2023-2024学年山东省德州市夏津县八年级（上）期末数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年山东省德州市夏津县八年级（上）期末数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．《国语•楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A．3×10﹣5B．3×10﹣4C．0.3×10﹣4D．0.3×10﹣5
3．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a6÷a2＝a4
C．（a2b）3＝a5b3D．a0＝0
5．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝9，BD＝13，则DE等于（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
6．如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB＝5，AE＝3，则△ADE的周长为（ ）
A．8B．11C．10D．13
7．已知2a＝6，则2a﹣2是（ ）
A．B．1C．2D．4
8．下列命题，错误的是（ ）
A．两条直角边对应相等的直角三角形全等
B．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．顶角和一条边对应相等的等腰三角形全等
D．有一条边相等的两个等边三角形全等
9．若÷运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A．y﹣xB．y+xC．D．3x
10．八年级3班的小王和小张同时从学校出发去距离15千米的夏津森林公园游玩，设小张每小时走x千米，则根据题意可列方程：．题干中缺失的内容是（ ）
A．小王比小张每小时多行1千米，结果比小张晚到半小时
B．小王比小张每小时少行1千米，结果比小张晚到半小时
C．小王比小张每小时少行1千米，结果比小张早到半小时
D．小王比小张每小时多行1千米，结果比小张早到半小时
11．设a，b是实数，定义一种新运算a☆b＝（a﹣b）2，下面有四个推断：
①a☆b＝b☆a；
②（a☆b）2＝a2☆b2；
③（﹣a）☆b＝a☆（﹣b）；
④a☆（b+c）＝a☆b+a☆c；
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②D．①③
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，有如下五个结论：①AO⊥BC；②OD＝OE；③△OEF是等边三角形；④△OEF≌△CEF；⑤∠OEF＝54°．则上列说法中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
13．计算：（）﹣2＝ ．
14．因式分解：a3b﹣ab＝ ．
15．一等腰三角形的一个角是50度，则这个等腰三角形其它两个角的度数是 ．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长 ．
17．已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是 ．
18．已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，则a+b+c的值为 ．
三、解答题（本题共计7小题，共计78分）
19．计算：
（1）（2x2y3）2•（﹣3x3y）；
（2）（3x﹣2y）（﹣2y﹣3x）﹣（x﹣2y）2．
20．（1）解方程：＝1．
（2）先化简，再求值：，且x是满足﹣3＜x＜2的整数．
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（4，1），B（1，3），C（3，4）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积为 ；
（3）若点M（m﹣2，4）与N（﹣3，n+1）关于y轴对称，求m+n的值．
22．校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．
23．赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香.2023年赣南脐橙需求量猛增，某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元．
（1）该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱多少元？
（2）为运输两批水果从A市到相距160km的B市，批发商租用了甲、乙两种货车来运输两批赣南脐橙，其中甲货车运输第一批，乙货车运输第二批，已知甲、乙货车的速度比为4：5，两车先后出发，当甲车到达B市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，求甲、乙两货车的速度．
24．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2的面积关系，写出正确的等式 ；
（2）若要拼出一个面积为（2a+b）（3a+2b）的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片 张，C号卡片 张；
（3）正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中两个阴影三角形面积和．
25．如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE，DE，可知，此时△AED是等腰直角三角形；
【问题提出】（1）如图2，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE＝PF，∠EPF＝90°；要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
【问题探究】（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B（4，1）点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出点C的坐标；
