45，北京市西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试题

这是一份45，北京市西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试题，共22页。试卷主要包含了 已知集合，集合，则， 若，则， 设，若，则， 已知函数，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.
【详解】由题意，，
所以.
故选：C.
2. 若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.
【详解】，，即，故A正确；
取，则不成立，故B错误；
取，则不成立，故C错误；
取，则，故D错误.
故选：A
3. 设，若，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
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【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.
【详解】展开式第项，
∵，∴，
∴.
故选：A.
4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.
【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合；
对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合；
对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合；
对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合.
故选：D.
5. 已知函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.
【详解】因为定义域为，，
所以为奇函数，且为上的增函数.
当时，，所以，
即“”是“”的充分条件，
当时，，由的单调性知，
，即，
所以“”是“”成立的必要条件.
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C
6. 已知双曲线的实轴长为2，且与椭圆的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，进而得双曲线的焦点坐标，再根据的值求出，即可得到双曲线的标准方程，最后求双曲线的渐近线方程即可.
【详解】椭圆焦点坐标为，，
故，
可设双曲线的方程为，
则.
双曲线的实轴长为2，
，可得：
，
双曲线的标准方程为.
令，得，
故双曲线的渐近线方程为
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线和椭圆的标准方程和几何性质，考查数学运算核心素养，解题关键是掌握双曲线的渐近线方程定义，属于基础题.
7. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A. 是一个半径为的圆B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为D. 是两条平行直线
【答案】C
【解析】
【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案.
【详解】设，由，则，
由在直线上，故，
化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，
上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
8. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上有3个零点
【答案】D
【解析】
【分析】A.代入周期的定义，即可判断；
B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；
C.代入对称性的公式，即可求解；
D.根据零点的定义，解方程，即可判断.
【详解】A.，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D.，即，，
即或，解得：，
所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D
9. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ）
A. 10B. 13C. 18D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论．
【详解】是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选：B．
10. 已知正方体的棱长为2，点为正方形所在平面内一动点，给出下列三个命题：
①若点总满足，则动点的轨迹是一条直线；
②若点到直线与到平面的距离相等，则动点的轨迹是抛物线；
③若点到直线的距离与到点的距离之和为2，则动点的轨迹是椭圆.
其中正确的命题个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系，即可确定满足满足的动点的轨迹，从而可判断①；利用线线关系将点线距离转化为点点距离，结合圆锥曲线的定义即可判断动点的轨迹，即可得判断②③，从而可得答案.
【详解】对于①，如图在正方体中，连接，
在正方体中，因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
平面平面，平面，点总满足，
所以平面，所以，则动点的轨迹是一条直线，故①正确；
对于②，平面,平面，则点到直线等于到的距离，
又到平面的距离等于到的距离，
则到的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线，故②正确；
对于③，点到直线的距离等于到的距离，所以到的距离与到点的距离之和为2，即，则点的轨迹为线段，故③不正确.
所以正确的命题个数是2.
故选：C.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.
【详解】因为，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.
12. 函数的值域为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.
【详解】因为当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
故答案为：
13. 经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出焦点坐标，设直线方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O点到直线距离，进一步求出三角形面积.
【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB：，
联立方程，消去x可得，，
韦达定理得，
因为，所以，即，
所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为，
所以.
故答案为：
14. 在中，，，．
（1）若，则________；
（2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；
（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.
【详解】（1），，
，，
由余弦定理，，即，
解得.
（2）因为,,
所以当时，方程有两解，
即，
取即可满足条件（答案不唯一）
故答案为：；6.
