高中数学6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时当堂检测题

第六章6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

A级 必备知识基础练

1.[探究点一·2023山东日照月考]某同学从4本不同的科普杂志,3本不同的文摘杂志,2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读,则不同的选法种数为(　　)

A.24 B.9 C.3 D.26

2.[探究点二]将3个不同的小球放入4个盒子中,不同放法种数为(　　)

A.81 B.64

C.14 D.12

3.[探究点一]若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是(　　)

A.15 B.12

C.5 D.4

4.[探究点一]有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(　　)

A.21种 B.315种

C.153种 D.143种

5.[探究点二]数独是一种受人喜爱的数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有(　　)

A.12种 B.24种

C.72种 D.216种

6.[探究点二·苏教版教材习题]若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有(　　)

A.34种 B.43种

C.3×2×1种 D.4×3×2种

7.[探究点一]由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数有　　　　　个. 

8.[探究点三]有一项活动,需从3名教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.

(1)若只需1人参加,则有多少种不同的选法?

(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?

B级 关键能力提升练

9.(多选题)已知集合A={-1,2,3,4},m,n∈A,则对于方程=1的说法正确的是(　　)

A.可表示3个不同的圆

B.可表示6个不同的椭圆

C.可表示3个不同的双曲线

D.表示焦点位于x轴上的椭圆有3个

10.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有(　　)

A.27种 B.36种 C.54种 D.81种

11.5名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(　　)

A.10种 B.20种 C.25种 D.32种

12.有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师,在数学测验时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有(　　)

A.8种 B.9种 C.10种 D.11种

13.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有              (　　)

A.24种 B.36种 C.42种 D.60种

14.[2023陕西汉中期中]如图所示为一电路图,从A到B不同的线路中可通电的共有　　　　　条. 

15. 如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有　　　　　个. 

16.现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.

(1)从中任选1幅画布置房间,有几种不同的选法?

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间,有几种不同的选法?

(3)从这些画中任选出2幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法?

17.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,宣传广告与公益广告不能连续播放,2个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?

C级 学科素养创新练

18.在如图1的电路中,只合上一个开关可以接通电路,有　　　　　种不同的方法;在如图2的电路中,合上两个开关可以接通电路,有　　　　　种不同的方法. 

图1

图2

参考答案

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.B　由分类加法计数原理,某同学任选1本杂志阅读,不同的选法种数为4+3+2=9.

2.B　将3个不同的小球放入4个盒子中,每个小球不同放法的种数都为4.

根据分步乘法计数原理,不同放法的种数为4×4×4=64.

3.A　利用分类加法计数原理.

当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6个不同的有序自然数对;

当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5个不同的有序自然数对;

当x=3时,y=0,1,2,3,有4个不同的有序自然数对.

根据分类加法计数原理可得,不同的有序自然数对的个数为6+5+4=15.

4.D　由题意,选一本语文书一本数学书的选法种数为9×7=63,

选一本数学书一本英语书的选法种数为7×5=35,

选一本语文书一本英语书的选法种数为9×5=45.

根据分类加法计数原理,不同的选法种数为63+45+35=143.故选D.

5.A　先填第一行,有3×2×1=6种不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理,共有6×2=12种不同的填法.故选A.

6.A

7.15　分三类:第一类,一位数有1,2,3,共3个自然数;

第二类,两位数有12,21,23,32,13,31,共6个自然数;

第三类,三位数有123,132,213,231,321,312,共6个自然数.根据分类加法计数原理,所组成的自然数的个数为3+6+6=15.

8.解(1)选1人,有3类方案:

第1类,从教师中选1人,有3种不同的选法;

第2类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;

第3类,从女同学中选1人,有5种不同的选法.

由分类加法计数原理,不同选法的种数为3+8+5=16.

(2)选教师、男同学、女同学各1人,分3个步骤进行:

第1步,选教师,有3种不同的选法;

第2步,选男同学,有8种不同的选法;

第3步,选女同学,有5种不同的选法.

由分步乘法计数原理,不同选法的种数为3×8×5=120.

9.ABD　当m=n>0时,方程=1表示圆,故有3个不同的圆,选项A正确;

当m≠n且m,n>0时,方程=1表示椭圆,焦点在x轴、y轴上的椭圆分别有3个,故有3×2=6个,选项B正确,D正确;当mn<0时,方程=1表示双曲线,故有3×1+1×3=6个,选项C错误.

10.C　小张的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×3=54种不同的报名方法,故选C.

11.D　每名同学都有2种选择,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法共有25=32种.

12.B　设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班级分别为a,b,c,d.假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同的监考方法.同理A监考c,d时,也分别有3种不同的监考方法.

由分类加法计数原理得,监考方法共有3+3+3=9种.

13.D　把3个项目分配到4个体育馆,所有方案共有4×4×4=64种.

其中,3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法,故满足条件的分配方案有64-4=60种.

14.8　按上、中、下三条线路可分为三类:第一类,上线路有3条;

第二类,中线路有1条;

第三类,下线路有2×2=4条.

根据分类加法计数原理可得,可通电的线路条数为3+1+4=8.

15.40　满足条件的三角形有两类.第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32个.

由分类加法计数原理,满足条件的三角形的个数为8+32=40.

16.解(1)从所有画中任选一幅画布置房间,有三类方案:第1类,从国画中选取,有5种选法;第2类,从油画中选取,有2种选法;第3类,从水彩画中选取,有7种选法.

由分类加法计数原理,知共有5+2+7=14种不同的选法.

(2)分三个步骤完成:第1步,国画有5种不同的选法;第2步,油画有2种不同的选法;第3步,水彩画有7种不同的选法.由分步乘法计数原理,知共有5×2×7=70种不同的选法.

(3)三类分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画.由分类加法计数原理和分步乘法计数原理,知共有5×2+2×7+5×7=59种不同的选法.

17.解用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序,则完成这件事有3类方法.

第1类,宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式;

第2类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式;

第3类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6.同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.

由分类加法计数原理,得6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108种.

18.5　6　对于图1,按要求接通电路,有两类方案:

第1类方案是合上A电路中2个开关的其中一个,第2类方案是合上B电路中3个开关的其中一个.

由分类加法计数原理,不同的方法有2+3=5种.

对于图2,按要求接通电路可以分两个步骤完成:

第一步,合上电路A中的一个开关,有2种方法;

第二步,合上电路B中的一个开关,有3种方法.

由分步乘法计数原理,不同的方法有2×3=6种.