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147，北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学练习数学试题
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这是一份147，北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学练习数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 椭圆的焦距是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】把椭圆的方程化成标准形式，再求出焦距.
【详解】椭圆的方程化为：，令椭圆半焦距为c，则，
所以椭圆的焦距是.
故选：C
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】等比数列中，，，不能确定
故选：D
3. 已知圆：与轴切于点，与轴切于点，设劣弧的中点为，则过点的圆的切线方程是您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意，，则是圆与的交点，得，
所以过点的切线为，即，故选A．
点睛：通过画图，得到的位置是圆与的交点，求得，则点的切线的斜率为1，由点斜式得到切线方程为，化简得到答案．
4. 定义在R上的函数满足，又，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据导数的符号得到函数的单调性，再根据、、的范围结合单调性可得三个函数值的大小关系.
【详解】因为，
故当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查导数的应用以及指数、对数、幂的大小比较，函数值的大小比较一般需要利用函数的单调性（可利用导数的符号来说明），而指数、对数、幂的大小比较，可根据函数的单调性或利用中间数来比较大小，本题属于中档题.
5. 由三个数字1，2，3组成五位数中，1，2，3都至少出现一次，这样的五位数的个数为（ ）
A. 150B. 240C. 180D. 236
【答案】A
【解析】
【分析】利用两个原理结合组合应用问题，列式计算即得.
【详解】求五位数的个数这件事可以有两类办法：
恰有一个数字出现三次，另两个各出现一次，有个；
恰有一个数字出现一次，另两个各出现两次，有个，
由分类计数加法原理得五位数的个数为.
故选：A
6. 如果存在正整数和实数使得函数为常数的图象如图所示（图象经过点），那么的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用“降幂升角”公式得到，再根据图象，可得，即可求出结果.
【详解】因为，
根据图像知，又，所以，得到，
又正整数，所以，
故选：B.
7. 某种新产品的社会需求量是时间的函数，记作：．若，社会需求量的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，的导函数满足：（k为正的常数），则函数的图像可能为（ ）
A. ①②B. ①③C. ②④D. ①②④
【答案】B
【解析】
【分析】由得，，即单调递增，再结合基本不等式，即可求.
【详解】因为，依题知，所以，
即函数单调递增，④不合，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
则若，则等号可以取得，即导函数在处取得最大值，
即在该处函数的变化最大，则③满足题意，②不合题意；
当时，等号取不了，但是单调递增的，①符合题意；
只有①③符合题意.
故选：B
8. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，其中，则所有点构成的图形面积为（ ）
A. B. ．C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，求出，从而可得出关于得二元一次不等式组，作出图象，结合图象，从而可得出答案.
【详解】解：设，则，
所以，所以，
由，
得，即，
则所有点构成图形如图所示（阴影部分），
则面积为.
故选：C.
9. 血药浓度（Plasma Cncentratin）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；
③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.
其中正确说法的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．
【详解】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；
②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；
③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确；
④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．
故选：C．
10. 已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点的直线交圆于、两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当轴时满足题意；当直线不垂直轴时设直线，分别联立
抛物线、圆的方程并消去，得出关于的方程，设根据列出方程，结合必要条件的概念即可得出结果.
【详解】由题意可知，当轴时，
直线与抛物线交于，与圆交于，满足题意；
当直线不与轴垂直时，设直线，
，
，
设，
则，，
由和抛物线、圆的对称性，可得，
若，则，
即，解得，此时直线轴；
若，则，
即，即，
所以当时，仅有3条.
有，
故选：D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数满足，则复数的实部为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数模意义及除法运算求解即得.
【详解】由，得，
所以复数的实部为.
故答案为：
12. 某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则在这200人中年龄在的人数______，直方图中______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用频率分布直方图求出年龄在的频率即可求出；由各小矩形面积和为1求出.
【详解】由频率分布直方图知，年龄在的频率为，
所以；
由于，所以.
故答案为：30；0.035
13. 已知等差数列满足：，且前10项的和，则的所有可能值共有______个.
【答案】4
【解析】
【分析】由等差数列的性质和前项和公式结合已知推出即可.
【详解】因为，
所以，
因为等差数列满足：，
所以当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：4
14. 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为______米.