【问题解决】（3）如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），点C是y轴上的点C（0，），点B在第一象限内，△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，点P是y轴上的一动点，求PA+PB的最小值．[注：在平面直角坐标系内，A（a，c），B（b，d），则AB＝]．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分．
1．《国语•楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称解答即可．
解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A．3×10﹣5B．3×10﹣4C．0.3×10﹣4D．0.3×10﹣5
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.00003＝3×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先判断△ABC为等边三角形，然后等边三角形的性质得到BC＝AB．
解：∵AB＝AC＝5，
∴∠C＝∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a6÷a2＝a4
C．（a2b）3＝a5b3D．a0＝0
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；零指数幂运算法则；对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，故此选项符合题意；
C、（a2b）3＝a6b3，故此选项不符合题意；
D、a0＝1（a≠0），故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，零指数幂，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝9，BD＝13，则DE等于（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【分析】根据全等三角形的性质可得BC＝DE，CD＝AB＝9，然后由BC＝BD﹣CD求出BC的值，即可获得答案．
解：∵△ABC≌△CDE，AB＝9，BD＝13，
∴BC＝DE，CD＝AB＝9，
∵点B、C、D在同一直线上，
∴BC＝BD﹣CD＝13﹣9＝4，
∴DE＝BC＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB＝5，AE＝3，则△ADE的周长为（ ）
A．8B．11C．10D．13
【分析】根据题意得BE平分∠ABC，再根据平行线的性质求解．
解：由题意得：∠ABE＝∠CBE，
∵ED∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BED，
∴DE＝BD，
∴AD+DE+AE＝AD+BD+AE＝AB+AE＝5+3＝8，
故选：A．
【点评】本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键．
7．已知2a＝6，则2a﹣2是（ ）
A．B．1C．2D．4
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减将2a﹣2变形为2a÷22，然后计算即可．
解：∵2a＝6，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．下列命题，错误的是（ ）
A．两条直角边对应相等的直角三角形全等
B．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．顶角和一条边对应相等的等腰三角形全等
D．有一条边相等的两个等边三角形全等
【分析】根据三角形全等的定理进行判断．
解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形，可以用SAS来证明这两个直角三角形全等，
故选项A正确，不符合题意；
B、一条斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形，可以用AAS证明三角形全等，
选项B正确，不符合题意；
C、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，可以用AAS来证明这两个等腰三角形全等，顶角和一条腰对应相等的两个等腰三角形，可以用SAS来证明这两个等腰三角形全等，顶角和一个是底边，一个是腰对应相等的两个等腰三角形，不一定全等，
故选项C错误，符合题意；
D、有一条边对应相等的两个等边三角形全等，
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等，掌握三角形全等的定理是关键．
9．若÷运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A．y﹣xB．y+xC．D．3x
【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可．
解：÷＝×
∵运算的结果为整式，
∴□中式子一定含有x的单项式，
故只有D项符合．
故选：D．
【点评】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
10．八年级3班的小王和小张同时从学校出发去距离15千米的夏津森林公园游玩，设小张每小时走x千米，则根据题意可列方程：．题干中缺失的内容是（ ）
A．小王比小张每小时多行1千米，结果比小张晚到半小时
B．小王比小张每小时少行1千米，结果比小张晚到半小时
C．小王比小张每小时少行1千米，结果比小张早到半小时
D．小王比小张每小时多行1千米，结果比小张早到半小时
【分析】由x及（x+1），可得出小王比小张每小时多行1千米；利用时间＝路程÷速度，结合所列方程，可得出小王比小张早到半小时．
解：∵小张每小时走x千米，所列方程中出现x+1，
∴小王每小时走（x+1）千米，
∴小王比小张每小时多行1千米；
∵学校距夏津森林公园15千米，
∴表示小张所需时间，表示小王所需时间，
又∵所列方程为﹣＝，
∴小王比小张早到半小时，
∴题干中缺失的内容是：小王比小张每小时多行1千米，结果比小张早到半小时．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据各列方程，找出题干缺失的内容是解题的关键．
