152，广西壮族自治区南宁市第二中学2023-2024学年八年级上学期1月月考数学试题

这是一份152，广西壮族自治区南宁市第二中学2023-2024学年八年级上学期1月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
命审题人：八年级数学备课组 审题人：八年级数学备课组
（考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器．考试结束时，请将答题卡上交．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（每题3分，共36分）
1. “思明拾光”系列短视频以中国“二十四节气”为主线，在自然与人文之间开启全新的阅读视角．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、 “立夏”、 “芒种”、 “白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【分析】根据同底数幂的乘法、平方差公式、幂的乘方、单项式除以单项式的法则进行计算即可判断．
【详解】解：A. ，故计算错误，不符合题意；
B. ，故计算错误，不符合题意；
C. ，故计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法、平方差公式、幂的乘方、单项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、平方差公式、幂的乘方、单项式除以单项式的运算法则．
3. 已知点与关于y轴对称，则的值为（ ）
A. 6B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：∵点M（2，a）与N（b，3）关于y轴对称，
∴a＝3，b＝﹣2，
则ba＝（﹣2）3＝﹣8．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4. 如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪 （ ）
A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处
C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【解析】
【分析】首先理解凉亭到草坪三条边的距离相等的意义，而角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等，问题即可解答．
【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
5. 只用下列正多边形地砖中的一种，不能镶嵌的是（ ）
A. 正三角形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）的条件判断，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
根据平面图形镶嵌的条件判断即可，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
【详解】解：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
只用上面正五边形，不能进行平面镶嵌．
故选：C．
6. 若是完全平方式，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键．
根据完全平方公式的结构特征，得，由此得到的值，选出正确答案．
【详解】解：由题意得：
是完全平方式，
，
即，
．
故选：．
7. 在物联网时代的所有芯片中，nm芯片正在成为需求的焦点. 已知即纳米，是长度的度量单位，=．将用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解: ==
故选：A
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角．利用多边形的外角和除以外角度数可得边数．
【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，
∴这个多边形的边数是：，
故选：D．
9. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何图形与乘法公式；根据两个图形中阴影部分面积相等即可验证．
【详解】解：图甲中阴影部分面积为边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，即；图乙中阴影部分面积等于长为、宽为的长方形面积，即，
根据这两部分面积相等有：；
故选：A．
10. 如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形分别计算即可．
本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【详解】解：点是中点，，
，
点是的中点，
，，
，
点是的中点，
，
故选：B．
11. 为了强健体魄，小军计划从学校出发跑步10千米的路程，在下午3时到达文峰塔，实际速度比原计划速度快，结果下午2时到达，求原计划行进的速度，设原计划的速度为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程．设原计划的速度为，根据实际比原计划少一小时，列出分式方程即可求解．
【详解】解：设原计划的速度为，则可列方程为：
，
故选：C．
12. 如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．
利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．
∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每题2分，共12分）
13. 当______时，分式有意义．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件．先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：分式有意义，
，即．
故答案为：．
14. 分解因式：=___________________________．
【答案】2a（x+2）（x﹣2）．
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：原式=2a（x2-4） =2a（x+2）（x﹣2）．故答案为2a（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
15. 已知图中的两个三角形全等，则______°．

【答案】
【解析】
【分析】根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，然后写出即可．
【详解】解：两个三角形全等，
的度数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
16. 若，，则代数式的值为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用即可得．
详解】解：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．
17. 如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，角平分线的定义，在上取一点，使得，证明得到，进而推出当三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，里面面积法求出的长即可得到答案．
【详解】解：在上取一点，使得，如图所示：

∵平分，
∴
，
，
，
∴当三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，
∵的面积为，
∴，
又∵
，
∴最小值为4，
故答案为：4．
18. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系规律按的次数由大到小的顺序．

