2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精练）（基础版）（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了平面向量与其他知识的综合运用等内容，欢迎下载使用。

1． (2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
2． (2023·全国·高三专题练习）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3． (2023·全国·模拟预测）设向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·云南师大附中模拟预测（理））已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．或D．
6． (2023·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．48C．D．
7． (2023·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（ ）
A．B．
C．方向上的投影是D．
8． (2023·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9． (2023·河南安阳·模拟预测（文））已知向量，，则以下与垂直的向量坐标为（ ）
A．B．C．D．
10． (2023·广东惠州·高三阶段练习）已知向量，向量.则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
11． (2023·江西·赣州市第三中学）已知向量，.若，则可能是（ ）
A．B．
C．D．
12． (2023·安徽淮南·二模）已知公比为q的等比数列中，，平面向量，，则下列与共线的是（ ）
A．B．C．D．
13． (2023·全国·高三专题练习）若向量，，则（ ）
A．B．
C．D．
14． (2023·全国·高三专题练习）已知点，则满足的的坐标为______.
题组二 巧建坐标
1． (2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ）
\
A．B．C．D．
3． (2023·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
4． (2023·重庆·二模）已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（ ）
A．13B．C．5D．
5． (2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·湖南·一模）在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是( )
A．B．C．D．
7． (2023·福建厦门·高三阶段练习）平面四边形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB， ∠ADC=，则的最小值为（ ）
A．-B．-1C．-D．-
8． (2023·北京工业大学附属中学三模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（ ）
A．B．2C．D．2
9． (2023·宁夏·银川一中一模（文））在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（ ）
A．4B．
C．2D．
10． (2023·全国·高三专题练习）骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，的最小值为（ ）
A．B．12C．D．24
题组三 平面向量与其他知识的综合运用
1． (2023·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．既非等腰三角形又非直角三角形
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
3 (2023·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）已知,,其中，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
4． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知点为平面直角坐标系原点，角的终边分别与以为圆心的单位圆交于两点，若为第四象限角，且，则（ ）
A．
B．当时，
C．最大值为
D．当时，
5． (2023·江西赣州·高三期末（文））已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且，O是内一点，且满足为，，则___________.
6． (2023·广东茂名·高三阶段练习）设，，，，是一组平面向量，记，若向量，且，则_________．
7． (2023·上海·高三专题练习）A、B是直线上的两个动点，且，点（其中），则的最小值等于___________.
8． (2023·河南安阳·）已知向量，其中，若，则___________．
5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精练）（基础版）
题组一 坐标运算
1． (2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解析】,,即,解得,故选：C
2． (2023·全国·高三专题练习）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因为，所以.故选：D
3． (2023·全国·模拟预测）设向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】向量，，，解得 ，
故选：D
4． (2023·云南师大附中模拟预测（理））已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，又与的夹角为钝角，
当与共线时， ，
所以且与的不共线，即且，所以，故选：D．
5． (2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】C
【解析】由得，即，，，
，，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．故选：C．
6． (2023·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．48C．D．
【答案】C
【解析】由题意，得，又与反向共线，故，此时，
故.故选：C.
7． (2023·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（ ）
A．B．
C．方向上的投影是D．
【答案】C
【解析】由已知，，
所以，，
因为，所以不平行，A错，
因为，所以不垂直，B错，
因为方向上的投影为，C对，
因为，所以不垂直，D错，故选：C.
8． (2023·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.
故选：D.
9． (2023·河南安阳·模拟预测（文））已知向量，，则以下与垂直的向量坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
所以，，
，；故选：B
10． (2023·广东惠州·高三阶段练习）已知向量，向量.则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在上投影向量故选：A
11． (2023·江西·赣州市第三中学）已知向量，.若，则可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，
∴，又∵，
∴或，
对选项A，若，，
解得，此时不成立；
对选项B，若，，
解得，此时不成立；
对选项C，若，，
解得，此时成立；
对选项D，若，，且
，此时不成立.故选：C
12． (2023·安徽淮南·二模）已知公比为q的等比数列中，，平面向量，，则下列与共线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】等比数列公比为q，而，则，解得，
，，则，
对于A，，因，则A不是；
对于B，，因，则B不是；
对于C，，因，则C不是；
对于D，，因，则D是.