11．设a，b是实数，定义一种新运算a☆b＝（a﹣b）2，下面有四个推断：
①a☆b＝b☆a；
②（a☆b）2＝a2☆b2；
③（﹣a）☆b＝a☆（﹣b）；
④a☆（b+c）＝a☆b+a☆c；
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②D．①③
【分析】先根据新运算进行变形，再根据乘法公式进行判断即可．
解：①a☆b＝（a﹣b）2，b☆a＝（b﹣a）2＝（a﹣b）2，故①正确；
②（a☆b）2＝[（a﹣b）2]2＝（a﹣b）4，a2☆b2＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2，故②错误；
③（﹣a）☆b＝（﹣a﹣b）2＝（a+b）2，a☆（﹣b）＝（a+b）2，故③正确；
④a☆（b+c）＝（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc，a☆b+a☆c．＝（a﹣b）2+（a﹣c）2＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2＝2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算和乘法公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，有如下五个结论：①AO⊥BC；②OD＝OE；③△OEF是等边三角形；④△OEF≌△CEF；⑤∠OEF＝54°．则上列说法中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由等腰三角形的性质可得OB＝OC，AO⊥BC，故①正确；由点E是动点，则OE的长不确定，即OE≠OD，故②错误，由折叠的性质可得OE＝CE，OF＝CF，∠EOF＝∠ECF＝63°，则△EOF不是等边三角形，故③错误，由“SSS”可证△OEF≌△CEF，故④正确；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可求∠OEF＝54°，故⑤正确；即可求解．
解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°＝∠ACB，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴OB＝OC，AO⊥BC，故①正确；
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，OF＝CF，∠EOF＝∠ECF＝63°，
∴△EOF不是等边三角形，故③错误
在△OEF和△CEF中，
，
∴△OEF≌△CEF（SSS），故④正确；
∴∠COE＝∠OCB＝36°，∠OEF＝∠CEF，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠OEF＝54°，故⑤正确；
∵点E是动点，
∴OE的长不确定，
∴OE≠OD，故②错误，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
13．计算：（）﹣2＝ 4 ．
【分析】根据负整数指数幂的意义进行计算，即可解答．
解：（）﹣2＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．因式分解：a3b﹣ab＝ ab（a+1）（a﹣1） ．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用平方差公式继续分解．
解：a3b﹣ab
＝ab（a2﹣1）
＝ab（a+1）（a﹣1）．
故答案为：ab（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15．一等腰三角形的一个角是50度，则这个等腰三角形其它两个角的度数是 50°，80° 或 65°，65° ．
【分析】分底角为50°和顶角为50°两种情况，再结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得答案．
解：当底角为50°时，则顶角为：180°﹣50°﹣50°＝80°，此时三角形的另外两个角的度数为50°，80°；
当顶角为50°时，则底角为：＝65°，此时三角形的另外两个角的度数为65°，65°；
综上可知其他两个角的度数为50°，80°或65°，65°．
故答案为：50°，80° 或 65°，65°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长 6 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝AE＝4，结合图形计算，得到答案．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB＝AE＝4，
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是 m≥﹣4且m≠3 ．
【分析】根据题意求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数进行求解．
解：关于x的分式方程化为整式方程为：m+3＝2x﹣1，
解得：x＝，且x，
∵方程的解为非负数，
∴，且，
解得：m≥﹣4且m≠﹣3，
故答案为：m≥﹣4且m≠﹣3．
【点评】本题考查了分式方程的解以及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
18．已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，则a+b+c的值为 4 ．
【分析】首先分组利用完全平方公式分解因式，利用非负数的性质求得a、b、c的数值，进一步求得a+b+c的值即可．
解：a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0
a2﹣ab+b2+（b2﹣4b+4）+c2﹣2c+1＝0
（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0
∴a﹣b＝0，（b﹣2）＝0，c﹣1＝0
∴a＝1，b＝2，c＝1，
则a+b+c＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查利用完全平方公式因式分解，注意分组的技巧和方法．
三、解答题（本题共计7小题，共计78分）
