高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时巩固练习，共5页。试卷主要包含了算盘是中国古代的一项重要发明等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )
A．24种B．9种
C．3种D．26种
【答案】B 【解析】不同的杂志本数为4＋3＋2＝9(种)，从其中任选一本阅读，共有9种选法．
2．(2023年深圳期中)被誉为“大飞鱼”的深圳宝安机场T3航站楼，充分结合了建筑设计理念和深圳本地环境气候等重要因素，融合了建筑美学、绿色节能和功能实用等多方面元素．机场T3航站楼有7个入口，2个出口，则进出机场的方案数为( )
A．4B．9
C．14D．49
【答案】C 【解析】方案数为7×2＝14.
3．(2022年运城月考)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书和从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书的取法分别有( )
A．9种，20种B．20种，9种
C．9种，24种D．24种，9种
【答案】C 【解析】从书架上任取1本书，不同的取法有4＋3＋2＝9(种)；从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，不同的取法有4×3×2＝24(种).故选C．
4．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种B．20种
C．25种D．32种
【答案】D 【解析】每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种).
5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60B．48
C．36D．24
【答案】B 【解析】首先考虑6个表面，每个表面有其相对的长方形的4条边与之平行，还有该四边形有2条对角线与之平行，因此每个表面可以构造6个平行线面组，6个表面，“平行线面组”就有6×6＝36(个).再考虑对角面，即体对角线是其对角线的矩形，这样的矩形有6个，每个矩形对应有2条边与之平行，因此“平行线面组”一共有6×2＝12(个).36＋12＝48(个).
6．(2022年葫芦岛期末)算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为( )
A．8B．10
C．15D．16
【答案】A 【解析】拨动梁下个位两珠，或十位两珠，能组成的整数为2，20，共2个；从个位的梁上、梁下，十位的梁上、梁下四个位置中选两个，拨动选中的这两个位置各一珠，能组成的整数为6，51，60，15，11，55，共6个．所以不同整数的个数为2＋6＝8.故选A．
7．(多选)现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的有( )
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有240种不同的选法
【答案】AB 【解析】对于A，从中任选1个球，不同的选法共有5＋6＋4＝15(种)，故A正确；对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，不同的选法共有5×6×4＝120(种)，故B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分黄黑、黄蓝、黑蓝三类，再进行各类分步选择，不同的选法共有5×6＋5×4＋6×4＝74(种)，故C错误；对于D，若要不放回地依次选出2个球，直接分步计算，不同的选法共有15×14＝210(种)，故D错误．故选AB．
8．(2023年太原模拟)现有10元、20元、50元的人民币各一张，一共可以组成的币值有________种．
【答案】7 【解析】三种币值取一张，共有3种取法，币值分别为10元、20元、50元；三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为10＋20＝30(元)、10＋50＝60(元)、20＋50＝70(元)；三种币值全取，共有1种取法，币值为10＋20＋50＝80(元).一共可以组成的币值有3＋3＋1＝7(种).
9．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
【答案】13 【解析】按照焊接点脱落的个数进行分类： 第1类，脱落1个，有1，4，共2种；第2类，脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种．根据分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种).
10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以共有不同的选法为7＋8＋9＋10＝34(种).
(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法为7×8×9×10＝5040(种).
(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以共有不同的选法为7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种).
B级——能力提升练
11．(2023年南平期末)甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为( )
A．48B．64
C．80D．96
【答案】C 【解析】5日至9日，日期尾数分别为5，6，7，8，9，有3天是奇数日，2天是偶数日．第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4(种)用车方案；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12(种)用车方案，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8(种)用车方案，共计12＋8＝20(种)用车方案．根据分步乘法计数原理可知，不同的用车方案种数为4×20＝80.
12．(多选)现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的有( )
A．选1人为负责人的选法种数为30
B．每组选1名组长的选法种数为3024
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
【答案】ABC 【解析】对于A，选1人为负责人的选法种数为6＋7＋8＋9＝30，故A正确；对于B，每组选1名组长的选法种数为6×7×8×9＝3 024，故B正确；对于C，2人需来自不同的小组的选法种数为6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335，故C正确；对于D，依题意，若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，其中第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有43－33＝37(种)，故D错误．故选ABC．
13．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，这是利用算筹表示1～9的一种方法，则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的两位数的个数为________．
【答案】16 【解析】根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，3；3，7；7，7.数字组合1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14(个)两位数；数字组合3，3；7，7中，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1＝2(个)两位数．综上，共可以表示14＋2＝16(个)两位数．
14．(2023年宁波期末)比特币是通过哈希算法来加密的，哈希算法是一种加密技术．已知p－hashing是最简单的哈希算法之一，它把一个较大数字的每一位改成它除以素数p所得到的余数．如：对于544 213进行2－hashing，我们得到的哈希值为100 011，那么对它进行3－hashing，将得到______．同时，我们容易发现使得2－hashing后得到哈希值为100 011的正整数共有______个(可以不写出具体数字，可用乘法或乘方的表达式表示).
【答案】211 210 56 【解析】对544 213进行3－hashing，即数字5，4，4，2，1，3除以3所得余数分别为2，1，1，2，1，0，故得到的哈希值为211 210；除以2余数值为1的数字有1，3，5，7，9，共5个，余数为0的数字有0，2，4，6，8，共5个，六位整数的每一个数位上都有5个数字可取，共有5×5×5×5×5×5＝56，即哈希值为100 011的正整数共有56个．
15．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
(1)若取出的两个球的颜色不同，有多少种取法？
(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？
解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取1个，或A，C袋中各取1个，或B，C袋中各取1个，共有1×2＋1×3＋2×3＝11(种).
(2)若两个球颜色相同，则应在B袋中取出两个，或在C袋中取出两个，共有1＋3＝4(种).