【答案】
【解析】
【分析】在中，利用条件得到，，，再利用正弦定理建立方程，即可求出结果.
【详解】如图，在中，，，，
由正弦定理，得到，所以，
故答案为：.
15. 如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论：
①平面平面；
②与的夹角为定值；
③三棱锥体积最大值为；
④点的轨迹的长度为；
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①由题设结合线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；③根据①②的分析，当面时最大，求其最大值；④确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度.
【详解】对于①：由，，为边的中点知且，
易知，，而，面，
故面，又面，所以面面，故①正确；
对于②：若是的中点，又为的中点，则且，
而且，所以且，即为平行四边形，
故，所以与的夹角为或其补角，
若为中点，即，由①分析易知，
故与的夹角为，故②正确；
对于③：由上分析知：翻折过程中当面时，最大，
此时，故③错误；
对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同，
由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，
故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以的轨迹长度为，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四边形的性质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公式求的最大体积以及F的轨迹的长度.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）求方程的根.
【答案】（1）最大值为2，最小值为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数意义的取值，再由切化弦及辅助角公式化简函数式，利用正弦函数性质求解即得.
（2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质求解并验证即得.
【小问1详解】
函数中，，即，
，显然，
由，得，则，
即，
所以当，即时，函数的最大值为2；
当；即时，函数的最小值为.
【小问2详解】
由，得，即或，，
解得或，，而，
所以方程的根是.
17. 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于或小于时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度．
（1）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
（2）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；
（3）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）
【答案】（1）；
（2）分布列见解析； （3）的最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】（1）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用表示事件抽取的月份为第月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．
（2）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，所有可能的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列．
（3）由，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，应用中位数的定义结合分类讨论求出的最大值，最小值．
【小问1详解】
设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．
用表示事件抽取的月份为第月，
∴，，，，，，，，，，，共12个基本事件，
且，，，，，共6个基本事件，
所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
【小问2详解】
在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，
∴所有可能的取值为0，1，2．
，，，
随机变量的分布列为：
【小问3详解】由表格已知数据：乙地数据从小到大为，
又，不妨假设，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，
当时，则；
当，即时，若有，若有，
∴的最大值为，最小值为．
18. 如图在几何体中，底面为菱形，，，，.
（1）判断是否平行于平面，并证明；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（ⅰ）平面与平面所成角的大小；
（ⅱ）求点A到平面的距离.
条件①：面面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【答案】（1）不平行，证明见解析
（2）（i）答案见解析；（ii）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理构造平行四边形得线线平行，即可得结论；
（2）选择条件证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角及点到平面距离.
【小问1详解】
不平行于平面，理由如下：
取中点，
因为，所以
则四边形为平行四边形，所以，又，所以不平行于，
假设平面，因为平面平面，
平面
所以，
与不平行于矛盾，所以假设不成立，即不平行于平面；
【小问2详解】
选择条件①：条件①矛盾，不选，理由如下：
连接，取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，
所以，
在菱形中，有，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以
又因为面，所以面，
而面，所以
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，，，
则为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
则，故平面不垂直平面，
所以条件①不成立，故不选.
选择条件②：连接，取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，
所以，
在菱形中，有，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以
又因为面，所以面，
而面，所以
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
（ⅰ）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令
设平面与平面所成角为，
所以，
则即平面与平面所成角大小为；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）知平面的一个法向量为
所以点A到平面的距离为.
条件③：
取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以，
因为，由（1）可得，所以
所以，即
因为，所以
又因为面，所以面，
而面，所以
所以如图，以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
（ⅰ）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令
设平面与平面所成角为，
所以，则
即平面与平面所成角大小为；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）知平面的一个法向量为
所以点A到平面的距离为
19. 已知动圆过点，且被轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线.过点的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.
（1）求曲线的方程；
（2）证明：直线过定点；
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆的几何性质进行求解即可；
（2）方法一：设出相应直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系、中点坐标公式、直线点斜式方程，结合互相垂直直线斜率的关系进行运算求解即可；
方法二：设出一条直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系、中点坐标公式、互相垂直直线斜率关系求出相应点的坐标，最后利用直线点斜式方程进行判断即可.
