中考数学几何模型专项复习 模型39 圆——折弦定理模型-（原卷版+解析）

这是一份中考数学几何模型专项复习 模型39 圆——折弦定理模型-（原卷版+解析），共20页。


如图，AB BC，像是一条折断的弦

◎结论：AB、BC是⊙O的两条弦，M为ABC的中点，MD⊥BC，垂足为D，
则AB＋BD＝CD
【证明】 如图
在DC上取点E，使DE＝DB,连接BM,ME,,AM,CM,AC
∵BD＝DE,MD⊥BE,
∴MB＝ME
∵ M为ABC的中点
∴MA＝MC
∵∠MBC＝∠MAC
∴∠MEB＝∠MCA，
∵∠BME＝180°－∠MBE－∠MEB，
∠AMC＝180°－∠MAC－∠MCA，
∴∠BME＝∠AMC，
∴∠BMA＝∠EMC,
易证△BMA≌△EMC,∴AB＝CE,∴AB＋BD＝CD
1．(2023年四川省成都市金堂县中考数学二诊试卷）在⊙O中＝，顺次连接A、B、C．
(1)如图1，若点M是的中点，且MN∥AC交BC延长线于点N，求证：MN为⊙O的切线；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接MC，过点A作AP⊥BM于点P，若BP＝a，MP＝b，CM＝c，则a、b、c有何数量关系？
(3)如图3，当∠BAC＝60°时，E是BC延长线上一点，D是线段AB上一点，且BD＝CE，若BE＝5，△AEF的周长为9，请求出S△AEF的值？
1．（北京市西城区三帆中学2021-2022学年九年级下学期月考数学试卷（4月份））已知：△ABC，点D是△ABC的外接圆上一点（不与A，B，C重合），过A作射线AE，AF，且AEBD，AFCD（D，E分别在AB两侧，D，F分别在AC两侧），在射线AE上取一点M使得AM＝AB，在射线AF上取一点N使得AN＝AC，连接MN，P是线段MN的中点．
(1)当∠A＝90°时，在图1中补全图形并直接写出∠MAN的度数；
(2)在图2中，当D在△ABC的外接圆上移动过程中，探索∠BAC和∠MAN的关系并直接写出你的探索结果____；
(3)图3中请你探索AP与BC的数量关系，并证明你的结论；
(4)小逸同学在探索题目过程中，不小心把一些画图痕迹给破坏掉了，只留下如图4所示的四边形BCNM，且已知BM＝6，MP＝，CN＝12，∠BMN＝150°，∠MNC＝90°，小逸同学只记得A、D在BC两侧，你能帮他找出点A的位置并求出AP的长度吗？
2．（广东省深圳市2018年中考数学试题）如图，△ABC内接于⊙O，，点为上的动点，且.
(1)求的长度；
(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：.
1．(2023年河南省社旗县九年级数学一模考试试题）请阅读下面材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AI-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是弧ABC的中点，
…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为弧AC上一点，，于点E，，连接AD，则△DAB的周长是___________．
圆
模型（三十九）——折弦定理模型
如图，AB BC，像是一条折断的弦

◎结论：AB、BC是⊙O的两条弦，M为ABC的中点，MD⊥BC，垂足为D，
则AB＋BD＝CD
【证明】 如图
在DC上取点E，使DE＝DB,连接BM,ME,,AM,CM,AC
∵BD＝DE,MD⊥BE,
∴MB＝ME
∵ M为ABC的中点
∴MA＝MC
∵∠MBC＝∠MAC
∴∠MEB＝∠MCA，
∵∠BME＝180°－∠MBE－∠MEB，
∠AMC＝180°－∠MAC－∠MCA，
∴∠BME＝∠AMC，
∴∠BMA＝∠EMC,
易证△BMA≌△EMC,∴AB＝CE,∴AB＋BD＝CD
1．(2023年四川省成都市金堂县中考数学二诊试卷）在⊙O中＝，顺次连接A、B、C．
(1)如图1，若点M是的中点，且MN∥AC交BC延长线于点N，求证：MN为⊙O的切线；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接MC，过点A作AP⊥BM于点P，若BP＝a，MP＝b，CM＝c，则a、b、c有何数量关系？
(3)如图3，当∠BAC＝60°时，E是BC延长线上一点，D是线段AB上一点，且BD＝CE，若BE＝5，△AEF的周长为9，请求出S△AEF的值？
答案:(1)见解析
