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    2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 5.3 平面向量的应用(精练)(基础版)(原卷版+解析版)

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    2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 5.3 平面向量的应用(精练)(基础版)(原卷版+解析版)

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    这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 5.3 平面向量的应用(精练)(基础版)(原卷版+解析版),共40页。试卷主要包含了三角形的面积等内容,欢迎下载使用。


    1. (2023·全国·高一课前预习)在平行四边形ABCD中,M、N分别在BC、CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则△AMN的形状是( )
    A.锐角三角形B.钝角三角形
    C.直角三角形D.等腰三角形
    2. (2023·新疆)在△ABC中,若,则△ABC的形状是( )
    A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
    3. (2023·浙江)在中,若,则的形状为( )
    A.等边三角形B.等腰三角形
    C.直角三角形D.等腰直角三角形
    4.(2022·黑龙江)如图,正方形ABCD的边长为a, E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF.
    5. (2023·湖南)如图所示,在等腰直角三角形ACB中,,,D为BC的中点,E是AB上的一点,且,求证:.
    6. (2023·浙江)如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.
    7.(2022·浙江)如图,在平行四边形ABCD中,,,,BD,AC相交于点O,M为BO中点.设向量,.
    (1)求的值;
    (2)用,表示和;
    (3)证明:.
    题组二 夹角问题
    1. (2023·云南)中,若,,点满足,直线与直线相交于点,则( )
    A.B.C.D.
    2. (2023·江西)已知菱形中,,,点为上一点,且,则的余弦值为( )
    A.B.C.D.
    3.(2022·江苏)(多选)已知向量,记向量的夹角为,则( )
    A.时为锐角B.时为钝角
    C.时为直角D.时为平角
    4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,与的夹角为,若向量与的夹角是锐角,则实数入的取值范围是:______.
    5.(2022·四川省平昌中学)已知,且的夹角为钝角,则实数的范围_______
    6. (2023·全国·期末)一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示,该窗有两个正方形,将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面,如图2所示.已知分米,分米,点在正方形的四条边上运动,当取得最大值时, 与夹角的余弦值为___________.
    7 (2023·福建·厦门一中模拟预测)已知,,均为单位向量,且,则与夹角的余弦值为______.
    8. (2023·安徽·池州市第一中学)如图,在中,已知,,,,,线段AM,BN相交于点P,则的余弦值为___________.
    9. (2023·湖南)已知平面四边形中,,,,,,则_______.
    10. (2023·湖北)已知=(1,2),=(1,),分别确定实数的取值范围,使得:
    (1)与的夹角为直角;
    (2)与的夹角为钝角;
    (3)与的夹角为锐角.
    11. (2023·全国·高三专题练习)已知△ABC的面积为S满足,且·=3,与的夹角为θ.求与夹角的取值范围 .
    题组三 线段长度
    1. (2023·全国·高三专题练习)在平行四边形中,点,满足,,且,设,则( )
    A.B.C.2D.
    2.(2022·湖南)(多选)已知分别是三棱锥的棱,的中点,.若异面直线与所成角的大小为60°,则线段的长为( )
    A.3B.6C.D.
    3. (2023·全国·信阳高中)已知四边形是矩形,,,,,,则( )
    A.B.C.D.
    4. (2023·山东济宁)已知两点分别是四边形的边的中点,且,,,,则线段的长为是___________
    5 (2023·全国·高三专题练习)如图,,分别是四边形的边,的中点,,,,,则线段的长是___________.
    6. (2023·上海市市西中学)空间四边形中,分别是边的中点,且,则____________.
    7. (2023·上海理工大学附属中学)如图,定圆的半径为3,A,B为圆上的两点,且的最小值为2,则______.
    题组四 几何中的最值
    1. (2023·河南南阳·高一期末)已知是的边上一点,且,,,则的最大值为( )
    A.B.C.D.