【小问1详解】
设，
因为动圆过点，且被轴截得的线段长为4，
所以有，
所以曲线的方程为；
【小问2详解】
由，故，
由直线与直线垂直，故两直线斜率都存在且不为0，
设直线分别为，有，
联立与直线，即有，
消去可得，
故，
则，
故，
即，
同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
故直线过定点，且该定点为；
方法二：设，不妨设.
设，则.由，得，
故.
所以.
同理可得.
若，则直线过点.
若，则直线过点.
综上，直线过定点.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用直线互相垂直的关系求出相应点的坐标，从而利用直线点斜式方程进行判断.
20. 已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）若是函数的极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）讨论在区间上的零点个数．
【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值.
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2
【解析】
【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案.
（2）（ⅰ）计算得到，确定，设，根据函数的单调性结合，得到证明；
（ⅱ）求导得到导函数，考虑，，三种情况，构造，确定函数的单调区间，根据，，得到零点个数.
【小问1详解】
，，取得到，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
故函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值.
【小问2详解】
（ⅰ），，
，故，
设，函数单调递增，
，.
根据零点存在定理知.
（ⅱ），，，
设，，
当时，，故，单调递增，，故函数单调递减，，
故函数在上无零点；
当时，，
设，，
设，则，
当时，，当时，
故在单调递增，在上单调递减，
，，，
故存在使，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，故，，故函数在上有1个零点.
综上所述：在区间上零点个数为2
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.
21.
对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数
列具有“性质”．
不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同
时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．
（I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；
（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；
（III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，
数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”．
【答案】（I）证明见解析．（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，数列为3，2，1，5，4．数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”理由见详解；（III）证明见解析．
【解析】
【详解】（I）当时，
又．
所以是完全平方数，
数列具有“P性质”
（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，
数列为3，2，1，5，4
数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
（III）设
注意到
令
由于，
所以
又
所以
即
因为当时，数列具有“变换P性质”
所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成
使得都是平方数
另外，可以按相反顺序排列，
即排列为
使得
所以1，2，可以排列成
满足都是平方数.
即当时，数列A也具有“变换P性质”第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
甲地
乙地
0
1
2
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 椭圆的焦距是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】把椭圆的方程化成标准形式，再求出焦距.
【详解】椭圆的方程化为：，令椭圆半焦距为c，则，
所以椭圆的焦距是.
故选：C
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】等比数列中，，，不能确定
故选：D
3. 已知圆：与轴切于点，与轴切于点，设劣弧的中点为，则过点的圆的切线方程是您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意，，则是圆与的交点，得，
所以过点的切线为，即，故选A．
点睛：通过画图，得到的位置是圆与的交点，求得，则点的切线的斜率为1，由点斜式得到切线方程为，化简得到答案．
4. 定义在R上的函数满足，又，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据导数的符号得到函数的单调性，再根据、、的范围结合单调性可得三个函数值的大小关系.
【详解】因为，
故当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查导数的应用以及指数、对数、幂的大小比较，函数值的大小比较一般需要利用函数的单调性（可利用导数的符号来说明），而指数、对数、幂的大小比较，可根据函数的单调性或利用中间数来比较大小，本题属于中档题.
5. 由三个数字1，2，3组成五位数中，1，2，3都至少出现一次，这样的五位数的个数为（ ）
A. 150B. 240C. 180D. 236
【答案】A
【解析】
【分析】利用两个原理结合组合应用问题，列式计算即得.
【详解】求五位数的个数这件事可以有两类办法：
恰有一个数字出现三次，另两个各出现一次，有个；
恰有一个数字出现一次，另两个各出现两次，有个，
由分类计数加法原理得五位数的个数为.
故选：A
6. 如果存在正整数和实数使得函数为常数的图象如图所示（图象经过点），那么的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用“降幂升角”公式得到，再根据图象，可得，即可求出结果.
【详解】因为，
根据图像知，又，所以，得到，
又正整数，所以，
故选：B.
7. 某种新产品的社会需求量是时间的函数，记作：．若，社会需求量的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，的导函数满足：（k为正的常数），则函数的图像可能为（ ）
A. ①②B. ①③C. ②④D. ①②④
【答案】B
【解析】
【分析】由得，，即单调递增，再结合基本不等式，即可求.