(2)a＝b+c
(3)
分析（1）如图1，连接OM，由M是的中点，可得OM⊥AC，进而可得OM⊥MN，即可证得结论；
（2）如图2，连接OM交AC于K，连结AM，运用勾股定理得出AC=AB=，再由△ABP∽△MCK，即可得出结论；
（3）过点B作BH∥AC，过点D作DH∥BC，BH与DH交于点H，连接CH，先证明△ACE≌△CBH（SAS），再证明四边形CEDH是平行四边形，过点E作ET⊥AB于点T，交AC于点L，连接DL，可证明四边形BCLH是平行四边形，设CE=x，则CL=x，BC=AC=5-x，AD=DL=AL=5-2x，用含x的代数式表示AE2，延长BH，ED交于点R，则∠RHD=∠FCE，∠R=∠CFE，DH=CE，进而可得△HDR≌△CEF（AAS），根据CH∥ED，可得出AE的长，再求出x，即可求得答案．
(1)
如图1，连接OM，
∵M是的中点，
∴OM⊥AC，
∵MN∥AC，
∴OM⊥MN，
∵OM为⊙O的半径，
∴MN为⊙O的切线；
(2)
如图2，连接OM交AC于K，连结AM，
∵M是的中点，
∴＝，
∴AM＝CM＝c，
∵AP⊥BM，
∴∠APM＝∠APB＝90°，
∴AP2＝AM2﹣PM2＝c2﹣b2，
∴AB2＝AP2+BP2＝c2﹣b2+a2，
∴AC＝AB＝，
∵M是的中点，
∴OM⊥AC，
∴AK＝CK＝AC＝，
∵∠APB＝∠CKM＝90°，∠ABP＝∠MCK，
∴△ABP∽△MCK，
∴＝，
∴BP•CM＝CK•AB，
∴ac＝•，
∴2ac＝c2﹣b2+a2，
∴（a﹣c）2﹣b2＝0，
∴（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c＞0，
∴a﹣b﹣c＝0，
∴a＝b+c；
(3)
如图3，过点B作BH∥AC，过点D作DH∥BC，BH与DH交于点H，连接CH，
则∠BDH＝∠ABC＝60°，∠DBH＝∠ACB＝60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴BH＝BD，∠DBH＝60°，
∴BH＝CE，∠CBH＝∠ABC+∠DBH＝60°+60°＝120°，
∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°＝∠CBH，AC＝BC，
∴△ACE≌△CBH（SAS），
∴∠CAE＝∠BCH，AE＝CH，
∵DH∥BC，DH＝CE，
∴四边形CEDH是平行四边形，
∴CE∥ED，CH＝ED，
∴∠BCH＝∠BED，CH＝AE，
∴∠BED＝∠CAE，AE＝ED，
过点E作ET⊥AB于点T，交AC于点L，连接DL，
则AT＝TD＝AD，AL＝DL，
∵∠BAC＝60°，
∴△ADL是等边三角形，
∴∠ALD＝60°＝∠ACB，
∴DL∥BC，即HD与DL在同一直线上，
∴四边形BCLH是平行四边形，
∴CL＝BH＝BD＝CE，LH＝BC，
设CE＝x，则CL＝x，BC＝AC＝5﹣x，AD＝DL＝AL＝AC﹣CL＝5﹣2x，AT＝，
∵DF∥CH，
∴＝，即＝，
∴LF＝，
∴AF＝AL+LF＝5﹣2x+＝，
在Rt△BET中，ET＝BE•sin60°＝，
∵AE2＝AT2+ET2，
∴AE2＝（）2+（）2＝x2﹣5x+25，
延长BH，ED交于点R，则∠RHD＝∠FCE，∠R＝∠CFE，DH＝CE，
∴△HDR≌△CEF（AAS），
∴DR＝EF，
∴ER＝ED+DR＝AE+EF＝9﹣AF＝9﹣＝，
∵CH∥ED，
∴＝，
∴CH＝•ER＝×＝，
∴AE＝，
∴x2﹣5x+25＝（）2，
解得：x1＝5（舍去），x2＝，
∴AD＝5﹣2×＝，AF＝＝10﹣＝2，
作DM⊥AL于点M，则DM＝AD•sin60°＝×＝，
∴S△AEF＝S△ADE﹣S△ADF＝AD•ET﹣AF•DM＝××﹣×2×＝．
【点睛】本题是有关圆的综合题，考查了圆的性质，切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形判定和性质，特殊角三角函数值等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质及相似三角形的判定和性质等相关知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