故选：D
13． (2023·全国·高三专题练习）若向量，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为向量，，
对于A：若，则，解得：，所以不存在，使得，故选项A不正确；
对于B：若，则，可得，所以存在，使得，故选项B正确；
对于C：令可得：，所以存在使得，故不成立，故选项C不正确，
对于D：，，若，则，此方程无解，所以不存在，使得，故选项D不正确；
故选：B.
14． (2023·全国·高三专题练习）已知点，则满足的的坐标为______.
【答案】.
【解析】设的坐标为，且，
因为，可得，
可得，所以的坐标为.故答案为：.
题组二 巧建坐标
1． (2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图：以为原点，建立如图的平面直角坐标系，
因为四边形是矩形，，，，
则，，，，则，，
故，
因为，所以，故选：B.
2． (2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ）
\
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设，，，
，
，，即的取值范围为.
故选：B.
3． (2023·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】
设，则，，
整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，
又在圆上，故的最大值是.
故选：B.
4． (2023·重庆·二模）已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（ ）
A．13B．C．5D．
【答案】A
【解析】建立如图所示坐标系，
则点，
设点，且，
则


故当 时，有最大值为13
故选：A.
5． (2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，，所以，，，设，，
则，，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是，
故选：C.
6． (2023·湖南·一模）在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，则A(－1，0)，C(1，0)，
设P(x，y)，则，，
∴，当且仅当P在原点时，取等号﹒
故选：C.
7． (2023·福建厦门·高三阶段练习）平面四边形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB， ∠ADC=，则的最小值为（ ）
A．-B．-1C．-D．-
【答案】D
【解析】由题设，可得如下示意图，
所以，
因为，即在以中点为圆心，为半径的劣弧上，
所以要使的最小，即最大即可，
由圆的性质知：当为劣弧的中点时最大，又AC=，
此时，故的最小值为-.
故选：D
8． (2023·北京工业大学附属中学三模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】A
【解析】如图，设，
当时，取得最小值，
过作，即取得最小值为，
因为与的夹角为，
所以，
所以.
故选：A.
9． (2023·宁夏·银川一中一模（文））在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（ ）
A．4B．
C．2D．
【答案】C
【解析】依题意在直角中，，，
以为原点建立如图所示平面直角坐标系，
，设是的中点，则.
，所以满足，
设（为参数，），
依题意，
即，
，
，，
所以当时，取得最大值为.
故选：C
10． (2023·全国·高三专题练习）骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，的最小值为（ ）
A．B．12C．D．24
【答案】B
【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形
所以点，，，
所以，
所以，
所以当， 的最小值为.
故选：B
题组三 平面向量与其他知识的综合运用
1． (2023·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．既非等腰三角形又非直角三角形
【答案】A
【解析】，，即，，
则的形状是直角三角形.故选：A.
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【答案】C
【解析】设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选：C.
3 (2023·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）已知,,其中，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若，则，则，
因为，所以，则或或，故A不正确；
对于B，若，则，则，
因为，所以，所以或，
所以或，故B正确；
对于C，，则
，故C正确；
对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.
故选：BCD.
4． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知点为平面直角坐标系原点，角的终边分别与以为圆心的单位圆交于两点，若为第四象限角，且，则（ ）
A．
B．当时，
C．最大值为
D．当时，
【答案】CD
【解析】易知，
，故A错误；
当时，，，故B错误；
由于，故过原点时，最大且最大值为，故C正确；
因为，且为第四象限角，所以.
，，即，
，故D正确.
故选：.
5． (2023·江西赣州·高三期末（文））已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且，O是内一点，且满足为，，则___________.
【答案】4
【解析】中，，
由余弦定理可得，
，
，
；
，，且，
为的重心，且，如图所示；
则，
解得．
故答案为：．
6． (2023·广东茂名·高三阶段练习）设，，，，是一组平面向量，记，若向量，且，则_________．
【答案】5或6
【解析】设数列满足，则数列的前n项和为
，
∴，又，，
∴，即，
解得，或，
故5或6.
7． (2023·上海·高三专题练习）A、B是直线上的两个动点，且，点（其中），则的最小值等于___________.
【答案】0
【解析】设，直线
则，消参可得C的轨迹方程为，
即C点在圆心为,半径为的圆上，
过圆心做交于, 如图，
由点到直线距离公式可得，
（其中T为线段AB的中点）
由图可知，C运动到点，且Q与T重合时，，
所以的最小值为，
故答案为：
8． (2023·河南安阳·）已知向量，其中，若，则___________．
【答案】
【解析】因为，所以，即，
因为，所以，因此，
所以，故答案为：