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中考数学几何模型专项复习 模型38 圆——垂径定理模型-(原卷版+解析)
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垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
◎结论:如图,CD是直径,CD⊥AB,则①MA=MB,②=
垂径定理中的五元素:
①过圆心;②垂直弦;③平分弦(不是直径);④平分优弧;⑤平分劣弧.
知二推三:这五个元素中,知道任意两个,可得其它三个.
【注意】平分弦(不是直径)的原因:任意两条直径互相平分,但无法推出垂直,
如图:
找残缺圆的圆心方法:知二推三组合
作法:在圆弧上找两条不平行的线段,圆心在弦的垂直平分线上,交点为O
1.(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习)如图,⊙O的直径AB垂直弦CD于点P,且P为半径OB的中点,若CD=6,则直径AB的长为( )
A.2B.6C.4D.6
2.(2023·广东·绿翠现代实验学校二模)如图,的半径OD垂直弦AB于点C,若,,则的半径为( )
A.B.3C.4D.5
3.(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习)如图,是⊙的直径,弦于点,,⊙的半径为,则弦的长为( )
A.3B.C.D.9
1.(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习)在 中,,,已知 是 的外接圆,且 的半径为5,则 AB 的长为( )
A.B.C.或D.或
2.(2023·北京市三帆中学九年级阶段练习)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,若∠ABC=30°,OE=1,则OD长为( )
A.3B.C.D.2
3.(2023·全国·九年级单元测试)如图,AB为⊙O的直径,弦CD交AB于点E,,∠CDB=30°,AC=2,则OE=( )
A.B.C.1D.2
1.(2023·陕西·中考真题)如图,AB是⊙O的弦,过B作BC⊥AB交⊙O于点C,过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,取AD的中点E,过E作EF∥BC交DC 的延长线与点F,连接AF并延长交BC的延长线于点G..
求证:(1)FC=FG (2)AB2=BC•CG.
2.(2023·安徽·中考真题)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB长为6米,∠OAB=41.3°,若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66,cs41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)
圆
模型(三十八)——垂径定理模型
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
◎结论:如图,CD是直径,CD⊥AB,则①MA=MB,②=
垂径定理中的五元素:
①过圆心;②垂直弦;③平分弦(不是直径);④平分优弧;⑤平分劣弧.
知二推三:这五个元素中,知道任意两个,可得其它三个.
【注意】平分弦(不是直径)的原因:任意两条直径互相平分,但无法推出垂直,
如图:
找残缺圆的圆心方法:知二推三组合
作法:在圆弧上找两条不平行的线段,圆心在弦的垂直平分线上,交点为O
1.(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习)如图,⊙O的直径AB垂直弦CD于点P,且P为半径OB的中点,若CD=6,则直径AB的长为( )
A.2B.6C.4D.6
答案:C
分析根据垂径定理可知AB垂直平分CD,连接OC,根据勾股定理即可求出半径OC,最后求出直径即可.
【详解】解:如图,连接OC,
∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,
∴,
设⊙O的半径为r,
∵点P为OB中点,
∴,
在种,由勾股定理可得:,
即:,解得:r=或:r=(舍),
∴直径为.
故选∶C.
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理,熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解题的关键.
2.(2023·广东·绿翠现代实验学校二模)如图,的半径OD垂直弦AB于点C,若,,则的半径为( )
A.B.3C.4D.5
答案:D
分析根据垂径定理可得,再利用勾股定理直接求得的长,即可得出答案.
【详解】解:设半径为,
, ,
根据垂径定理得:
,
,
在中,
,
,
,
解得 ,
即的半径为5.
故答案为:D.
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理,解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论,列式计算.
3.(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习)如图,是⊙的直径,弦于点,,⊙的半径为,则弦的长为( )
A.3B.C.D.9
答案:C
分析先根据圆周角定理得到∠COB=60°,再根据垂径定理得到CE=DE,然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CE,从而得到CD的长.
【详解】解:∵,
∴∠BOC=60°,
∵,
∴CD=2CE,∠CEO=90°,
∴∠OCE=30°,
∴OC=2OE,
∵⊙的半径为,即OC=2,
∴OE=1,
∴,
∴.
故选:C
【点睛】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,也考查了圆周角定理,勾股定理.
1.(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习)在 中,,,已知 是 的外接圆,且 的半径为5,则 AB 的长为( )
A.B.C.或D.或
答案:C
分析根据题意,画出图形,连接OB,根据垂径定理,构建直角三角形进行求解.