请根据规律，写出的展开式中含项的系数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算、杨辉三角中展开式系数的规律等知识，根据前四个展开式的系规律可知，含的项是的展开式中的第二项，从而得出的展开式中含项的系数，熟练掌握以上知识点的综合应用及找出规律是解题的关键．
【详解】解：∵展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
∴展开式中的第二项系数为，
由图中规律可知：
含的项是的展开式中的第二项，
∴的展开式中的第二项系数为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了整式除法运算，
（1）直接利用单项式乘多项式计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，
正确掌握相关运算法则是解题关键．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：原式
．
20. 先化简：，然后从，，中选择一个合适的数代入求值．
【答案】；1
【解析】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从0，2，3中选择一个使得原分式有意义值，代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
∵当或时，原式没有意义，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，明确分式化简求值的方法和分式有意义的条件是解答本题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）在图中作出关于x轴的对称图形；
（2）请直接写出的坐标：
（3）尺规作图：在x轴上找一点P，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．还考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，然后顺次连接即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）作线段的垂直平分线，与x轴相交于点P，P点满足条件．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
；
【小问2详解】
解：根据图可知：，，．
【小问3详解】
解：如图，点为所作．
22. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件证即可求证；
（2）根据全等三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
在和，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，，
，
.
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质．掌握相关定理是解题关键．
23. 综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
【操作发现】
对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1．发现四边形满足：，．查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【初步应用】
（1）如图1，在中，若，，那么___________°．
【类比探究】
借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小红对筝形的性质进行了探究．如图2，求证：
（2）；
（3）垂直平分线段．

【答案】（1）20； （2）见解析；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）证明，根据内角和定理、外角性质和全等三角形的性质即可求解；
（2）根据即可证明；
（3）根据（2）全等的性质和线段垂直平分线的判定定理即可证明；
【小问1详解】
在中，若，，
，
在和中，
，
∴，
，
，
；
【小问2详解】
证明：在和中，
∴；
【小问3详解】
证明：∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定．
24. 在求代数式值的问题中，有时通过观察式子的特点，可以找到较为简单的解法．
例如，若x满足，求的值，可以按下列的方法来解：
解：设，，则，，
∴，∴，
∴．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）若x满足，求的值；
（2）将正方形ABCD和正方形EFGH按如图所示摆放，点F在BC边上，EH与CD交于点I，且，，长方形EFCI的面积为24，以CF为边作正方形CFMN．设，
①用含x的代数式直接表示EF和CF的长；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）37 （2）①、；②20
【解析】
【分析】（1）根据题中所给方法，计算即可；
（2）①根据正方形的性质和长方形的性质列式即可；
②由长方形EFCI的面积是24，得（x−1）（x−3）＝24，设，，求出，再根据即可求出阴影部分面积．
【小问1详解】
解：设，，则，，
∴；
【小问2详解】
①∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形，四边形EFCI是长方形，，，
∴CD＝AD＝x，
∴，
∴FG＝，
∴；
②∵长方形EFCI的面积为24，
∴，
设，，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平分差公式的应用，牢记完全平方公式和平方差公式以及变形公式（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab是解题关键．
25. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）
（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1．5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；
（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且120＜a＜136，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
【答案】（1）原计划每天加工纸箱20个．（2）加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个；（3）a所有可能的值是125，130，135．
【解析】
【详解】解：（1）设原计划每天加工纸箱x个，则现在每天加工1.5x个，由题意得
解得：x=20
经检验x=20是原分式方程的解，
答：原计划每天加工纸箱20个．
（2）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，
依题意，得
解得：
答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个；
（3）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，
依题意得：
∴y=40-，
∵y、a为正整数，
∴a为5的倍数，
∵120＜a＜136
∴满足条件的a为：125，130，135．
当a=125时，x=20，y=15；
当a=130时，x=22，y=14；
当a=135时，x=24，y=13据符合题意，
∴a所有可能的值是125，130，135．
26. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键．
（1）由条件可证明，可得，，可得结论；
（2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论；
（3）过作于，，交的延长线于由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论是的中点．
【详解】解：（1）如图，
直线，直线，
，
，
，
，
.
在和中，
，
，，
；
（2）成立：．
如图，
，
，
，
在和中．
．
≌，
，，
；
（3）如图，
过作于，，交的延长线于，
，
由（1）和（2）同理可证，，
.
，
在和中，
，
≌，
，
是的中点．