    2. (2023·湖南张家界)如图,在梯形ABCD中,,,,,,若M,N是线段BC上的动点,且,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    3. (2023·湖南)线段是圆的一条直径,直线上有一动点,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    4. (2023·广东广州·)平面四边形中,,则最小值( )
    A.B.C.D.
    5. (2023·浙江·镇海中学)已知平面向量、、满足,则与所成夹角的最大值是( )
    A.B.C.D.
    6. (2023·湖南·周南中学)已知边长为2的菱形ABCD中,点F为BD上一动点,点E满足,,则的最小值为( )
    A.0B.C.D.2
    7. (2023·浙江丽水)已知平面向量,若,,,则的最小值是( )
    A.B.C.D.
    8. (2023·河南)已知点是圆:上的动点,点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点,且,则的最大值为( )
    A.5B.6C.7D.8
    题组五 三角的四心
    1. (2023·湖北武汉)在三棱锥中.作平面,垂足为.
    ①若三条侧棱与底面所成的角相等,则是的( )心;
    ②若三个侧面与底面所成的二面角相等,则是的( )心:
    ③若三组对棱与与与中有两组互相垂直,则是的( )心
    以上三个空依次填( )
    A.外,垂,内B.内,外,垂C.垂,内,外D.外,内,垂
    2. (2023·全国·专题练习)若O在△ABC所在的平面内,a,b,c是△ABC的三边,满足以下条件,则O是△ABC的( )
    A.垂心B.重心C.内心D.外心
    3. (2023·重庆市长寿中学校)奔驰定理:已知是内的一点,若、、的面积分别记为、、,则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.如图,已知是的垂心,且,则( )
    A.B.C.D.
    4. (2023·重庆市实验中学)在平面上有及内一点O满足关系式:即称为经典的“奔驰定理”,若的三边为a,b,c,现有则O为的( )
    A.外心B.内心C.重心D.垂心
    5. (2023·浙江省杭州第二中学)在中,,为的重心,若,则外接圆的半径为( )
    A.B.C.D.
    6 (2023·四川达州)在中,为重心,,,则___________.
    题组六 三角形的面积
    1. (2023·河南·新密市第一高级中学)若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3--=,则△ABM与△ABC的面积之比为( )
    A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶5
    2. (2023·江西宜春)已知,点M是△ABC内一点且,则△MBC的面积为( )
    A.B.C.D.
    3 (2023·广东·东莞市东华高级中学)已知是内部(不含边界)一点,若,,则( )
    A.B.C.D.1
    4. (2023·安徽·合肥一中)点P是菱形内部一点,若,则的面积与的面积的比值是( )
    A.6B.8C.12D.15
    5. (2023·河北)设点O在的内部,且,则的面积与的面积之比是___________
    6. (2023·福建)点M在△ABC内部,满足,则____________.
    7. (2023·全国·专题练习)设、为 内的两点,且满足, ,则 __.
    8. (2023·全国·高三专题练习)已知四边形的面积为2022,E为边上一点,,,的重心分别为,,,那么的面积为___________.
    9.(2022·福建厦门)点为内一点,,则的面积之比是_____.
    10. (2023·江苏)设为内一点,且满足关系式,则__.
    5.3 平面向量的应用(精练)(基础版)
    题组一 证线段垂直
    1. (2023·全国·高一课前预习)在平行四边形ABCD中,M、N分别在BC、CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则△AMN的形状是( )
    A.锐角三角形B.钝角三角形
    C.直角三角形D.等腰三角形
    【答案】C
    【解析】∵
    .∴,∴是直角三角形.故选:C.
    2. (2023·新疆)在△ABC中,若,则△ABC的形状是( )
    A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
    【答案】B
    【解析】,,
    则,
    ,,则△ABC为直角三角形.故选:B.
    3. (2023·浙江)在中,若,则的形状为( )
    A.等边三角形B.等腰三角形
    C.直角三角形D.等腰直角三角形
    【答案】B
    【解析】取中点,连接,则,
    因为,所以,所以,
    所以,即,所以的是等腰三角形.故选:B.
    4.(2022·黑龙江)如图,正方形ABCD的边长为a, E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF.
    【答案】证明见解析
    【解析】∵·=·=2-2,而,∴·=0,∴⊥,即DE⊥AF.
    5. (2023·湖南)如图所示,在等腰直角三角形ACB中,,,D为BC的中点,E是AB上的一点,且,求证:.
    【答案】证明见解析
    【解析】
    因为,所以,即,故.