【详解】
解:如图1:当∠BAC为锐角时,过点A作AD⊥BC于点D,连接OB,
∵AD⊥BC,BC=6,
∴BD==3,
∵半径为5,
∴OB=OA=5,
∴,
∴AD=OA+OD=4+5=9,
∴,
如图2:当∠BAC为钝角时,过点A作AD⊥BC于点D,连接OB,
∵AD⊥BC,BC=6,
∴BD==3,
∵半径为5,
∴OB=OA=5,
∴,
∴AD=OA-OD=5-4=1,
∴,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆,垂径定理以及勾股定理,熟练掌握相关内容,根据题意构建直角三角形是解题的关键.
2.(2023·北京市三帆中学九年级阶段练习)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,若∠ABC=30°,OE=1,则OD长为( )
A.3B.C.D.2
答案:D
分析先利用垂径定理得到,再根据圆周角定理得到∠AOD=60°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD的长.
【详解】解:∵CD⊥AB,AB是直径,
∴,
∴∠AOD=2∠ABC=2×30°=60°,
在Rt△ODE中,OD=2OE=2×1=2.
故选:D.
【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.
3.(2023·全国·九年级单元测试)如图,AB为⊙O的直径,弦CD交AB于点E,,∠CDB=30°,AC=2,则OE=( )
A.B.C.1D.2
答案:C
分析连接BC,根据垂径定理的推论可得AB⊥CD,再由同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°,根据锐角三角函数可得AE=3,AB=4,即可求解.
【详解】解:如图,连接BC,
∵AB为⊙O的直径,,
∴,
∵,,
∴,
∵AB为⊙O的直径,
∴,
∴,
∴OA=2,
∴OE=AE﹣OA=1.
故选:C.
【点晴】本题主要考查了垂径定理,同弧所对的圆周角相等,解直角三角形,熟练掌握垂径定理,同弧所对的圆周角相等,特殊角三角函数是解题的关键.
1.(2023·陕西·中考真题)如图,AB是⊙O的弦,过B作BC⊥AB交⊙O于点C,过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,取AD的中点E,过E作EF∥BC交DC 的延长线与点F,连接AF并延长交BC的延长线于点G..
求证:(1)FC=FG (2)AB2=BC•CG.
答案:(1)证明见解析;(2)证明见解析.
分析(1)由平行线的性质得出EF⊥AD,由线段垂直平分线的性质得出FA=FD,由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D,证出∠DCB=∠G,由对顶角相等得出∠GCF=∠G,即可得出结论;
(2)连接AC,由圆周角定理证出AC是⊙O的直径,由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB,证出∠CAB=∠G,再由∠CBA=∠GBA=90°,证明△ABC∽△GBA,得出对应边成比例,即可得出结论.
【详解】解:(1)∵EF∥BC,AB⊥BG,
∴EF⊥AD,
∵E是AD的中点,
∴FA=FD,
∴∠FAD=∠D,
∵GB⊥AB,
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°,
∴∠DCB=∠G,
∵∠DCB=∠GCF,
∴∠GCF=∠G,
∴FC=FG;
(2)连接AC,如图所示:
∵AB⊥BG,
∴AC是⊙O的直径,
∵FD是⊙O的切线,切点为C,
∴∠DCB=∠CAB,
∵∠DCB=∠G,
∴∠CAB=∠G,
∵∠CBA=∠GBA=90°,
∴△ABC∽△GBA,
∴,
∴=BC•BG.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质;垂径定理;切线的性质,解题的关键是添加辅助线构造相似三角形.
2.(2023·安徽·中考真题)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB长为6米,∠OAB=41.3°,若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66,cs41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)
答案:6.64米
分析通过垂径定理求出AD,再通过三角函数解直角三角形,求出AO和OD的值,从而得到点C到弦AB所在直线的距离.
【详解】解:如图:连接CO并延长,交AB于点D,
∵OD⊥AB,AB=6,
∴AD=AB=3,
在Rt△OAD中, ∠OAB=41.3°,cs∠OAD=,
∴AO=,
∵sin∠OAD=,
∴OD=AO·sin∠OAD=2.64,
∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米,
答:点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.
【点睛】本题考查了垂径定理和三角函数的应用,通过垂径定理求出AD的值是解题关键.
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