数学10.1 随机事件与概率课时练习

这是一份数学10.1 随机事件与概率课时练习，共6页。试卷主要包含了下列是古典概型的有，故选A等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．(多选)下列是古典概型的有( )
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【答案】ABD
【解析】A，B，D为古典概型，因为都符合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不符合等可能性，故不为古典概型．故选ABD．
2．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,5)
【答案】A
【解析】金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝10，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率p＝ eq \f(5,10)＝ eq \f(1,2)．故选A．
3．同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根的概率为( )
A． eq \f(1,5)B． eq \f(1,4)
C． eq \f(1,3)D． eq \f(1,2)
【答案】B
【解析】因为方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根，所以Δ＝a2－8b＞0，又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则共包含36个样本点，满足a2－8b＞0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9个样本点，所以方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根的概率为 eq \f(9,36)＝ eq \f(1,4)．故选B．
4．(2023年广安模拟)四川乐山沙湾区是一个人杰地灵的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地．乐山沫若中学高二(7)班文学小组的同学们计划在郭老先生的5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》中，随机选两部排练节目参加艺术节活动，则《凤凰涅槃》恰好被选中的概率为( )
A． eq \f(1,5)B． eq \f(2,5)
C． eq \f(3,5)D． eq \f(4,5)
【答案】B
【解析】记5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》分别为a，b，c，d，e，从5部历史剧中随机选两部的试验含有的基本事件：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个结果，《凤凰涅槃》恰好被选中的事件A含有的基本事件：ab，bc，bd，be，共4个结果，所以《凤凰涅槃》恰好被选中的概率P(A)＝ eq \f(4,10)＝ eq \f(2,5)．故选B．
5．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为( )
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3)
【答案】B
【解析】所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，所以p＝ eq \f(2,6)＝ eq \f(1,3)．故选B．
6．(2022年湘潭模拟)如右图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为14．现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为( )
A． eq \f(3,10)B． eq \f(1,5)
C． eq \f(1,10)D． eq \f(3,20)
【答案】B
【解析】若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20－14＝6．从1，2，3，4，5中任取两个数字的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共10个样本点，而其中数字之和为6的样本点有(1，5)，(2，4)，共2个，所以所求概率为 eq \f(1,5)．故选B．
7．(2022年重庆期末)投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次向上的点数小于第二次向上的点数，则我们称其为正试验；若第二次向上的点数小于第一次向上的点数，则我们称其为负试验；若两次向上的点数相等，则我们称其为无效试验．一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是( )
A． eq \f(1,36)B． eq \f(1,12)
C． eq \f(1,6)D． eq \f(1,2)
【答案】C
【解析】连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x，y)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个基本事件，设“出现无效试验”为事件A，则事件A包含(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共6个基本事件，则P(A)＝ eq \f(6,36)＝ eq \f(1,6)．
8．某普通高中有数学、物理、化学、计算机四个兴趣小组，甲、乙两位同学各自随机参加一个兴趣小组，则这两位同学参加不同的兴趣小组的概率为__________．
【答案】 eq \f(3,4)
【解析】甲、乙两位同学参加兴趣小组的基本事件总数为16，甲、乙两位同学参加相同的兴趣小组的基本事件个数为4，故两位同学参加不同的兴趣小组的概率p＝1－ eq \f(4,16)＝ eq \f(3,4)．
9．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为__________．
【答案】 eq \f(2,5)
【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种，满足2本书编号相连的所有可能情况为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)共4种，故选出的2本书编号相连的概率为 eq \f(4,10)＝ eq \f(2,5)．
10．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：
(1)2只球都是红球的概率；
(2)2只球同色的概率；
(3)“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？
解：记两只白球分别为a1，a2；两只红球分别为b1，b2；两只黄球分别为c1，c2．
从中随机取2只球的所有结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)共15种结果．
(1)2只球都是红球为(b1，b2)，共1种，
故2只球都是红球的概率p1＝ eq \f(1,15)．
(2)2只球同色的为(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3种，
故2只球同色的概率p2＝ eq \f(3,15)＝ eq \f(1,5)．
(3)恰有1只是白球为(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8种，其概率p3＝ eq \f(8,15)；
2只球都是白球为(a1，a2)，共1种，故概率p4＝ eq \f(1,15)．
所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．
B级——能力提升练
11．有一列数由奇数组成：1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3，5，第三组有3个数为7，9，11，…，依此类推，则从第10组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )
A． eq \f(1,10) B． eq \f(3,10)
C． eq \f(1,5) D． eq \f(3,5)
【答案】B
【解析】由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，则第10组第一个数为45×2＋1＝91，第10组有10个数分别为91，93，95，97，99，101，103，105，107，109，其中恰为3的倍数的数为93，99，105．故所求概率p＝ eq \f(3,10)．故选B．
12．图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是( )
A． eq \f(3,4)B． eq \f(1,2)
C． eq \f(1,4)D．1
【答案】A
【解析】由题意，可得样本点的总数为n＝4，又由题图1中的正方形放在题图2中的①处时，所组成的图形不能围成正方体；题图1中的正方形放在题图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体，所以将题图1中的正方形放在题图2中的①②③④的某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率p＝ eq \f(3,4)．故选A．
13．已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一个数k∈A，则幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率为__________．
【答案】 eq \f(1,4)
【解析】集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一个数k∈A，基本事件总数n＝8，幂函数f(x)＝xk为偶函数包含的基本事件个数m＝2，∴所求概率p＝ eq \f(m,n)＝ eq \f(2,8)＝ eq \f(1,4)．
14．设a是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足lgba≥1”为事件E，则E发生的概率是__________．
【答案】 eq \f(5,12)
【解析】事件E发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有12种结果，满足条件的样本点是满足lgba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2，3，4，当b＝3时，a＝3，4，共有3＋2＝5(个)，所以根据古典概型的概率公式得到概率是 eq \f(5,12)．
15．某校对2023年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50，70)和[70，90)的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50，70)内的概率．
解：(1)由(0.005 0＋0.005 0＋0.007 5＋0.020 0＋a＋0.002 5)×20＝1，解得a＝0.01．
数学成绩在[30，50)的频率为0.005 0×20＝0.1，在[50，70)的频率为0.005 0×20＝0.1，在[70，90)的频率为0.007 5×20＝0.15，在[90，110)的频率为0.020 0×20＝0.4，在[110，130)的频率为0.010 0×20＝0.2，在[130，150]的频率为0.002 5×20＝0.05，
故样本均值为40×0.1＋60×0.1＋80×0.15＋100×0.4＋120×0.2＋140×0.05＝93，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩为93分．
(2)由题意，得[50，70)分数段的人数为100×0.1＝10，[70，90)分数段的人数为100×0.15＝15，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在[50，70)内抽取2人，分别记为A1，A2，[70，90)分数段内抽取3人，分别记为B1，B2，B3．
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50，70)内”为事件A，
则样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3}，共包含10个样本点，
而A的对立事件 eq \x\t(A)＝{B1B2，B1B3，B2B3}，包含3个样本点，
所以P(A)＝1－P( eq \x\t(A))＝1－ eq \f(3,10)＝ eq \f(7,10)．
故抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50，70)内的概率为 eq \f(7,10)．