专题08 一元一次方程的解法-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
系数含字母的一元一次方程可以化为的形式，当字母的取值范围未给出时，则要分类讨论解的情况，当时，方程有唯一解；当时，方程有无数个解；当时，方程无解.
系数含字母的方程可以根据已知条件讨论解的个数，如解分别是正数、负数时需要满足的条件是什么等.
【典例】解关于x的方程：13m（x﹣n）=14（x+2m）．
【解答】解：去分母得：4m（x﹣n）＝3（x+2m），
去括号得：4mx﹣4mn＝3x+6m，
移项合并得：（4m﹣3）x＝4mn+6m，
当4m﹣3≠0时，解得：x=4mn+6m4m-3，
当4m﹣3＝0，4mn+6m＝0时，方程有无数个解，
当4m﹣3＝0，4mn+6m≠0时，方程无解．
【巩固】已知关于x的一元一次方程kx+a6-x-bk3=2，其中a，b，k为常数．
（1）当k＝3，a＝﹣1，b＝1时，求该方程的解；
（2）试说明当k＝2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值；
（3）若无论k为何值时，该方程的解总是x＝﹣3，求ab的值．
【解答】解：（1）由题意得：3x-16-x-33=2．
∴3x﹣1﹣2x+6＝12．
∴x＝7．
（2）当k＝2时，方程为：2x+a6-x-2b3=2．
∴2x+a﹣2x+4b＝12．
∴0•x＝12﹣a﹣4b．
∵方程有无数解，
∴12﹣a﹣4b＝0．
∴a+4b＝12．
（3）该方程化为：kx+a﹣2x+2bk＝12
当x＝﹣3时，（2b﹣3）k＝12﹣a﹣6．
∴（2b﹣3）k＝6﹣a．
∵无论k为何值，等式恒成立，
∴2b﹣3＝0，6﹣a＝0．
∴a＝6，b=32．
∴ab＝6×32=9．
二、解含有绝对值的方程
【学霸笔记】
解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下：
（1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和；
（2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下：
①求出各个临界点；
②根据未知数的取值范围进行分类讨论；
③去绝对值符号，化为一般方程求解.
【典例】解方程|x﹣2|+|2x+1|＝7．
【解答】解：当x＜﹣0.5时，2﹣x﹣1﹣2x＝7，解得x＝﹣2；
当﹣0.5≤x＜2时，2﹣x+2x+1＝7，解得x＝4（不符合题意的解要舍去）；
当x≥2时，x﹣2+2x+1＝7，解得x=83，
综上所述：x＝﹣2，x=83．
【巩固】关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a有三个整数解，求a的值．
【解答】解：①若|x﹣2|﹣1＝a，
当x≥2时，x﹣2﹣1＝a，解得：x＝a+3，a≥﹣1；
当x＜2时，2﹣x﹣1＝a，解得：x＝1﹣a；a＞﹣1；
②若|x﹣2|﹣1＝﹣a，
当x≥2时，x﹣2﹣1＝﹣a，解得：x＝﹣a+3，a≤1；
当x＜2时，2﹣x﹣1＝﹣a，解得：x＝a+1，a＜1；
又∵方程有三个整数解，
∴可得：a＝﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．
即a只能取1．
巩固练习
1．已知关于x的方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≤﹣1C．a＞2或a≤﹣2D．a＞1或a≤﹣1
【解答】解：方法一：
①当ax﹣a≥0，
a（x﹣1）≥0，
解得：x≥1 且 a≥0，或者 x≤1且a≤0，
②正根条件：x＞0，
x＝ax﹣a，即x=aa-1＞0，
解得：a＞1 或a＜0，
由①，即得正根条件：a＞1 且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，
③负根条件：x＜0，得：﹣x＝ax﹣a，
解得：x=aa+1＜0，即﹣1＜a＜0，
由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，
根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取 a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（ 此时0＜x≤1，没负根）．
综合可得，a＞1或a≤﹣1．
故选：D．
方法二：解：如图直线y＝|x|，y＝ax﹣a的图象如图所示：
观察图象可知：当直线y＝ax﹣a与直线y＝﹣x平行时，a＝﹣1，
当直线y＝ax﹣a与直线y＝x平行时，a＝1，
直线y＝ax﹣a与直线y＝|x|的交点在第一象限时，方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，
∴a≤﹣1或a＞1满足条件．
故选：D．
2．方程x3+x15+x35⋯+x2005×2007=1的解是x＝（ ）
A．20062007B．20072006C．20071003D．10032007
【解答】解：x3+x15+x35⋯+x2005×2007=1，
提取公因式，得
x （13+115+135+⋯+12005×2007）＝1，
将方程变形，得
