30，北京市西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试题()

这是一份30，北京市西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试题()，共4页。试卷主要包含了3/份，直线l过圆O等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x|x2≤4}，集合B={x|x>0}，则A∪B=
A．(−∞,−2]B．[−2,0)C．[−2,+∞)D．(0,2]
（2）若a>0>b，则
A．a3>b3B．a>bC．1a0
（3）设1+xn=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a2=a3，则 n=
A．5B．6C．7D．8
（4）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是
A．fx=sinxB．fx=2xC．fx=x3+xD．fx=12e−x−ex
（5）已知函数fx=x3+x，则“ x1+x2=0”是“ fx1+fx2=0”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
（6）已知双曲线C的实轴长为2，且与椭圆C:x23+y212=1的焦点相同，则双曲线 C的渐近线方程为
A．y=±22xB．y=±24x.C．y=±255xD．y=±52x
（7）已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点，点P满足QP=1,−3，记P的轨迹为E，则
A．E是一个半径为5的圆B．E是一条与l相交的直线
C．E上的点到l的距离均为5D．E是两条平行直线
（8）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数fx=sinx+12sin2xx∈?，则下列结论正确的是
A．fx的一个周期为πB．fx的最大值为32
C．fx的图象关于直线x=π对称D．fx在区间[0,2π]上有3个零点
（9）如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=4，AC=6,N为边BC的中点，则AN⋅AM=您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3/份
A．10B．13C．18D．26
（10）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P为正方形 ABCD所在平面内一动点，给出下列三个命题：
①若点P总满足PD⊥DC1，则动点P的轨迹是一条直线；
②若点P到直线BB1与到平面CDD1C1的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；
③若点P到直线DD1的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆.
其中正确的命题个数是
A．0B．1C．2D．3
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若z=21+i则z= .
（12）函数fx=lg13x,x≥1,3x,x0,ω>0，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得fx存在.
（Ⅰ）求函数fx的解析式；
（Ⅱ）求fx在区间[0,π2]上的最大值和最小值.
条件①：fx=f−x;
条件②：fx的最大值为32
条件③：fx的图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.
（18）（本小题13分）
在测试中，客观题难度的计算公式为P1=R1N，其中P1为第ⅰ题的难度，R1为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题。测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差.设P′为第ⅰ题的实测难度，请用Pi和Pi′设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理.
（19）（本小题15分）
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，椭圆E的右顶点为P，上顶点为Q，且FQ=2,PF=2−1.直线l过圆O:x2+y2=1的圆心，并与椭圆相交于A,B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C，且S△ABC=43.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求直线AC的斜率.
（20）（本小题15分）
已知函数fx=e2x−ax−1a∈R.
（Ⅰ）求fx的单调区间：
（Ⅱ）若fx>0对x∈0,+∞恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：若fx在区间0,+∞上存在唯一零点x0，则x0