1．（北京市西城区三帆中学2021-2022学年九年级下学期月考数学试卷（4月份））已知：△ABC，点D是△ABC的外接圆上一点（不与A，B，C重合），过A作射线AE，AF，且AEBD，AFCD（D，E分别在AB两侧，D，F分别在AC两侧），在射线AE上取一点M使得AM＝AB，在射线AF上取一点N使得AN＝AC，连接MN，P是线段MN的中点．
(1)当∠A＝90°时，在图1中补全图形并直接写出∠MAN的度数；
(2)在图2中，当D在△ABC的外接圆上移动过程中，探索∠BAC和∠MAN的关系并直接写出你的探索结果____；
(3)图3中请你探索AP与BC的数量关系，并证明你的结论；
(4)小逸同学在探索题目过程中，不小心把一些画图痕迹给破坏掉了，只留下如图4所示的四边形BCNM，且已知BM＝6，MP＝，CN＝12，∠BMN＝150°，∠MNC＝90°，小逸同学只记得A、D在BC两侧，你能帮他找出点A的位置并求出AP的长度吗？
答案:(1)图见解析，∠MAN＝90°
(2)∠BAC＝∠MAN或∠MAN+∠BAC＝180°
(3)AP＝BC，证明见解析
(4)
分析（1）根据已知补全图形即可，根据平行线性质和同圆中，同弧所对的圆周角相等，即可得∠CAF＝∠BAE，从而可得∠MAN＝90°；
（2）分两种情况：当D在弦BC上方的圆上时，画出图形可得∠MAN＝∠BAC；当D在弦BC下方的圆上时，可得∠MAN+∠BAC＝180°；
（3）延长MA到K，使AK＝AM，连接NK，AP，由三角形中位线定理可得AP＝NK，证明△BAC≌△KAN（SAS），有BC＝NK，即得AP＝BC；
（4）根据AM＝AB，AN＝AC可知BM的垂直平分线、CN的垂直平分线的交点即为A，过N作NR⊥BM交BM延长线于R，过C作CS⊥NR于S，过C作CT⊥BM于T，由∠BMN＝150°，得∠NMR＝30°，由含30°的直角三角形三边关系可求出CT＝SR＝7，，从而可得BC＝＝2，即可得AP＝．
（1）
（1）补全图形如下：
∵，
∴∠CAF＝∠ACD，
∵，
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠CAF＝∠ABD，
∵，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴∠CAF＝∠BAE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAF+∠CAE＝90°，即∠MAN＝90°；
（2）
（2）∠BAC＝∠MAN或∠MAN+∠BAC＝180°，理由如下：
当D在弦BC上方的圆上时，如图：
∵，
∴∠CAF＝∠ACD，
∵，
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠CAF＝∠ABD，
∵，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，
即∠MAN＝∠BAC；
当D在弦BC下方的圆上时，如图：
∵，
∴∠CAF＝∠ACD，
∵，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠CAF+∠BAE＝180°，
∴∠MAN+∠BAC＝180°；
故答案为：∠MAN＝∠BAC或∠MAN+∠BAC＝180°；
（3）
（3）AP＝BC，证明如下：
延长MA到K，使AK＝AM，连接NK，AP，如图：
∵P为MN中点，AM＝AK，
∴AP是△MKN的中位线，
∴AP＝NK，
∵AB＝AM，
∴AB＝AK，
由（2）知∠BAC+∠MAN＝180°，
而∠NAK+∠MAN＝180°，
∴∠BAC＝∠NAK，
∵AC＝AN，
∴△BAC≌△KAN（SAS），
∴BC＝NK，
∴AP＝BC；
（4）
（4）作BM的垂直平分线、CN的垂直平分线，交点即为A，A的位置如图：
过N作NR⊥BM交BM延长线于R，过C作CS⊥NR于S，过C作CT⊥BM于T，如图：
∵∠BMN＝150°，
∴∠NMR＝30°，
∵MP＝PN＝，
∴MN＝2，
在Rt△MNR中，
NR＝MN＝，RM＝RM＝3，∠MNR＝90°﹣∠NMR＝60°，
∴BR＝BM+RM＝6+3＝9，
∵∠MNC＝90°，
∴∠SNC＝180°﹣∠MNC﹣∠MNR＝30°，
在Rt△CNS中，
CS＝CN＝6，NS＝CS＝6，
∴SR＝NR+NS＝7，
∵∠S＝∠R＝∠CTR＝90°，
∴四边形CSRT是矩形，
∴RT＝CS＝6，CT＝SR＝7，
∴BT＝BR﹣RT＝9﹣6＝3，
在Rt△BCT中，
BC＝＝＝2，
由（3）知AP＝BC，