    6. (2023·浙江)如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.
    【答案】证明见解析
    【解析】设=,=,=,=,=,
    则=+,=+,
    所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2,
    由条件知:2=2﹣2+2,
    所以·=·,即·(-)=0,
    即,
    所以AD⊥BC.
    7.(2022·浙江)如图,在平行四边形ABCD中,,,,BD,AC相交于点O,M为BO中点.设向量,.
    (1)求的值;
    (2)用,表示和;
    (3)证明:.
    【答案】(1);(2),;(3)证明见解析
    【解析】(1)
    (2)
    又为中点
    (3)又
    所以
    题组二 夹角问题
    1. (2023·云南)中,若,,点满足,直线与直线相交于点,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】如图所示,以点为原点,为轴构建直角坐标系,
    因为,,所以,,,
    设,
    因为、、三点共线,所以,,,
    因为,、、三点共线,所以,
    联立,解得,,,
    因为,,所以,,
    因为,
    所以,
    故选:A.
    2. (2023·江西)已知菱形中,,,点为上一点,且,则的余弦值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】设与交于点,以为坐标原点,,所在的直线分别为,轴建立平面直角坐标系如图所示,则点,,,
    ∴,,则,
    故选:D.
    3.(2022·江苏)(多选)已知向量,记向量的夹角为,则( )
    A.时为锐角B.时为钝角
    C.时为直角D.时为平角
    【答案】ACD
    【解析】A. 当时,,所以为锐角,故正确;
    B. 当时,,所以为钝角或平角,故错误;
    C. 当时,,所以为直角,故正确;
    D. 时,,所以为平角,故正确.故选:ACD
    4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,与的夹角为,若向量与的夹角是锐角,则实数入的取值范围是:______.
    【答案】
    【解析】与夹角为锐角时,;解得;
    当时,与分别为与同向,夹角为零,不合题意,舍去;
    ∴实数的取值范围为.故答案为:.
    5.(2022·四川省平昌中学)已知,且的夹角为钝角,则实数的范围_______
    【答案】
    【解析】由于与的夹角为钝角,则且与不共线,
    ,,,解得且,
    因此,实数的取值范围是且,故答案为:且.
    6. (2023·全国·期末)一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示,该窗有两个正方形,将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面,如图2所示.已知分米,分米,点在正方形的四条边上运动,当取得最大值时, 与夹角的余弦值为___________.
    【答案】
    【解析】以为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:
    则,, ,,
    设,, ,
    当时,, ,当且仅当时等号成立,
    当时,, ,当且仅当时等号成立,
    当时,, ,当且仅当时等号成立,
    当时,, ,当且仅当时等号成立,
    由以上可知,当时,取得最大值,此时,,
    设与的夹角为,则.故答案为:
    7 (2023·福建·厦门一中模拟预测)已知,,均为单位向量,且,则与夹角的余弦值为______.
    【答案】
    【解析】由题意得: ,即
    ,,均为单位向量
    ,即故答案为:
    8. (2023·安徽·池州市第一中学)如图,在中,已知,,,,,线段AM,BN相交于点P,则的余弦值为___________.
    【答案】
    【解析】由已知,,,,得,
    又由得,
    因为,
    所以
    所以
    故答案为:
    9. (2023·湖南)已知平面四边形中,,,,,,则_______.
    【答案】
    【解析】如图以为原点建立直角坐标系,
    则,设,
    ∴,由知,
    ∴,解得,即,
    ∴,
    ∴.
    故答案为:.
    10. (2023·湖北)已知=(1,2),=(1,),分别确定实数的取值范围,使得:
    (1)与的夹角为直角;
    (2)与的夹角为钝角;
    (3)与的夹角为锐角.
    【答案】(1)=-;(2);(3)∪(2,+∞).
    【解析】设与的夹角为,则=(1,2)·(1,)=1+2.
    (1)因为与的夹角为直角,所以,
    所以,所以1+2=0,所以=-.
    (2)因为与的夹角为钝角,所以且,所以且与不反向.
    由得1+2<0,故<-,由与共线得=2,故与不可能反向.
    所以的取值范围为.
    (3)因为与的夹角为锐角,所以,且,所以>0且与不同向.
    由>0,得>-,由与同向得=2.所以的取值范围为∪(2,+∞).
    11. (2023·全国·高三专题练习)已知△ABC的面积为S满足,且·=3,与的夹角为θ.求与夹角的取值范围 .
    【答案】.
    【解析】,的夹角为锐角,设的夹角为,则:,

