初中数学人教版七年级下册5.1.2 垂线同步训练题

这是一份初中数学人教版七年级下册5.1.2 垂线同步训练题，共15页。试卷主要包含了1　相交线，点P与∠A的位置关系如图所示等内容，欢迎下载使用。

5.1.2 垂线
基础过关全练
知识点1 垂直的定义
1.(2022辽宁营口大石桥期末)已知直线a、b相交,如图所示,下列条件中不能得到a⊥b的是(M7205002)( )
A.∠1=90° B.∠1=∠2
C.∠1=∠3 D.∠1+∠3=180°
2.(2022河南中考)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O.若∠1=54°,则∠2的度数为( )
A.26° B.36° C.44° D.54°
3.【教材变式·P8T5】(2023福建福州台江期末)如图,已知OA⊥OB,直线CD过点O,且∠AOC=30°,则∠BOD等于(M7205002)( )
A.60° B.90° C.120° D.150°

4.【新考法】(2023江苏盐城二模)将一副三角板按如图所示的方式摆放,使得含45°角的三角板的一条直角边与含30°角的三角板的斜边互相垂直,则∠1=(M7205002)( )
A.45° B.30° C.20° D.15°
5.【易错题】在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数为 .
6.(2023福建厦门思明期中)如图,直线AB与CD相交于点O,OM⊥AB,OC平分∠AOM,求∠BOD的度数.
知识点2 垂线的画法
7.过点P向线段AB所在直线引垂线,正确的画法是(M7205002)( )
A B
C D
8.下列选项中,过点P画AB的垂线CD,三角板放法正确的是 ( )
9.点P与∠A的位置关系如图所示.在图(1),图(2),图(3)中,以P为顶点作出∠α(0°<∠α<180°),使∠α的两边所在的直线分别和∠A的两边所在的直线垂直.(各画出一种情况即可)

知识点3 垂线的性质
10.已知点P在直线l上,在同一平面内,过点P画直线l的垂线,可以画出(M7205002)( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
11.(2023浙江杭州西湖三模)如图,∠ACB=90°,AC=4,点P是直线CB上的动点,则线段AP的长度不可能是( )
A.3 B.4 C.5 D.6

12.如图,从人行横道线上的点P处过马路,沿线路PB行走距离最短,其依据是 .
13.【最短距离问题】如图,在铁路旁边有一李庄,现要建一火车站,使李庄的人乘火车最方便(即距离最近),请你在铁路边选一点来建火车站,并说明理由.
知识点4 点到直线的距离
14.【跨学科·体育与健康】小明参加跳远比赛,他从地面上踏板的点P处起跳落到沙坑中,两脚后跟与沙坑的接触点分别为A,B,小明未站稳,一只手撑在沙坑C点,则选项中跳远成绩测量正确的是( )
15.(2023河北石家庄十八中期中)直线m,n相交于点A,点P是直线m上一点,则点P到直线n的距离是(M7205002)( )
A.线段PA的长度
B.线段PB的长度
C.线段PC的长度
D.线段PD的长度
16.【新独家原创】下列说法正确的是 (填序号).
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②过直线CD外一点A画直线AB⊥CD于M,则AM就是点A到直线CD的距离.③点A是直线l外一点,直线l上有C,D,E,F四点,AC=18 cm,AD=20 cm,AE=7 cm,AF=15 cm,则点A到直线l的距离是7 cm.④如果∠α和它的对顶角互补,那么∠α的两边互相垂直.
能力提升全练
17.(2023辽宁鞍山期中,5,★☆☆)如图,在同一平面内,因为OM⊥AB,ON⊥AB,所以直线OM与ON重合,理由是( )
A.垂线段最短
B.两点之间,线段最短
C.两点确定一条直线
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
18.(2023山西吕梁交城期中,8,★★☆)如图,已知∠AOB=90°,OC⊥OD,∠AOC=32°,则∠BOD的度数为( )
A.60° B.58° C.42° D.32°
19.【数学文化】(2023甘肃武威中考改编,9,★★☆)如图1,汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献,书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣”,是古人利用光的反射定律改变光路的方法,即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上;反射光线和入射光线位于法线的两侧;反射角等于入射角”.为了探清一口深井的底部情况,运用此原理,如图2,在井口放置一面平面镜可改变光路,当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50°时,要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部(由光的反射定律可知∠ABE=∠FBM),则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC=( )

A.60° B.70° C.80° D.85°
20.【易错题】(2022湖南株洲攸县期末,13,★★☆)过平面上一点O作三条射线OA、OB和OC,已知OA⊥OB,∠AOC∶∠AOB=1∶2,则∠BOC的度数为 .
21.(2023河北唐山丰南改编,19,★★☆)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD于O.
(1)若∠BOD∶∠BOC=1∶5,求∠AOE的度数.
(2)在(1)的条件下,请你过点O画直线MN⊥AB,并在直线MN上取一点F(点F与O不重合),然后求出∠EOF的度数.
素养探究全练
22.【推理能力】【分类讨论思想】已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC.
【基础尝试】
(1)如图1,若∠AOC=40°,求∠DOE的度数.
【画图探究】
(2)作射线OF⊥OC,设∠AOC=x°,请你利用图2画出图形,并用含x的式子表示∠EOF的度数.
【拓展运用】
(3)在(2)中,存在∠EOF和∠DOE互补的情况吗?请你作出判断并说明理由.

