2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型22 勾股定理——矩形翻折模型-原卷版+解析

这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型22 勾股定理——矩形翻折模型-原卷版+解析，共18页。试卷主要包含了折在外，折在里等内容，欢迎下载使用。

一、折在外
◎结论1：如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为多少？
结论：，
【证明】矩形，沿折叠，，，
∴， ， ， ，
∴ ，
∴，，
设，则，在中，
，即，
∴，即，
∴，，
∴．
【结论2】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D’处，交AB于点F，则AF的长为多少？
结论：AF＝FC
【证明】由折叠可知AD＝＝4，∠DCA＝
∵四边形ABCD是矩形，
∴CDAB，
∴∠DCA＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴AF＝FC，
设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得x＝5，
即AF＝5，
二、折在里
【结论3】如图，矩形ABCD，将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上，则CE=AC－AD，CF=CD－EF

【证明】∵△AFD沿AF折叠得△AFE，∴△AFD≌△AFE
∴AE＝AD，EF＝DF，
∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF
1． (2023·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）如图，长方形 AOBC 中，点 A 的坐标为（0，8)，点 D 的纵坐标为 3，若将矩形沿直线 AD 折叠，则顶点 C 恰好落在边 OB 上的 E 处，那么图中阴影部分的面积为( )
A．30B．32C．34D．36
2． (2023·广西桂林·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若，则线段CH的长是（ ）
A．3B．C．1D．2
3． (2023·云南保山·八年级期末）如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．4B．5C．D．3.5
4． (2023·重庆永川·八年级期末）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=16，AD=20，则EC的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
1． (2023·河南商丘·八年级期末）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC边的中点，点P是AB边上的动点（不与点A、B重合），沿直线PE将△PBE折叠后点B落在了点B'处，连接B'D、DE，当∠DB'E＝90°时，PB的长等于（ ）
A．B．2C．1D．
2． (2023·浙江杭州·八年级期末）如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·福建·厦门市第五中学九年级阶段练习）如图，一张矩形纸片ABCD，其中，，先沿对角线BD折叠，点C落在点的位置，交AD于点G，则的长______．
1． (2023·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．
2． (2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：．
勾股定理
模型（二十二）——矩形翻折模型

一、折在外
◎结论1：如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为多少？
结论：，
【证明】矩形，沿折叠，，，
∴， ， ， ，
∴ ，
∴，，
设，则，在中，
，即，
∴，即，
∴，，
∴．
【结论2】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D’处，交AB于点F，则AF的长为多少？
结论：AF＝FC
【证明】由折叠可知AD＝＝4，∠DCA＝
∵四边形ABCD是矩形，
∴CDAB，
∴∠DCA＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴AF＝FC，
设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得x＝5，
即AF＝5，
二、折在里
【结论3】如图，矩形ABCD，将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上，则CE=AC－AD，CF=CD－EF

