专题03 有理数的简便计算-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】
阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设s＝1+2+3+…+100，①
则s＝100+99+98+…+1，②
①+②，得2s＝101+101+101+…+101．
（两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和）
所以2s＝100×101，s=12×100×101＝5050③
所以1+2+3+…+100＝5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请解答下面的问题：
（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+200．
（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝ ．
（3）计算：101+102+103+…+2018．
【解答】解：（1）s＝1+2+3+…+200①，
则s＝200+199+198+…+1②，
①+②，得2s＝201+201+201+…+201，
所以2s＝200×201，s=12×200×201＝20100，
所以1+2+3+…+200＝20100；
（2）猜想：1+2+3+…+n=12n（n+1）；
故答案为：12n（n+1）；
（3）s＝101+102+103+…+2018①，
则s＝2018+2017+2016+…+101②，
①+②，得2s＝2119+2119+2119+…+2119，
所以2s＝（2018﹣100）×2119，s=12×1918×2119＝2032121，
所以101+102+103+…+2018＝2032121．
【巩固】
计算：
二、裂项相消
【学霸笔记】
形如可写成的形式，在分式的简便计算中常常有以下变形：
①；
②.
【典例】观察下面的变形规律：
11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，…
解答下面问题：
（1）若n为正整数请你猜想1n(n+1)= ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）利用这一规律化简：1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+⋯+1(x+2009)(x+2010)．
（4）尝试完成．（直接写答案）1x(x+2)+1(x+2)(x+4)+1(x+4)(x+6)+1(x+6)(x+8)+⋯+1(x+2014)(x+2016)= ．
【解答】解：（1）猜想：1n(n+1)=1n-1n+1；
故答案为：1n-1n+1；
（2）等式右边=n+1n(n+1)-nn(n+1)=n+1-nn(n+1)=1n(n+1)=左边，得证；
（3）原式=1x+1-1x+2+1x+2-1x+3+⋯+1x+2009-1x+2010=1x+1-1x+2010=2009(x+1)(x+2010)；
（4）原式=12（1x-1x+2+1x+2-1x+4+⋯+1x+2014-1x+2016）=12（1x-1x+2016）=1008x(x+2016)．
故答案为：1008x(x+2016)
【巩固】计算下面各题
（1）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+198×99+199×100
（2）计算：1+11+2+11+2+3+11+2+3+4+⋯+11+2+3+⋯+2015．
三、利用图形进行简便计算
【典例】数学问题：计算1m+1m2+1m3+⋯⋯+1mn（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算12+122+123+⋯⋯+12n．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+122；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分；
所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n=1-12n．
探究二：计算13+132+133+⋯+13n．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+232+233+⋯+23n，最后空白部分的面积是13n．
根据第n次分割图可得等式23+232+233+⋯+23n=1-13n．
两边同除以2，得13+132+133+⋯+13n=12-12×3n．
探究三：计算14+142+143+⋯+14n．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并填写探究过程和结果）
第n次分割
所有阴影部分的面积之和为 ；
最后的空白部分的面积是 ；
根据第n次分割图可得等式 ；
两边同除以 ，得 ；
解决问题：计算1m+1m2+1m3+⋯+1mn．
根据第n次分割图可得等式 ，
所以1m+1m2+1m3+⋯+1mn= ．
拓广应用：直接写出运算结果：5-15+52-152+53-153+⋯+5n-15n．
【解答】解：探究三：第n次分割图如图所示：
所有阴影部分的面积之和为1；
最后的空白部分的面积是14n；
根据第n次分割图可得等式34+342+⋯+34n=1-14n；
两边同除以3，得14+142+143+⋯+14n=13-13×4n；
故答案为：1，14n，式34+342+⋯+34n=1-14n，3，14+142+143+⋯+14n=13-13×4n；
解决问题：计算1m+1m2+1m3+⋯+1mn．
根据第n次分割图可得等式，m-1m+m-1m2+m-1m2+⋯+m-1mn=1-1mn，
所以1m+1m2+1m3+⋯+1mn=1m-1-1(m-1)⋅mn．
故答案为：m-1m+m-1m2+m-1m2+⋯+m-1mn=1-1mn，1m-1-1(m-1)⋅mn．
拓广应用：直接写出运算结果：5-15+52-152+53-153+⋯+5n-15n
＝1-15+1-152+1-153+⋯+1-15n
＝n﹣（14-14×5n）
＝n-14+14×5n．
巩固练习
1．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（ ）
A．46B．45C．44D．43
2．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为（ ）
A．12B．1118C．76D．59
3．211×（﹣455）+365×455﹣211×545+545×365＝ ．
4．37.9×0.0038+1.21×0.379+6.21×0.159＝ ．
5．计算：111×13×15+113×15×17+⋯+129×31×33= ．
6．计算：191919767676-76761919= ．
7．在1到100这100个数中，任找10个数，使其倒数之和等于1．
8．自选题：如图，显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：14，12，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值．
9．规定：正整数n的“H运算”是①当n为奇数时，H＝3n+13；②当n为偶数时，H＝n×12×12×⋯（其中H为奇数）．
如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果是11，经过3次“H运算”的结果是46．
请解答：（1）数257经过257次“H运算”得到的结果．
（2）若“H运算”②的结果总是常数a，求a的值．