15. 项数为的有限数列的各项均为不小于的整数，满足，其中．给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则满足条件的数列有4个；
③存在的数列；
④所有满足条件的数列中，首项相同．
其中所有正确结论的序号是_____________________．
【答案】②④
【解析】
【分析】由题意可得，所以，，从而可判断③，④；当时，得，所以，则，从而判断①；当时，可得，则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，从而可得数列，即可判断②．
【详解】因为有限数列的各项均不小于的整数，
所以，，，
又因为，
所以，
所以，且，为整数，
所以，所以③错误，④正确；
当时，得，所以，则，所以，故①错误；
当时，得，
又因为，
所以，则，
所以，为整数，
则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，
故数列可能为，，6；，0，4；，1，2；，2，0，共4个，故②正确．
故答案为：②④．
【点睛】思路点睛：项数为的有限数列的性质入手，，从各项，结合不等式放缩，确定的范围，从而得的值，逐项验证即可.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，在三棱柱，侧面正方形，面平面，，分别为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【小问1详解】
证明：取中点，连接，，
在三棱柱中，
，，，，
，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，面，面，
平面．
【小问2详解】
取中点为，连接，
，为中点
，则
面平面，面平面，平面
面，
面，，
面正方形，为中点，
，
如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
面，是平面的法向量，
设面的法向量为，
，，
则，取，得，
，
由图得，二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
17. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
条件①：；
条件②：的最大值为；
条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
【答案】（1）选择条件②③，
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.
【小问1详解】
若选择条件①，
因为，所以，
由可得对恒成立，与矛盾，
所以选择条件②③，
由题意可得，
设，
由题意可得，
其中，，
因为的最大值为，所以，解得，
所以，，
由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，
所以解得，
所以.
【小问2详解】
由正弦函数图象可得当时，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
18. 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
【答案】（1）48 （2）
（3）合理
【解析】
【分析】（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，于是可求出240人中实测答对第5题的人数．
（2）的可能取值是0,1,2，根据超几何分布即可求出概率和分布列，进而求出期望；
（3）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．定义统计量，其中为第题的预估难度. 并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．计算值即可判断.
【小问1详解】
因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，
所以估计240人中有人实测答对第5题．
【小问2详解】
的可能取值是0,1,2，
；；．
的分布列为：
．
【小问3详解】
将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．
定义统计量，
其中为第题的预估难度.
并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．
.
因为，
所以该次测试的难度预估是合理的．
19. 已知椭圆的右焦点为F，点P是椭圆与x轴正半轴的交点，点Q是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．直线l过圆的圆心，并与椭圆相交于A，B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率．
【答案】（1）
（2）1或
【解析】
【分析】（1）由椭圆的性质得出即可；
（2）当直线的斜率不存在时不符合题意；存在时设，由直线与圆O相切得到，然后直曲联立，写出韦达定理，用斜率和m表示的弦长公式写出三角形面积，解出方程组的解即可.
【小问1详解】
由题意可得，，
，，
椭圆的方程为．
【小问2详解】
若圆O的切线轴，则，，不满足题意．
设直线的方程为，
直线与圆O相切，，，
联立与，
消y得．
,
设，，则，．
到直线的距离为1，则
，
将代入消m可得，
化简可得，解得（负值舍去），
，故直线的斜率为1或．
20. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；
（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.
【小问1详解】
由题设，
当时，，则在R上递增；
当时，令，则，
若，则，在上递减；
若，则，在上递增；
综上，时的递增区间为R，无递减区间；
时的递减区间为，递增区间为.
【小问2详解】
由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，
所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以，故在上不存在；
综上，
【小问3详解】
由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；
时，在上递减，在上递增，且，
所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，
所以，在上存在唯一，使，
要证，只需在上恒成立即可，
令，若，则，
令，则，即在上递增，故，
所以，即在上递增，故，
所以在上恒成立，得证；
故，得证.
【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可.
21. 已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列．
（1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；
（2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；
（3）若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．
【答案】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；
（2）11 （3）0
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；
（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可；
（3）由都是连续等项数列可得，
，再由反证法证得，即可得出的值.
【小问1详解】
数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:
因为，所以连续等项数列.
因为为；
为；
为;
为，
所以不存在正整数，使得.
所以A不是连续等项数列.
【小问2详解】
设集合，则中的元素个数为.
因为在数列中，所以.
若，则.
所以在这个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，
即存在正整数，使得.
所以当项数时，数列一定是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若,数列不是连续等项数列.
所以的最小值为11.
【小问3详解】
因为与都是连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数,
使得，
下面用反证法证明.
假设，
因，
所以中至少有两个数相等.
不妨设，则
所以是连续等项数列，与题设矛盾.
所以.
所以.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，，利用反证法求是关键点.题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
14
0
1
2