答案全解全析
基础过关全练
1.C A.因为∠1=90°,所以a⊥b;
B.因为∠1=∠2,∠1+∠2=180°,
所以∠1=∠2=90°,所以a⊥b;
C.由∠1=∠3不能推出a⊥b;
D.因为∠1+∠3=180°,∠1=∠3,
所以∠1=∠3=90°,所以a⊥b.故选C.
2.B因为EO⊥CD,所以∠COE=90°,因为∠1+∠COE+∠2=180°,所以∠2=180°-∠1-∠COE=180°-54°-90°=36°,故选B.
3.C因为∠AOC=30°,OA⊥OB,
所以∠BOC=90°-∠AOC=90°-30°=60°,
所以∠BOD=180°-∠BOC=180°-60°=120°.故选C.
4.D本题将三角板中的角与垂直定义结合在一起考查,考法新颖.
如图,
因为AC⊥BE,所以∠ACB=90°.
因为∠B=30°,所以∠BAC=60°.
因为∠DAC=45°,所以∠1=60°-45°=15°.
5.60°或120°
解析 因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.①当OD,OC在直线AB同侧时,如图1,∠BOD+∠COD+∠AOC=180°,所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-30°-90°=60°;②当OD,OC在直线AB异侧时,如图2,∠AOC+∠AOD=∠COD=90°,所以∠AOD=90°-∠AOC=60°,因为∠AOD+∠BOD=180°,所以∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°.
故∠BOD的度数是60°或120°.

6.解析 因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°.
因为OC平分∠AOM,所以∠AOC=12∠AOM=45°,所以∠BOD=∠AOC=45°.
7.CA选项中PB与AB不垂直;B选项中没有过点P的直线;C选项符合过点P作AB的垂线的要求;D选项中PO是一条线段,而不是一条直线.
8.C根据垂线的作法,将直角三角板的一条直角边落在直线AB上,另一条直角边过点P后沿该直角边作直线即可.
9.解析 答案不唯一,如图:
图(1)
图(2)
图(3)
10.A因为在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以过点P画直线l的垂线,只可以画出1条.故选A.
11.A因为∠ACB=90°,所以AC⊥CB,所以AC是点A到直线CB的垂线段,因为AC的长为4,所以线段AP的长度不能比4小,故不可能是3.故选A.
12.垂线段最短
解析 因为PB⊥AD,垂足为点B,所以沿线路PB行走距离最短,依据是垂线段最短.
13.解析 为了使李庄的人乘火车最方便(即距离最近),过李庄向铁路画垂线段,垂足即为火车站的位置(如图),依据是垂线段最短.
14.C跳远成绩为距离踏板最近的落点(身体触及沙坑的任何地方都会被当成落点)到踏板的距离.由于C点到踏板最近,所以C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩,故选C.
15.C因为PC⊥n,所以点P到直线n的距离是PC的长度.故选C.
16.④
解析 ①没有强调“在同一平面内”,所以①不正确;②AM的长才是点A到直线CD的距离,所以②不正确;③不能得到AE⊥l,所以不能判断出AE的长是点A到直线l的距离,所以③不正确;④因为对顶角相等,所以若∠α和它的对顶角互补,则∠α=90°,可判断出∠α的两边互相垂直,所以④正确.
能力提升全练
17.D因为O,M,N与AB在同一平面内,OM⊥AB,ON⊥AB,OM与ON均过点O,所以根据在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可知,直线OM与ON重合.
18.D因为∠AOB=90°,所以∠AOC+∠BOC=90°,
因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠BOD+∠BOC=90°,所以∠BOD=∠AOC=32°.故选D.
19.B因为BM⊥CD,所以∠CBM=90°.因为∠ABC=50°,所以∠ABE+∠FBM=180°-90°-50°=40°.
因为∠ABE=∠FBM,所以∠ABE=∠FBM=20°,
所以∠EBC=20°+50°=70°.故选B.
20.135°或45°
解析 因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,
因为∠AOC∶∠AOB=1∶2,所以∠AOC=45°,
如图1,∠BOC=90°+45°=135°.
如图2,∠BOC=90°-45°=45°.
综上,∠BOC的度数为135°或45°.
易错点 对射线OC的位置没有分类讨论导致漏解.
21.解析 (1)因为∠BOD∶∠BOC=1∶5,
所以∠BOD=16∠COD=30°,所以∠AOC=30°,
因为EO⊥CD,所以∠COE=90°,
所以∠AOE=90°+30°=120°.
(2)如图,
分两种情况:
①F1在CD上方,则∠EOF1=∠BOD=30°;
②F2在CD下方,则∠EOF2=∠DOE+∠BON-∠BOD=150°.
综上所述,∠EOF的度数为30°或150°.
素养探究全练
22.解析 (1)因为∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=40°,所以∠BOC=180°-40°=140°,
因为OE平分∠BOC,所以∠COE=12∠BOC=70°,
因为∠DOE+∠COE=180°,
所以∠DOE=180°-70°=110°.
(2)当OF在CD的右侧时,如图1,因为∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=x°,所以∠BOC=(180-x)°,
因为OE平分∠BOC,
所以∠COE=12∠BOC=90-12x°,
因为OF⊥OC,所以∠COF=90°,
所以∠EOF=90°-∠COE=90°-90-12x°=12x°,即∠EOF=12x°;
图1
图2
当OF在CD的左侧时,如图2,因为∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=x°,所以∠BOC=(180-x)°,
因为OE平分∠BOC,
所以∠COE=12∠BOC=90-12x°,
因为OF⊥OC,所以∠COF=90°,
所以∠EOF=90°+∠COE=90°+90-12x°=180-12x°,
即∠EOF=180-12x°.
综上所述,∠EOF=12x°或∠EOF=180-12x°.
(3)存在∠EOF和∠DOE互补的情况.
理由:如图,当AB⊥CD,且OF与OB重合时,∠BOC=∠BOD=90°,
因为OE平分∠BOC,
所以∠BOE=12∠BOC=45°,
即∠EOF=45°,
所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=90°+45°=135°,
所以∠EOF+∠DOE=180°,
即∠EOF和∠DOE互补.