﹣b|＝2．
若|a-b|=0|a-c|=1则a＝b，
从而|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝|a﹣a|+|a﹣c|+|c﹣a|＝2|a﹣c|＝2．
因此，|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝2．
故选：B．
3．如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（ ）
A．A1B．B1C．A2D．B3
【解答】解：A1＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6＝732，
整理可得：2n＝248，
n不为整数；
A2＝2n﹣8+2n﹣10+2n﹣12＝732，
整理可得：2n＝254，
n不为整数；
B1＝2n﹣2+2n﹣8+2n﹣14＝732，
整理可得：2n＝252，
n不为整数；
B3＝2n﹣6+2n﹣12+2n﹣18＝732，
整理可得：2n＝256，
n＝8；
故选：D．
4．若|a+b+1|与（a﹣b+1）2互为相反数，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．a≥b
【解答】解：∵|a+b+1|与（a﹣b+1）2互为相反数，
∴|a+b+1|+（a﹣b+1）2＝0，
∴|a+b+1|＝0，（a﹣b+1）2＝0，
即a+b+1＝0，a﹣b+1＝0，
∴a＝﹣1，b＝0，
∴﹣1＜0，即a＜b．
故选：C．
5．很多整数都可以表示为几个互异的平方数之和，例如30＝12+22+32+42＝12+22+52，现将2012表示为k（k为正整数）个互异的平方数之和，则k的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：2012＝392+212+72+12，
∴k的最小值是4．
故选：C．
6．计算：[-75×(-212)-1]÷9÷1(-0.75)2-|2+(-12)3×52|= ．
【解答】解：原式＝[75×52-1]÷9÷169-98=52×19×916-98=-3132．
7．若（x+1）2与|xy+2|互为相反数，则：1(x+2)y+1(x+3)(y+1)+⋯+1(x+2011)(y+2009)的值是
【解答】解：∵（x+1）2与|xy+2|互为相反数，
∴（x+1）2＝0，|xy+2|＝0，
∴x＝﹣1，y＝2．
代入原式可得11×2+12×3+⋯+12010×2011=1-12+12-13+13⋯+12010-12011=20102011．
故答案为20102011．
8．试写出所有3个连续正整数立方和的最大公约数，并证明．
【解答】解：设三个连续的正整数的立方和为f（n）＝（n﹣1）3+n3+（n+1）3
＝3n3+6n
＝3n3﹣3n+9n
＝3n（n﹣1）（n+1）+9n
又∵当n≥2时，（n﹣1）n（n+1）是三个连续的整数的积，
所以必是3的倍数，所以3n（n﹣1）（n+1）能被9整除．
∴f（n）能被9整除
∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是9．
9．已知a，b为正整数，求M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值．
【解答】解：∵a，b为正整数，要使得M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4的值为正整数，显然有a≥2，
当a＝2时，b只能为1，此时M＝4，故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值不超过4；
当a＝3时，b只能为1或2，若b＝1，则M＝18，若b＝2，则M＝7；
当a＝4时，b只能为1或2或3，若b＝1，则M＝38，若b＝2，则M＝24，若b＝，3，则M＝2；
若M＝1，即3a2﹣ab2﹣2b﹣4＝1，即3a2﹣ab2＝2b+5①，注意到2b+5为奇数，
∵3a2是偶数，又偶数减奇数才得奇数，
∴a是偶数，b是偶数．
此时3a2﹣ab2被4整除所得余数为3，2b+5被4整除所得余数为1，
故①式不可能成立，即M≠1．
故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值为2．
10．日常生活中，我们使用的是十进制数，而计算机使用的数是二进制数（数位的进位方法是“逢二进一”），有时候也会用到三进制数（数位的进位方法是“逢三进一”）．如三进位制数201可用十进制数表示为2×32+0×3+1＝19；二进位制数1011可用十进制数表示为1×23+0×22+1×2+1＝11．
（1）现有三进位制数a＝221，二进位制数b＝10111，试比较a与b的大小关系．
（2）填空：将十进制数18用二进制数表示为 ．
（3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图是一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．求孩子出生的天数．
【解答】解：（1）三进位制数a＝221用十进制数表示为2×32+2×3+1＝25，
二进位制数b＝10111用十进制数表示为24+22+1×2+1＝23，
所以a＞b．
（2）因为18＝24+2，
所以十进制数18用二进制数表示为10010．
故答案为：10010．
（3）图中的数为6+2×7+3×72+73＝510，即孩子出生510天．
11．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22020+22021①
则2S＝2+22+…+22021+22022②
②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+…+220＝ ；
（2）求1+12+122+⋯+1250= ；
（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整数，请写出计算过程）
【解答】解：（1）设S＝2+22+…+220，则：
2S＝22+23+…+220+221，
2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，
∴S＝221﹣2，
故答案为：221﹣2．
（2）设S＝1+12+122+⋯+1250，则：
2S＝2+1+12+122+⋯+1249，
2S﹣S＝（2+1+12+122+⋯+1249）﹣（1+12+122+⋯+1250）＝2-1250，
∴S＝2-1250，
故答案为：2-1250．
（3）设S＝1+a+a2+a3+…+an，则：
aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，
aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．
∴S=an+1-1a-1．
12．老财主临终前将全部银元分给他的四个儿子．老大分得全部银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老二分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老三分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老四分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；余下的银元又分成4等份，四个儿子各得一份，多出的1枚银元给了丫环．问老财主至少要有多少块银元才够分．
【解答】解：从每次分得的银元都多出一枚可知，只要增加3枚银元，
则每次分到的都是4的倍数，共分了5次4的倍数，
所以至少要有4×4×4×4×4＝45＝1024枚，
由于增加了3枚银元，
所以至少要1024﹣3＝1021枚银元才够分，具体情况如下：
第一次：老大分得（1021﹣1）÷4＝255枚，
第二次：老二分得（255×3﹣1）÷4＝191枚，
第三次：老三分得（191×3﹣1）÷4＝143枚，
第四次：老四分得（143×3﹣1）÷4＝107枚，
第五次：四个儿子各分得（107×3﹣1）÷4＝80枚，
所以老财主至少要有1021块银元才够分．