【证明】∵△AFD沿AF折叠得△AFE，∴△AFD≌△AFE
∴AE＝AD，EF＝DF，
∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF
1． (2023·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）如图，长方形 AOBC 中，点 A 的坐标为（0，8)，点 D 的纵坐标为 3，若将矩形沿直线 AD 折叠，则顶点 C 恰好落在边 OB 上的 E 处，那么图中阴影部分的面积为( )
A．30B．32C．34D．36
【答案】A
【分析】根据A、D的纵坐标即可求得CD的长，根据勾股定理即可求得BE的长，然后在直角△OAE中，利用勾股定理即可得到方程求得AC的长，则根据即可求解．
【详解】解：设AC=x，则AC=AE=OB=x，
∵点A的坐标为（0，8），
∴OA=BC=8，
∵点D的纵坐标为3，
∴CD=DE=BC-BD=8-3=5，
在直角△BDE中，BE==4，
则OE=x-4，
在直角△AOE中，，即，
解得：x=10，
则=AC•CD=×10×5=25，
=10×8=80，
则=80-25-25=30．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，以及折叠的性质，勾股定理，正确求得AC的长是关键．
2． (2023·广西桂林·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若，则线段CH的长是（ ）
A．3B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据折叠的性质，可得，设，则，根据，可得，在中，根据勾股定理，列出方程，解出即可得出CH的长．
【详解】解：设，则，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
即．
故选：B
【点睛】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
3． (2023·云南保山·八年级期末）如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．4B．5C．D．3.5
【答案】A
【分析】由矩形的性质可得∠A=90°，首先折叠的性质可得、、=90°,设=，则BF=9-x，在Rt△中，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
由翻折的性质可知，、、=90°
设=，则BF=9-x，
∵在Rt△中，
∴解得，
∴CF=4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
4． (2023·重庆永川·八年级期末）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=16，AD=20，则EC的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】首先根据折叠的性质求得：AD=AF=20，DE=EF，在Rt△ABF中利用勾股定理计算出BF的长，进一步求得FC的长，再设EC=x,则DE=EF=（16-x），在Rt△EFC中利用勾股定理可得（16-x）2=82+x2，再解方程即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=16，AD=BC=20，
由折叠可知：AD=AF=20，DE=EF，
在Rt△ABF中：，
∴
∴FC=20-12=8，
设EC=x,则DE=EF=16-x,
在Rt△EFC中：EF2=FC2+EC2，
（16-x）2=82+x2，
解得：x=6．
所以EC=6．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换和勾股定理，解题关键是掌握翻折的性质和利用勾股定理解直角三角形．
1． (2023·河南商丘·八年级期末）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC边的中点，点P是AB边上的动点（不与点A、B重合），沿直线PE将△PBE折叠后点B落在了点B'处，连接B'D、DE，当∠DB'E＝90°时，PB的长等于（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】A
【分析】设，利用HL证明，得到的长度，再利用勾股定理表示出的三边关系，列出关于x的方程，求解即可．
【详解】设，
根据题意，得：，，，
∵，∠DB'E＝90°，
∴在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，即
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题关键是用含x的式子表示出的三边，再利用勾股定理．
2． (2023·浙江杭州·八年级期末）如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=6，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=8，则CF=BC-BF=2，设CE=x，则DE=EF=6-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到，解方程即可得到DE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=6，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF=，
∴CF=BC-BF=10-8=2，
设CE=x，则DE=EF=6-x，
在Rt△ECF中，，
∴，
解得x=，
∴DE=6-x=，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
3． (2023·福建·厦门市第五中学九年级阶段练习）如图，一张矩形纸片ABCD，其中，，先沿对角线BD折叠，点C落在点的位置，交AD于点G，则的长______．
【答案】
【分析】由矩形及翻折的性质，可证≌，设，则，，在中，运用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴，，
∵矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点的位置，
∴，，
∴，，
在与中，
∵，
∴≌，
∴，．
设，
∵，，
∴．
∵，，
∴在中，
，
即，
解得，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了运用翻折的性质以及勾股定理求相关线段长度，其中运用几何性质及勾股定理建立相应的方程是解题的关键．1． (2023·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证；
（2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可
【详解】（1）四边形是矩形
因为折叠，则
是等腰三角形
（2）四边形是矩形
,
设，则
因为折叠，则，,
在中
即
解得：
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．
2． (2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：．
【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）见解析
【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：, ，则，为等腰三角形；
（2）如图：将顺时针旋转，证明全等，即可得出结论；
（3）证明即可得出结论；
（4）根据半角模型，将顺时针旋转，连接，可得，通过得出，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）由翻折的性质可知：
为正方形
，
为等腰三角形
（2）如图：将顺时针旋转，
由旋转的性质可得：，
由（1）中结论可得
为正方形，
在和中
（3）为正方形对角线
，
，
（4）如图：将顺时针旋转，连接，
由（2）中的结论可证
根据旋转的性质可得：，
在中有
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键．