    又;,,,,
    ,与夹角的取值范围为.
    题组三 线段长度
    1. (2023·全国·高三专题练习)在平行四边形中,点,满足,,且,设,则( )
    A.B.C.2D.
    【答案】B
    【解析】由得是的中点,
    又由得,所以.
    故选:B.
    2.(2022·湖南)(多选)已知分别是三棱锥的棱,的中点,.若异面直线与所成角的大小为60°,则线段的长为( )
    A.3B.6C.D.
    【答案】AD
    【解析】如图,取的中点,连接,,.
    设与的交角为.因为异面直线与所成的角为60°,所以或,
    所以
    将,,分别代入上式,得或.
    故选:AD.
    3. (2023·全国·信阳高中)已知四边形是矩形,,,,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】解法一 如图,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,设,则,,,.
    ∴,,,.
    ∴,.
    ∴,.
    ∵,
    ∴,即.
    又,
    所以,.
    ∴.
    ∴.
    ∵,∴.
    故选:C.
    解法二:∵,

    ∴.
    ∵,∴,得.∴,
    .
    ∴.
    故选:C.
    4. (2023·山东济宁)已知两点分别是四边形的边的中点,且,,,,则线段的长为是___________
    【答案】
    【解析】作,交于点,则,
    ,则;
    ,,
    又,,,

    ,故答案为:.
    5 (2023·全国·高三专题练习)如图,,分别是四边形的边,的中点,,,,,则线段的长是___________.
    【答案】
    【解析】依题意,,,因,分别是四边形的边,的中点,
    则,
    如图,过点A作AG//CD交BC于点G,则,而,则有,
    于是得,则
    .所以的长为.故答案为:.
    6. (2023·上海市市西中学)空间四边形中,分别是边的中点,且,则____________.
    【答案】
    【解析】点,,,分别为四边形的边,,,的中点,
    、、、分别为、、、的中位线.


    下面证明:平行四边形对角线的平方和等于四个边的平方和.
    所以故答案为:20
    7. (2023·上海理工大学附属中学)如图,定圆的半径为3,A,B为圆上的两点,且的最小值为2,则______.
    【答案】
    【解析】当t=0时,不满足题意;
    当t>0时,设t=,延长EA到F,使AF=AE,
    则t=,
    则,
    取AB中点为D,则CD⊥AB,则在Rt△CDF中,,此时无最小值不满足题意;
    当t<0时,设t=,
    则,
    取AB中点为D,则CD⊥AB,
    由图可知,,
    ∵的最小值为2,
    ∴=2,∴.
    故答案为:.
    题组四 几何中的最值
    1. (2023·河南南阳·高一期末)已知是的边上一点,且,,,则的最大值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为,则为锐角,
    由,可得,
    因为,则,则,
    所以,

    则,可得.
    当且仅当时,等号成立,故的最大值为.
    故选:A.
    2. (2023·湖南张家界)如图,在梯形ABCD中,,,,,,若M,N是线段BC上的动点,且,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】如图,以点为原点,所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
    ,,,,
    ,,,

