人教版七年级下册5.1.2 垂线习题

5.1　相交线

第2课时　垂线

1．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是(　　)

2．如图，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出(　　)

A．1条　　 B．2条　　C．3条　　 D．4条

3．如图所示，点P到直线l的距离是(　　)

A．线段PA的长度　B．线段PB的长度  C．线段PC的长度  D．线段PD的长度

4．【2021·北京】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为(　　)

A．30°  B．40°  C．50°  D．60°

5．(1)当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就称这两条直线互相      ，其中的一条直线叫做另一条直线的      ，它们的交点叫做      ．

(2)在同一平面内，过一点          一条直线与已知直线垂直；

(3)过直线外一点与直线上各点连成的所有线段中，         最短．

(4)直线外一点到这条直线的          的长度，叫做点到直线的距离．

6．如图，直线AB、CD交于点O，OE为射线，若∠1＝30°，∠2＝60°，则OE与AB的位置关系是      ，记作          ，理由是          ．

7．如图，BC⊥AC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点B到AC的距离为     .

8．体育课上，测量跳远成绩时，皮尺通常要与起跳线      ，如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段     的长度．

9．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD.

(1)求∠AOC的度数；

(2)推测OD与AB的位置关系，并说明理由．

10．下列图形中线段PQ的长度表示P到直线a的距离的是(　　)

11．如图，已知ON⊥a，OM⊥a，所以OM与ON重合的理由是(　　)

A．过两点确定一条直线    B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

C．过两点能作一条垂线     D．两点之间线段最短

12．【2022·威海】图①是光的反射规律示意图，其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK.图②中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(　　)

A．A点  B．B点  C．C点  D．D点

13．【2022·河南】如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，若∠1＝54°，则∠2的度数为(　　)

A．26°  B．36°  C．44°  D．54°

14．下列条件中，两条直线的位置关系是互相垂直的有(　　)

①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；②两条直线相交，有一组邻补角相等；③两条直线相交，对顶角互补．

A．0个　　 B．1个　　C．2个　　 D．3个

15．下列说法中，正确的有(　　)

①两条直线相交，交点叫做垂足；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；

④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；

⑤过一点不能向一条射线或线段所在的直线作垂线；

⑥若l1⊥l2，则l1是l2的垂线，l2不是l1的垂线．

A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个

16．如图，直线AD与直线BD交于点     ，BE⊥      ，垂足为     ，点B到直线AD的距离是线段      的长度，点D到直线AB的距离是线段      的长度．

17．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是              .

18．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.

(1)若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；

(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC与∠MOD的度数．

19．如图，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.

(1)判断OF与OD的位置关系；

(2)若∠AOC ∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数．

20．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N是分别位于AB两侧的村庄．

(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出P、Q的位置(保留画图痕迹)；

(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远？

21．【直观想象】按如图的方法折纸，然后回答问题：

(1)AE与EF垂直吗？为什么？

(2)∠1与∠3有何关系？

(3)∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？

参考答案

1．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是(　C　)

2．如图，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出(　A　)

A．1条　　 B．2条　　C．3条　　 D．4条

3．如图所示，点P到直线l的距离是(　B　)

A．线段PA的长度　B．线段PB的长度  C．线段PC的长度  D．线段PD的长度

4．【2021·北京】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为(　A　)

A．30°  B．40°  C．50°  D．60°

5．(1)当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就称这两条直线互相      ，其中的一条直线叫做另一条直线的      ，它们的交点叫做      ．

【答案】垂直  垂线  垂足

(2)在同一平面内，过一点          一条直线与已知直线垂直；

【答案】有且只有

(3)过直线外一点与直线上各点连成的所有线段中，         最短．

【答案】垂线段

(4)直线外一点到这条直线的          的长度，叫做点到直线的距离．

【答案】垂线段

6．如图，直线AB、CD交于点O，OE为射线，若∠1＝30°，∠2＝60°，则OE与AB的位置关系是      ，记作          ，理由是          ．

【答案】垂直  OE⊥AB   垂直定义

7．如图，BC⊥AC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点B到AC的距离为     .

【答案】4

8．体育课上，测量跳远成绩时，皮尺通常要与起跳线      ，如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段     的长度．

【答案】垂直   NB

9．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD.

