北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期10月阶段检测数学试题

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1．已知集合， ，若，则的取值范围为（  B  ）．A.     B.     C.     D. 2.与圆相切于点的直线的斜率为（ A  ） （A） （B） （C）  （D） 3、已知，则（D）（A）     （B）    （C）    （D）4.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设，则满足的的取值范围是C（A）      （B）（C）      （D）5. 已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（   C ）A． B． C． D．6、已知函数（为自然对数的底数），当时，的图象大致是（ B  ）A．      B． C．       D． 7、在中，内角、、所对的边分别为、、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（   B ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件  8、设无穷等比数列的前项和为.若，则DA．为递减数列B．为递增数列C．数列有最大项D．数列有最小项 9．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A． B．1 C． D．【答案】C【分析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.10、斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．斐波那契数列满足，．给出下列四个结论：① 存在，使得，，成等差数列；② 存在，使得，，成等比数列；③ 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；④ 存在正整数，且，使得.其中所有正确的个数是（  C  ）         ①③④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：11、已知直线和直线平行，则 的值为 3     12．已知向量的夹角为，，，则______.【答案】 13．设等比数列的前项和为.若、、成等差数列，则数列的公比为       .（3或-1） （14）已知函数，若对任意都有（为常数），则常数的一个取值为______． （2k+1） （15）已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点,点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则       .给出下列四个结论：①； ②图2中，；③图2中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点；④图2中，是△及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于.（（15）   ② ③） 三、解答题：16. （本小题13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，证明：在上单调递增；解：（Ⅰ）．           ………2分所以，．         ………4分所以曲线在点处的切线方程为．   ………6分（Ⅱ）由题设，．                       ………7分所以．         ………9分当时，因为，所以．           ………11分所以在上单调递增．        ………13分  17．(本小题满分13分) 设．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）比较和的大小，并说明理由；（Ⅲ）已知在[0,a]上有极值，求实数a的取值范围。 解析：(I)……6分的周期为π……7分（Ⅱ）（Ⅲ） 18.（本小题14分）在△中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求及△的面积.条件 ①：； ；条件 ②：条件 ③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，        ，因为，所以所以.,.                                               （Ⅱ）选条件②：   因为，由正弦定理得，由余弦定理得，解得.所以．                            由解得.                                               19.（本小题15分）已知点在椭圆上，且的离心率为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设为椭圆的右焦点，点是上的任意一点，直线与直线相交于点，求的值．解：（Ⅰ）由题意得解得所以椭圆的方程为．                              ………5分（Ⅱ）因为点是椭圆上的任意一点，所以．　　　①当时，点或．当点为时，直线与直线相交于点．此时．当点为时，直线与直线相交于点．此时．②当时，直线的方程为．由得所以点．所以．所以．综上，．                                                ………15分 20.（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若函数在区间上无零点，求的取值范围.解：对求导得.因为，所以.由此可知，要证，只需证，即证.    令，     求导得. 令解得.    可知与的变化情况如下表：极大值所以.所以恒成立.即原不等式成立.（Ⅱ），因为，所以.所以当时，在上恒成立，符合题意.当时，.令，则在上恒成立.所以在上单调递减..①当即时，在上恒成立.所以在上单调递减.所以在上恒成立，符合题意.②当即时，因为且由（Ⅱ）知，所以.所以，所以存在使得，因此与的变化情况如下表：极大值所以.由（Ⅱ）中，可以得.令，得.所以在区间上存在零点，不合题意，舍去.综上，的取值范围是.（21）（本小题15分）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．（Ⅰ）判断集合是否具有性质？说明理由；（Ⅱ）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（Ⅲ）若集合具有性质，证明：．解：（Ⅰ）因为，同理．又，同理．所以集合具有性质．   ………4分（Ⅱ）当时，集合中的元素个数为．由题设． ………5分假设集合具有性质，则①当时，，矛盾．②当时，，不具有性质，矛盾．③当时，．因为和至多一个在中；和至多一个在中；和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．④当时，，不具有性质，矛盾．⑤当时，，矛盾．综上，不存在具有性质的集合．      ………9分（Ⅲ）记，则．若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．假设存在使得，不妨设，即．当时，有或成立．所以中分量为的个数至多有．…11分当时，不妨设．因为，所以的各分量有个，不妨设．由时，可知，，中至多有个，即的前个分量中，至多含有个．又，则的前个分量中，含有个，矛盾．       所以．         ………14分因为，所以．所以．      ………15分