【详解】因为，依题知，所以，
即函数单调递增，④不合，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
则若，则等号可以取得，即导函数在处取得最大值，
即在该处函数的变化最大，则③满足题意，②不合题意；
当时，等号取不了，但是单调递增的，①符合题意；
只有①③符合题意.
故选：B
8. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，其中，则所有点构成的图形面积为（ ）
A. B. ．C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，求出，从而可得出关于得二元一次不等式组，作出图象，结合图象，从而可得出答案.
【详解】解：设，则，
所以，所以，
由，
得，即，
则所有点构成图形如图所示（阴影部分），
则面积为.
故选：C.
9. 血药浓度（Plasma Cncentratin）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；
③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.
其中正确说法的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．
【详解】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；
②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；
③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确；
④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．
故选：C．
10. 已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点的直线交圆于、两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当轴时满足题意；当直线不垂直轴时设直线，分别联立
抛物线、圆的方程并消去，得出关于的方程，设根据列出方程，结合必要条件的概念即可得出结果.
【详解】由题意可知，当轴时，
直线与抛物线交于，与圆交于，满足题意；
当直线不与轴垂直时，设直线，
，
，
设，
则，，
由和抛物线、圆的对称性，可得，
若，则，
即，解得，此时直线轴；
若，则，
即，即，
所以当时，仅有3条.
有，
故选：D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数满足，则复数的实部为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数模意义及除法运算求解即得.
【详解】由，得，
所以复数的实部为.
故答案为：
12. 某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则在这200人中年龄在的人数______，直方图中______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用频率分布直方图求出年龄在的频率即可求出；由各小矩形面积和为1求出.
【详解】由频率分布直方图知，年龄在的频率为，
所以；
由于，所以.
故答案为：30；0.035
13. 已知等差数列满足：，且前10项的和，则的所有可能值共有______个.
【答案】4
【解析】
【分析】由等差数列的性质和前项和公式结合已知推出即可.
【详解】因为，
所以，
因为等差数列满足：，
所以当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：4
14. 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为______米.
【答案】
【解析】
【分析】在中，利用条件得到，，，再利用正弦定理建立方程，即可求出结果.
【详解】如图，在中，，，，
由正弦定理，得到，所以，
故答案为：.
15. 如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论：
①平面平面；
②与的夹角为定值；
③三棱锥体积最大值为；
④点的轨迹的长度为；
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①由题设结合线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；③根据①②的分析，当面时最大，求其最大值；④确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度.
【详解】对于①：由，，为边的中点知且，
易知，，而，面，
故面，又面，所以面面，故①正确；
对于②：若是的中点，又为的中点，则且，
而且，所以且，即为平行四边形，
故，所以与的夹角为或其补角，
若为中点，即，由①分析易知，
故与的夹角为，故②正确；
对于③：由上分析知：翻折过程中当面时，最大，
此时，故③错误；
对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同，
由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，
故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以的轨迹长度为，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四边形的性质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公式求的最大体积以及F的轨迹的长度.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）求方程的根.
【答案】（1）最大值为2，最小值为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数意义的取值，再由切化弦及辅助角公式化简函数式，利用正弦函数性质求解即得.
（2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质求解并验证即得.
【小问1详解】
函数中，，即，
，显然，
由，得，则，
即，
所以当，即时，函数的最大值为2；
当；即时，函数的最小值为.
【小问2详解】
由，得，即或，，
解得或，，而，
所以方程的根是.
17. 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于或小于时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度．
（1）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
（2）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；
（3）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）
【答案】（1）；
（2）分布列见解析； （3）的最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】（1）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用表示事件抽取的月份为第月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．
（2）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，所有可能的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列．
（3）由，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，应用中位数的定义结合分类讨论求出的最大值，最小值．
【小问1详解】
设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．
用表示事件抽取的月份为第月，
∴，，，，，，，，，，，共12个基本事件，
且，，，，，共6个基本事件，
所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
【小问2详解】
在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，
∴所有可能的取值为0，1，2．
，，，
随机变量的分布列为：
【小问3详解】由表格已知数据：乙地数据从小到大为，
又，不妨假设，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，
当时，则；
当，即时，若有，若有，
∴的最大值为，最小值为．
18. 如图在几何体中，底面为菱形，，，，.