    设,则,其中,
    ,,

    时,取得最小值.
    故选:C.
    3. (2023·湖南)线段是圆的一条直径,直线上有一动点,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】因为圆心到直线的距离,故故选:C
    4. (2023·广东广州·)平面四边形中,,则最小值( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为,所以,所以,则,
    又,所以点P在以BC为直径的圆的劣弧AC上,
    分别以AB、AC为x,y轴正方向建系,取BC中点E,如图所示
    所以,则圆E的方程为,
    设点,其中,则,
    所以,即最小值为-2,
    故选:A
    5. (2023·浙江·镇海中学)已知平面向量、、满足,则与所成夹角的最大值是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】设与夹角为,与所成夹角为,

    所以,,①
    ,②
    又,③
    ②与③联立可得,④
    ①④联立可得,
    当且仅当时,取等号,,,则,
    故与所成夹角的最大值是,
    6. (2023·湖南·周南中学)已知边长为2的菱形ABCD中,点F为BD上一动点,点E满足,,则的最小值为( )
    A.0B.C.D.2
    【答案】C
    【解析】由题意知:,设,

    ,∴,
    以与交点为原点,为轴,为轴建立如下图所示的平面直角坐标系:
    ,,,设,且
    则,,
    当时,
    故选:C.
    7. (2023·浙江丽水)已知平面向量,若,,,则的最小值是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】∵,而,
    ∴,又,即,
    又,,
    ∴,
    若,则,
    ∴在以为圆心,1为半径的圆上,若,则,
    ∴问题转化为求在圆上的哪一点时,使最小,又,
    ∴当且仅当三点共线且时,最小为.
    故选:B.
    8. (2023·河南)已知点是圆:上的动点,点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点,且,则的最大值为( )
    A.5B.6C.7D.8
    【答案】C
    【解析】由,得,即,为外接圆的直径,如图所示;
    设坐标原点为,则,
    是圆上的动点,,,
    当与共线时,取得最大值7;
    故选:C.
    题组五 三角的四心
    1. (2023·湖北武汉)在三棱锥中.作平面,垂足为.
    ①若三条侧棱与底面所成的角相等,则是的( )心;
    ②若三个侧面与底面所成的二面角相等,则是的( )心:
    ③若三组对棱与与与中有两组互相垂直,则是的( )心
    以上三个空依次填( )
    A.外,垂,内B.内,外,垂C.垂,内,外D.外,内,垂
    【答案】D
    【解析】对于①,连接、、,如下图所示:
    由平面,可得为与平面所成角,
    为与平面所成角,为与平面所成角,
    且,
    因为,,,
    所以,即为的外心;
    对于②,过点在平面内作,垂足为,连接,
    过点在平面内作,垂足为,连接,
    过点在平面内作,垂足为,连接,如下图所示.
    平面,平面,,
    ,,平面,平面,故,
    可得为侧面与底面所成角的平面角,
    同理可知,为侧面与底面所成角的平面角,
    为侧面与底面所成角的平面角,且,
    因为,,,所以,,
    即为的内心;
    对于③,连接、、,如①中的图,
    若,,因为平面,平面,,
    因为,所以,平面,平面,,
    同理可得,
    即为,,即有,,
    所以,即有,
    则,即为的垂心.
    故选:D
    2. (2023·全国·专题练习)若O在△ABC所在的平面内,a,b,c是△ABC的三边,满足以下条件,则O是△ABC的( )
    A.垂心B.重心C.内心D.外心
    【答案】C
    【解析】且,,
    化简得,设,又与分别为和方向上的单位向量,平分,又共线,故平分,同理可得平分,平分,故O是△ABC的内心.故选:C.
    3. (2023·重庆市长寿中学校)奔驰定理:已知是内的一点,若、、的面积分别记为、、,则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.如图,已知是的垂心,且,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】∵是的垂心,延长交与点,