∴AP＝．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及平行线的性质，三角形中位线定理及应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形三边关系，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题．
2．（广东省深圳市2018年中考数学试题）如图，△ABC内接于⊙O，，点为上的动点，且.
(1)求的长度；
(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：.
答案:(1) ；(2) ；（3）证明见解析.
分析（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；
（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=，继而即可求得AD•AE的值；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.
【详解】
（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF=BC=1，
在RtΔAFB中，BF=1，
∴AB=；
（2）连接DG，
∵AF⊥BC，BF=CF，
∴AG为⊙O的直径，
∴∠ADG=∠AFE=90°，
又∵∠DAG=∠FAE，
∴△DAG∽△FAE，
∴AD：AF=AG：AE，
∴AD•AE=AF•AG，
连接BG，则∠ABG=90°，
∵BF⊥AG，
∴△BFG∽△AFB
∴BF2=AF•FG，
∵AF==3，
∴FG=，
∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×=10；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，
∴∠ADC=∠ADN，
∵AD=AD，CD=ND，
∴△ADC≌△ADN，
∴AC=AN，
∵AB=AC，
∴AB=AN，
∵AH⊥BN，
∴BH=HN=HD+DN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
1．(2023年河南省社旗县九年级数学一模考试试题）请阅读下面材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AI-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是弧ABC的中点，
…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为弧AC上一点，，于点E，，连接AD，则△DAB的周长是___________．
答案:(1)见解析
(2)2＋4
分析（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性质得出BD＝GD，即可得出答案；
（2）首先证明△CBF≌△CAD（SAS），进而得出CF＝CD，AD+DE＝BE，进而求出BE和AB的长即可得出答案．
(1)
证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC．
在△MBA和△MGC中
∵
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG，
∴△MBG是等腰三角形
又∵MD⊥BC，
∴BD＝GD，
∴DC＝GC+GD＝AB+BD；
(2)
）解：如图4，截取BF＝AD，连接CF，CD，
∵△ABC是等边三角形
∴ BC＝AC，∠CBF＝∠CAD，∠ABC＝60°，
在△CBF和△CAD中
∵
∴△CBF≌△CAD（SAS），
∴CF＝CD，∠BCF＝∠ACD＝∠ABD＝15°
∴△CDF是等腰三角形，
∵CE⊥BD，
∴FE＝DE，∠BCE＝90°
则AD+DE＝BE，
∵∠ABD＝15°
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABD＝45°
∴∠BCE＝90°－∠CBE＝45°
∴△BCE是等腰直角三角形
∴BE＝CE＝2，BC＝
∴AD+DE＝BE＝2，AB＝BC＝2
∴△DAB的周长＝AB＋AD+DE＋BE＝2＋4
故答案为：2＋4
【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形解决问题．