19．计算：
（1）（2x2y3）2•（﹣3x3y）；
（2）（3x﹣2y）（﹣2y﹣3x）﹣（x﹣2y）2．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
解：（1）（2x2y3）2•（﹣3x3y）
＝4x4y6•（﹣3x3y）
＝﹣12x7y7；
（2）（3x﹣2y）（﹣2y﹣3x）﹣（x﹣2y）2
＝4y2﹣9x2﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝4y2﹣9x2﹣x2+4xy﹣4y2
＝﹣10x2+4xy．
【点评】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（1）解方程：＝1．
（2）先化简，再求值：，且x是满足﹣3＜x＜2的整数．
【分析】（1）根据解分式方程的方法可以解答本题，注意分式方程要检验；
（2）先算算除法，再算减法，然后根据x是满足﹣3＜x＜2的整数，选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．
解：（1）＝1，
方程两边同乘2（x﹣3），得：
2﹣1＝2（x﹣3），
解得x＝3.5，
检验：当x＝3.5时，2（x﹣3）≠0，
∴原分式方程的解是x＝3.5；
（2）
＝﹣•
＝﹣
＝
＝，
∵当x＝±1或﹣2时，原分式无意义，且x是满足﹣3＜x＜2的整数，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值、解分式方程，熟练掌握运算法则和解分式方程的方法是解答本题的关键．
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（4，1），B（1，3），C（3，4）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积为 3.5 ；
（3）若点M（m﹣2，4）与N（﹣3，n+1）关于y轴对称，求m+n的值．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个梯形的面积分别减去两个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积；
（3）根据关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标相反可得m、n的值，进而可得答案．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）△A1B1C1的面积＝×3×（1+3）﹣×3×1﹣×2×1＝3.5．
故答案为：3.5；
（3）∵点M（m﹣2，4）与N（﹣3，n+1）关于y轴对称，
∴m＝5，n＝3，
∴m+n＝8．
【点评】本题考查了三角形的面积以及作图﹣轴对称变换，解答本题的关键是熟练掌握轴对称变换图形的作法：先确定图形的关键点，再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．
22．校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；
（2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABC和△CDA中，
∵，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝2米，∠B＝30°，
∴AE＝1米，
∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），
则S△CDA＝（平方米），
∴草坪造型的面积为：2×＝3（平方米）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
23．赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香.2023年赣南脐橙需求量猛增，某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元．
（1）该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱多少元？
（2）为运输两批水果从A市到相距160km的B市，批发商租用了甲、乙两种货车来运输两批赣南脐橙，其中甲货车运输第一批，乙货车运输第二批，已知甲、乙货车的速度比为4：5，两车先后出发，当甲车到达B市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，求甲、乙两货车的速度．
【分析】（1）设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，则该水果批发商购进的第二批赣南脐橙每箱（x+10）元，根据某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲货车的速度为4y km/h，则乙货车的速度为5y km/h，根据当甲车到达B市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，列出分式方程，解方程，即可解决问题．
解：（1）设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，则该水果批发商购进的第二批赣南脐橙每箱（x+10）元，
由题意得：＝×2，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱80元；
（2）设甲货车的速度为4y km/h，则乙货车的速度为5y km/h，
由题意得：+＝4.5，
解得：y＝16，
经检验，y＝16是原方程的解，且符合题意，
∴4y＝4×16＝64，5y＝5×16＝80，
答：甲货车的速度为64km/h，乙货车的速度为80km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2的面积关系，写出正确的等式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）若要拼出一个面积为（2a+b）（3a+2b）的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片 2 张，C号卡片 7 张；
（3）正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中两个阴影三角形面积和．