（1）判断是否平行于平面，并证明；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（ⅰ）平面与平面所成角的大小；
（ⅱ）求点A到平面的距离.
条件①：面面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【答案】（1）不平行，证明见解析
（2）（i）答案见解析；（ii）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理构造平行四边形得线线平行，即可得结论；
（2）选择条件证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角及点到平面距离.
【小问1详解】
不平行于平面，理由如下：
取中点，
因为，所以
则四边形为平行四边形，所以，又，所以不平行于，
假设平面，因为平面平面，
平面
所以，
与不平行于矛盾，所以假设不成立，即不平行于平面；
【小问2详解】
选择条件①：条件①矛盾，不选，理由如下：
连接，取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，
所以，
在菱形中，有，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以
又因为面，所以面，
而面，所以
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，，，
则为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
则，故平面不垂直平面，
所以条件①不成立，故不选.
选择条件②：连接，取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，
所以，
在菱形中，有，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以
又因为面，所以面，
而面，所以
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
（ⅰ）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令
设平面与平面所成角为，
所以，
则即平面与平面所成角大小为；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）知平面的一个法向量为
所以点A到平面的距离为.
条件③：
取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以，
因为，由（1）可得，所以
所以，即
因为，所以
又因为面，所以面，
而面，所以
所以如图，以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
（ⅰ）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令
设平面与平面所成角为，
所以，则
即平面与平面所成角大小为；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）知平面的一个法向量为
所以点A到平面的距离为
19. 已知动圆过点，且被轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线.过点的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.
（1）求曲线的方程；
（2）证明：直线过定点；
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆的几何性质进行求解即可；
（2）方法一：设出相应直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系、中点坐标公式、直线点斜式方程，结合互相垂直直线斜率的关系进行运算求解即可；
方法二：设出一条直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系、中点坐标公式、互相垂直直线斜率关系求出相应点的坐标，最后利用直线点斜式方程进行判断即可.
【小问1详解】
设，
因为动圆过点，且被轴截得的线段长为4，
所以有，
所以曲线的方程为；
【小问2详解】
由，故，
由直线与直线垂直，故两直线斜率都存在且不为0，
设直线分别为，有，
联立与直线，即有，
消去可得，
故，
则，
故，
即，
同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
故直线过定点，且该定点为；
方法二：设，不妨设.
设，则.由，得，
故.
所以.
同理可得.
若，则直线过点.
若，则直线过点.
综上，直线过定点.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用直线互相垂直的关系求出相应点的坐标，从而利用直线点斜式方程进行判断.
20. 已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）若是函数的极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）讨论在区间上的零点个数．
【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值.
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2
【解析】
【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案.
（2）（ⅰ）计算得到，确定，设，根据函数的单调性结合，得到证明；
（ⅱ）求导得到导函数，考虑，，三种情况，构造，确定函数的单调区间，根据，，得到零点个数.
【小问1详解】
，，取得到，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
故函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值.
【小问2详解】
（ⅰ），，
，故，
设，函数单调递增，
，.
根据零点存在定理知.
（ⅱ），，，
设，，
当时，，故，单调递增，，故函数单调递减，，
故函数在上无零点；
当时，，
设，，
设，则，
当时，，当时，
故在单调递增，在上单调递减，
，，，
故存在使，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，故，，故函数在上有1个零点.
综上所述：在区间上零点个数为2
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.
21.
对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数
列具有“性质”．
不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同
时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．
（I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；
（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；
（III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，
数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”．
【答案】（I）证明见解析．（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，数列为3，2，1，5，4．数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”理由见详解；（III）证明见解析．
【解析】
【详解】（I）当时，
又．
所以是完全平方数，
数列具有“P性质”
（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，
数列为3，2，1，5，4
数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”
（III）设
注意到
令
由于，
所以
又
所以
即
因为当时，数列具有“变换P性质”
所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成
使得都是平方数
另外，可以按相反顺序排列，
即排列为
使得
所以1，2，可以排列成
满足都是平方数.
即当时，数列A也具有“变换P性质”第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
甲地
乙地
0
1
2
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