5. 北京首都师范2023-2024学年高三下学期开学练习数学试题

这是一份5. 北京首都师范2023-2024学年高三下学期开学练习数学试题，共16页。
A．B．1C．D．2
2．设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆与轴切于点，与轴切于点，设弧的中点为，则过点的圆的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
4．定义在上的函数满足，又则（ ）
A．B．C．D．
5．由三个数字1，2，3组成的五位数中，1，2，3都至少出现一次，这样的五位数的个数为（ ）
A．150B．240C．180D．236
6．如果存在正整数和实数使得函数为常数）的图象如图所示（图象经过点，那么的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．某种新产品的社会需求量是时间的函数，记作：．若，社会需求量的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，的导函数满足：（为正的常数），则函数的图像可能为（ ）
A．①②B．①③C．②④D．①②④
8．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，其中，则所有点构成的图形面积为（ ）
A．1B．2C．D．
9．血药浓度（Plasma Cncentratin）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；
③每相隔5．5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．已知抛物线，圆（其中为常数，）．过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线只有三条的必要条件是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．复数满足，则复数的实部为______．
12．某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则在这200人中年龄在的人数______，直方图中______．
13．已知等差数列满足：，且前10项的和，则的所有可能值共有______个．
14．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30角．轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向．则此时轮船到灯塔之间的距离为______米．
15．如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论：
①平面平面；
②与的夹角为定值；
③三棱锥体积最大值为；
④点的轨迹的长度为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求方程的根．
17．（本小题14分）
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度．
（Ⅰ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列；
（Ⅲ）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值．（只需写出结论）
18．（本小题14分）
如图在几何体中，底面为菱形，，，，．
（Ⅰ）判断是否平行于平面，并证明；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（ⅰ）平面与平面所成角的大小；
（ⅱ）求点A到平面的距离．
条件①：面面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
19．（本小题14分）
已知动圆过点，且被轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线．过点的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）证明：直线过定点；
20．（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若是函数的极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）讨论在区间上的零点个数．
21．（本小题15分）
对于各项均为整数的数列，如果满足为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．
（Ⅰ）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；
（Ⅱ）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；
（Ⅲ）对于有限项数列，某人已经验证当时，数列具有“变换性质”，试证明：当时，数列也具有“变换性质”．
2023－2024首师大附中高三数学第二学期开学检测
数学
2024.2.
选择与填空
11． 12． 13．4 14． 15．①②④
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．解：（Ⅰ）
因为，
所以．
所以．
即．
所以当，即时，函数的最大值为2；
当；即时，函数的最小值为．
（2）因为或，或
由定义域舍去后者，综上根是，
17．（1）设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用表示事件抽取的月份为第月，
共12个基本事件，
且共6个基本事件，
所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
（2）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，
所有可能的取值为0，1，2．
，
随机变量的分布列为：
（3）由表格已知数据：乙地数据从小到大为，又，不妨假设，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，当时，则；
当，即时，若有，若有，
的最大值为，最小值为．
18．（1）不平行于平面，理由如下：
取中点，
因为，所以
则四边形为平行四边形，所以，又，所以不平行于，
假设平面，因为平面平面，
平面
所以，
与不平行于矛盾，所以假设不成立，即不平行于平面；
（2）选择条件①：矛盾
选择条件②：连接，取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，
所以，
在菱形中，有，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以
又因为面，所以面，
而面，所以
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
（ⅰ）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令
设平面与平面所成角为，
所以，
则即平面与平面所成角大小为；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）知平面的一个法向量为
所以点A到平面的距离为．
条件③：
取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以，
因为，由（1）可得，所以
所以，即
因为，所以
又因为面，所以面，
而面，所以
所以如图，以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
（ⅰ）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令
设平面与平面所成角为，
所以，则
即平面与平面所成角大小为；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）知平面的一个法向量为
所以点A到平面的距离为
19．（Ⅰ）曲线的方程是
（Ⅱ）【方法一】：由，故，由直线与直线垂直，故两只直线斜率都存在且不为0，
设直线分别为，有，
联立与直线，即有，
消去可得，
故，
则，
故，
即，
同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
故直线过定点，且该定点为；
【方法二】：设，不妨设．
设，则．由，得，
故．
所以．
同理可得．
若，则直线过点．
若，则直线过点．
综上，直线过定点．
20．【答案】解：（1），取
得到，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
故函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值
（2）（ⅰ）
，故，
设，函数单调递增，
．
根据零点存在定理知．
（ⅱ），，
设，
当时，，故单调递增，，故函数单调递减，，
故函数在上无零点；1分
当时，，
设，
设，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，
，
故存在使，
当时，单调递增；
当时，单调递减．，故，故函数在上有1个零点．
综上，函数的零点个数为2．
21．解：（Ⅰ）当时，，
又，所以．
所以是完全平方数，数列具有“性质”．
（Ⅱ）数列1，2，3，4，5具有“变换性质”，
数列为32154．
数列不具有“变换性质”．
因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，
所以数列不具有“变换性质”．
（Ⅲ）设，
注意到，
令，
由于，所以，
又，
所以，
即．
因为当时，数列具有“变换性质”，
所以可以排列成，使得都是平方数；
另外，可以按相反顺序排列，即排列为，，
使得，
，
所以可以排成，满足都是平方数．第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
甲地
54%
39%
46%
54%
56%
67%
64%
66%
78%
72%
72%
59%
乙地
38%
34%
31%
42%
54%
66%
69%
65%
62%
70%
a%
b%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
A
A
A
B
B
C
C
D
0
1
2