【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可求解；
（2）先计算（2a+b）（3a+2b），再根据面积不变结合乘法的结果可得答案；
（3）根据图形得到x﹣y＝DG＝BE＝2，利用完全平方公式分别求得xy和x+y即可求解．
解：（1）由图2知，大正方形的面积为（a+b）2，又可以为a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+b）（3a+2b）
＝6a2+4ab+3ab+2b2
＝6a2+7ab+2b2，
∴要拼出一个面积为（2a+b）（3a+2b）的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片2张，C号卡片7张；
（3）由题知：x﹣y＝DG＝BE＝2，x2+y2＝34，
则（x﹣y）2＝4＝x2+y2﹣2xy，则2xy＝30，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝34+30＝64，
∴x+y＝8（负值舍去），
图中阴影部分面积为：．
【点评】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键．
25．如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE，DE，可知，此时△AED是等腰直角三角形；
【问题提出】（1）如图2，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE＝PF，∠EPF＝90°；要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
【问题探究】（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B（4，1）点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出点C的坐标；
【问题解决】（3）如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），点C是y轴上的点C（0，），点B在第一象限内，△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，点P是y轴上的一动点，求PA+PB的最小值．[注：在平面直角坐标系内，A（a，c），B（b，d），则AB＝]．
【分析】（1）如图，以点D为圆心CP长为半径作弧交AD于点F，以点C为圆心，DP长为半径作弧交BE于点E，连接EF，EP，FP，点E、F即为所求；
（2）分∠CAB＝90°、∠ABC＝90°、∠ACB＝90°，三种情况求解即可；
（3）过B作BG⊥y轴于G，根据等腰直角三角形的性质得到BC＝AC，∠ACB＝90°，根据全等三角形的性质得到BG＝OC＝，CG＝OA＝，求得OG＝＝1，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于P，则此时PA+PB的值最小，且等于A′B，过B作BH⊥x 轴于H，则四边形BGOH是矩形，得到OH＝BG＝，BH＝OG＝1，求得OA′＝OA＝，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）如图，以点D为圆心CP长为半径作弧交AD于点F，
以点C为圆心，DP长为半径作弧交BE于点E，
连接EF，EP，FP．
∴点E、F即为所求；
（2）如图，当∠CAB＝90°，CA＝AB时，
过点C作CF⊥AO于点F，过点B作BE⊥AO于点E，
∵点A（2，0），点B（4，1），
∴BE＝1，OA＝2，OE＝4，
∴AE＝2，
∵∠CAB＝90°，BE⊥AO，
∴∠CAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，
∵AC＝AB，∠AFC＝∠AEB＝90°，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴CF＝AE＝2，AF＝BE＝1，
∴OF＝OA﹣AF＝1，
∴点C坐标为（1，2）；
如图，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，
过点B作BE⊥OA，过点C作CF⊥BE交EB延长线于点F，
∵∠ABC＝90°，BE⊥OA，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵BC＝AB，∠AEB＝∠CFB＝90°，
∴△BCF≌△ABE（AAS），
∴BE＝CF＝1，AE＝BF＝2，
∴EF＝3，
∴点C坐标为（3，3）；
如图，当∠ACB＝90°，CA＝BC时，
过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BF⊥CD于点F，
∵∠ACD+∠BCF＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCF＝∠CAD，
∵AC＝BC，∠CDA＝∠CFB，
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴CF＝AD，BF＝CD＝DE，
∵AD+DE＝AE＝2，
∴2＝AD+CD＝AD+CF+DF＝2AD+1，
∴DA＝，
∴CD＝，OD＝，
∴点C坐标（，），
综上所述：点C坐标为：（1，2）、（3，3）、（，）；
（3）∵点C（0，），点A（，0），
∴OC＝，OA＝，
过B作BG⊥y轴于G，
∵△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠CBG＝∠BCG+∠ACO＝90°，
∴∠ACO＝∠CBG，
∵∠AOC＝∠CGB＝90°，
∴△ACO≌△CBG（AAS），
∴BG＝OC＝，CG＝OA＝，
∴OG＝＝1，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于P，
则此时PA+PB的值最小，且等于A′B，
过B作BH⊥x 轴于H，
则四边形BGOH是矩形，
∴OH＝BG＝，BH＝OG＝1，
∵点A关于y轴的对称点A′，
∴OA′＝OA＝，
∴A′H＝1，
∴A′B＝＝，
故PA+PB的最小值为．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，分类讨论是解决本题的关键．