    同理可得,∴:,
    又,
    ∴,
    又,
    ∴,
    不妨设,其中,
    ∵,
    ∴,解得或,
    当时,此时,则都是钝角,则,矛盾.
    故,则,∴是锐角,,
    于是,解得.
    故选:A.
    4. (2023·重庆市实验中学)在平面上有及内一点O满足关系式:即称为经典的“奔驰定理”,若的三边为a,b,c,现有则O为的( )
    A.外心B.内心C.重心D.垂心
    【答案】B
    【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为,,,,因为,则,即,又因为,所以,所以点P是△ABC的内心.
    故选:B
    5. (2023·浙江省杭州第二中学)在中,,为的重心,若,则外接圆的半径为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由,可得,则有
    又在中,,为的重心,则为等边三角形.

    解之得,则外接圆的半径为故选:C
    6 (2023·四川达州)在中,为重心,,,则___________.
    【答案】
    【解析】设中点为,
    为的重心且,,



    .
    故答案为:.
    题组六 三角形的面积
    1. (2023·河南·新密市第一高级中学)若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3--=,则△ABM与△ABC的面积之比为( )
    A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶5
    【答案】B
    【解析】如图,D为BC边的中点,

    因为--=
    所以,
    所以
    所以.
    故选:B
    2. (2023·江西宜春)已知,点M是△ABC内一点且,则△MBC的面积为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】
    取的中点,因为,所以,故,所以,因为,因此,
    故选:C.
    3 (2023·广东·东莞市东华高级中学)已知是内部(不含边界)一点,若,,则( )
    A.B.C.D.1
    【答案】A
    【解析】如图,连接AD并延长交BC与点M,
    设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为,
    因为,
    所以设,
    因为AM与向量AD共线,
    设,,
    所以,
    即,
    ,
    所以
    故选:A
    4. (2023·安徽·合肥一中)点P是菱形内部一点,若,则的面积与的面积的比值是( )
    A.6B.8C.12D.15
    【答案】A
    【解析】如图,设中点为,中点为,
    因为,即,则,
    即,
    则,
    所以的面积与的面积的比值是6.
    故选:A.
    5. (2023·河北)设点O在的内部,且,则的面积与的面积之比是___________
    【答案】5
    【解析】由变形可得:,整理可得:,
    根据奔驰定理可得:,则.故答案为:5.
    6. (2023·福建)点M在△ABC内部,满足,则____________.
    【答案】
    【解析】如图,分别延长至至至,使,,连接.
    由,得,
    ∴点是的重心,
    延长EM交DF于G,则MG=EG,
    过M作MH⊥DF于H,过E作EI⊥DF与I,则MH=EI,
    故,同理可证,
    ∴,
    设,
    设,


    同理,
    ∴:.
    故答案为:3:4.
    7. (2023·全国·专题练习)设、为 内的两点,且满足, ,则 __.
    【答案】
    【解析】由题意作下图:
    取的中点,连接,则
    ; ,
    故且 ,
    延长AP与BC交于F点,则 ,∴ ,
    ,∴F点是EC的中点,

    故答案为:.
    8. (2023·全国·高三专题练习)已知四边形的面积为2022,E为边上一点,,,的重心分别为,,,那么的面积为___________.
    【答案】
    【解析】以点A为原点,射线AD为x轴非负半轴建立平面直角坐标系,如图,
    设,因,,的重心分别为,,,
    则,,,,
    面积
    ,同理可得四边形的面积:

    于是得,
    所以的面积为.
    故答案为:
    9.(2022·福建厦门)点为内一点,,则的面积之比是_____.
    【答案】
    【解析】解:因为,所以,
    设为中点,为中点,为三角形的中位线,则,
    因为,
    可得,所以三点共线,且,
    则,,
    分别设,
    由图可知,,,
    则,所以,而,所以,
    所以,,
    所以,
    即的面积之比等于.
    故答案为:.
    10. (2023·江苏)设为内一点,且满足关系式,则__.
    【答案】
    【解析】∵,
    ∴,
    ∴,分别取的中点为,
    ∴,
    ∴;

    .

    故答案为:.

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