x[12（1-13）+12（13-15）+12（15-17）+⋯+12（12005-12007）]＝1，
提取公因式，得
x2（1-13+13-15+15-17+⋯+12005-12007）＝1，
移项，合并同类项，得
x2（1-12007）＝1，
系数化为1，得
x=20071003．
故选：C．
3．方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（ ）
A．1002个B．1001个C．1000个D．2002个
【解答】解：|x|+|x﹣2002|是数轴上点x到0和2002的距离的之和，记为d．显然，当0≤x≤2002时，d＝2002；
当x＜0或x＞2002时，d＞2002．
同理，|x﹣1001|+|x﹣3003|是数轴上的点x到两点1001和3003的距离之和，记为d′，显然当1001≤x≤3003时，d′＝2002；
当x＜1001或x＞3003时，d′＞2002．
因此，如果，1001≤x≤2002，则d＝d′＝2002；
如果2002＜x≤3003，则d＞2002＝d′；
如果0≤x＜1001，则d′＞2002＝d；
如果x＞3003，则d＝x+（x﹣2002）＞（x﹣1001）+（x﹣3003）＝d′；
如果x＜0，则d＝﹣x+（2002﹣x）＜（1001﹣x）+（3003﹣x）＝d′．
所以题设方程是符合1001≤x≤2002的所有整数，共有1002个．
故选：A．
4．已知方程x3﹣6x﹣10＝0有一根x0满足k＜x0＜k+1，k为正整数，则k＝ 3 ．
【解答】解：∵x3﹣6x﹣10＝0，
∴x（x2﹣6）＝10，
∵方程有一根，
∴x2-6＞0x2-6＜10，
∵x0满足k＜x0＜k+1，k为正整数，
∴x只能取正整数部分，
∴2＜x＜4，
∵方程有一根x0满足k＜x0＜k+1，k为正整数，
∴k＝3；
故答案为：3．
5．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡．
（1）试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ；
（2）试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ．
【解答】解：（1）天平一边是砝码①，③，…，⑳，天平另一边是砝码②，④，…，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码；
（2）天平一边是砝码①，②，…，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，⑳，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡．
6．解下列方程：
（1）|x+3|﹣|x﹣1|＝x+1
（2）|x﹣1|+|x﹣5|＝4．
【解答】解：（1）①当x≥1时，原方程可化为：x+3﹣（x﹣1）＝x+1，
解得：x＝3；
②当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣x﹣3﹣（1﹣x）＝x+1，
解得：x＝﹣5；
③当﹣3≤x＜1时，原方程可化为：x+3+x﹣1＝x+1，
解得：x＝﹣1．
综上可得：方程的解为：x＝3或x＝﹣5或x＝﹣1；
（2）
方程可理解为一个点到1和5两点的距离和，由此可得方程的解为：1≤x≤5．
7．解关于x的方程|12x﹣2|﹣3＝a．
【解答】解：∵|12x﹣2|﹣3＝a，
∴|12x﹣2|＝3+a，
当a≥﹣3时，
则12x﹣2＝3+a或12x﹣2＝﹣3﹣a，
解得：x＝10+2a或x＝﹣2﹣2a．
当a＜﹣3时，此方程无解．
8．当a满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|﹣|x﹣5|＝a有一解？有无数多个解？无解？
【解答】解：①x≥5时，x﹣2﹣（x﹣5）＝x﹣2﹣x+5＝3，
当a＝3时，有无数多解；
当a≠3时，无论a取何值均无解；
②x≤2时，2﹣x﹣（5﹣x）＝2﹣x﹣5+x＝﹣3，
当a＝﹣3时，有无数解；
当a≠﹣3时，无解；
③2＜x＜5时，
x﹣2﹣（5﹣x）＝x﹣2﹣5+x＝2x﹣7，
∴4＜2x＜10，
∴4﹣7＜2x﹣7＜10﹣7
即：﹣3＜2x﹣7＜3．
所以当﹣3＜a＜3时，有一解；
当a＞3或a＜﹣3时，无解．
综上所述，当a＝±3时，方程有无数个解，当a＞3或a＜﹣3时，无解；当﹣3＜a＜3时，有一解．
9．已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q＝97的解是1，求代数式40p+101q+4的值．
【解答】解：把x＝1代入方程px+5q＝97可得：p+5q＝97，故p与5q中必有一个为偶数，
①若p＝2，则5q＝95，q＝19，40p+101q+4＝2003．
②若5q为偶数，则q为2，p＝87，而87不是质数，与题意矛盾．
综上可得：40p+101q+4＝2003．
故答案为：2003．
10．已知关于x的方程2[x-2(x-a4)]=3x和x+a9-1-3x12=1有相同的解，求a与方程的解．
【解答】解：由第一个方程得：x=a5
由第二个方程得：x=39-4a13
所以a5=39-4a13，解得a=6511，
所以x=1311