(1)求∠AOC的度数；

(2)推测OD与AB的位置关系，并说明理由．

解：(1)∠AOC＝45°；　

(2)OD与AB垂直．理由：因为OC平分∠AOD，所以∠COD＝∠AOC＝45°，所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝45°＋45°＝90°，所以OD⊥AB.

10．下列图形中线段PQ的长度表示P到直线a的距离的是(　C　)

11．如图，已知ON⊥a，OM⊥a，所以OM与ON重合的理由是(　B　)

A．过两点确定一条直线     B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

C．过两点能作一条垂线       D．两点之间线段最短

12．【2022·威海】图①是光的反射规律示意图，其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK.图②中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(　B　)

A．A点  B．B点  C．C点  D．D点

【点思路】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据反射角等于入射角作出判断即可.

13．【2022·河南】如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，若∠1＝54°，则∠2的度数为(　B　)

A．26°  B．36°  C．44°  D．54°

14．下列条件中，两条直线的位置关系是互相垂直的有(　D　)

①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；②两条直线相交，有一组邻补角相等；③两条直线相交，对顶角互补．

A．0个　　 B．1个　　C．2个　　 D．3个

15．下列说法中，正确的有(　A　)

①两条直线相交，交点叫做垂足；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；

④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；

⑤过一点不能向一条射线或线段所在的直线作垂线；

⑥若l1⊥l2，则l1是l2的垂线，l2不是l1的垂线．

A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个

【点拨】①两条直线相交的交点不一定是垂足，错误；②正确；③在同一平面内，一条直线有无数条垂线，错误；④线段的垂线是指线段所在直线的垂线，有无数条，正确；⑤错误；⑥l2也是l1的垂线，错误．

16．如图，直线AD与直线BD交于点     ，BE⊥      ，垂足为     ，点B到直线AD的距离是线段      的长度，点D到直线AB的距离是线段      的长度．

【答案】D   AD   E   BE   DC  

17．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是              .

【答案】60°或120° 

18．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.

(1)若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；

解：(1)因为OM⊥AB，

所以∠AOM＝∠1＋∠AOC＝90°.

因为∠1＝∠2，

所以∠NOC＝∠2＋∠AOC＝90°.

所以∠NOD＝180°－∠NOC＝180°－90°＝90°.

(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC与∠MOD的度数．

因为OM⊥AB，所以∠AOM＝∠BOM＝90°.

因为∠1＝∠BOC，所以∠BOC＝∠1＋90°＝3∠1，

解得∠1＝45°.

所以∠AOC＝90°－∠1＝90°－45°＝45°，

∠MOD＝180°－∠1＝180°－45°＝135°.

19．如图，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.

(1)判断OF与OD的位置关系；

解：(1)因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝

∠EOF＝∠AOE.因为∠DOE＝∠BOD，所以∠EOD＝

∠EOB.所以∠FOD＝∠FOE＋∠EOD＝∠AOE＋∠EOB＝(∠AOE＋∠EOB)＝∠AOB＝90°.所以OF⊥OD.

(2)若∠AOC ∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数．

由∠AOC：∠AOD＝1：5，得∠AOD＝5∠AOC.

因为∠AOD＋∠AOC＝180°，

所以6∠AOC＝180°，即∠AOC＝30°.

所以∠EOD＝∠BOD＝∠AOC＝30°.

所以∠AOE＝180°－∠AOC－∠EOD＝180°－30°－30°

＝120°.所以∠EOF＝∠AOE＝60°.

20．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N是分别位于AB两侧的村庄．

(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出P、Q的位置(保留画图痕迹)；

(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远？

解：(1)P、Q的位置如图所示：

(2)在AP段距离M、N两村庄都越来越近，在PQ段距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远．

21．【直观想象】按如图的方法折纸，然后回答问题：

(1)AE与EF垂直吗？为什么？

解：(1)AE⊥EF.理由如下：

由折叠可知∠1＋∠3＝∠2.

又∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠2＝90°.

所以AE⊥EF.

(2)∠1与∠3有何关系？

由(1)知∠1＋∠3＝90°，故∠1与∠3互余．

(3)∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？

∠1与∠AEC互为邻补角，

∠3与∠BEF也互为邻补角．

【思路点拨】紧扣两相交直线的位置关系、垂直的定义、两角的关系进行判断．