中考数学几何模型专项复习 模型38 圆——垂径定理模型-（原卷版+解析）

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垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
◎结论：如图，CD是直径，CD⊥AB，则①MA＝MB，②＝

垂径定理中的五元素：
①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧.
知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个.
【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直,
如图：

找残缺圆的圆心方法：知二推三组合
作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为O

1．(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（ ）
A．2B．6C．4D．6
2．(2023·广东·绿翠现代实验学校二模）如图，的半径OD垂直弦AB于点C，若，，则的半径为（ ）
A．B．3C．4D．5
3．(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）如图，是⊙的直径，弦于点，，⊙的半径为，则弦的长为（ ）
A．3B．C．D．9
1．(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）在 中，，，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 AB 的长为（ ）
A．B．C．或D．或
2．(2023·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，则OD长为（ ）
A．3B．C．D．2
3．(2023·全国·九年级单元测试）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A．B．C．1D．2
1．(2023·陕西·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，过B作BC⊥AB交⊙O于点C，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过E作EF∥BC交DC 的延长线与点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．．
求证：（1）FC=FG （2）AB2=BC•CG．
2．(2023·安徽·中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
圆
模型（三十八）——垂径定理模型
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
◎结论：如图，CD是直径，CD⊥AB，则①MA＝MB，②＝

垂径定理中的五元素：
①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧.
知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个.
【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直,
如图：

找残缺圆的圆心方法：知二推三组合
作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为O

1．(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（ ）
A．2B．6C．4D．6
答案:C
分析根据垂径定理可知AB垂直平分CD，连接OC，根据勾股定理即可求出半径OC，最后求出直径即可．
【详解】解：如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
设⊙O的半径为r，
∵点P为OB中点，
∴，
在种，由勾股定理可得：，
即：，解得：r=或：r=（舍），
∴直径为．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解题的关键．
2．(2023·广东·绿翠现代实验学校二模）如图，的半径OD垂直弦AB于点C，若，，则的半径为（ ）
A．B．3C．4D．5
答案:D
分析根据垂径定理可得,再利用勾股定理直接求得的长，即可得出答案．
【详解】解：设半径为，

， ，
根据垂径定理得：
，
，
在中，
，

，
，
解得 ，
即的半径为5．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论，列式计算．
3．(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）如图，是⊙的直径，弦于点，，⊙的半径为，则弦的长为（ ）
A．3B．C．D．9
答案:C
分析先根据圆周角定理得到∠COB=60°，再根据垂径定理得到CE=DE，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CE，从而得到CD的长．
【详解】解：∵，
∴∠BOC=60°，
∵，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
∴∠OCE=30°，
∴OC=2OE，
∵⊙的半径为，即OC=2，
∴OE=1，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，勾股定理．
1．(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）在 中，，，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 AB 的长为（ ）
A．B．C．或D．或
答案:C
分析根据题意，画出图形，连接OB，根据垂径定理，构建直角三角形进行求解．
【详解】
解：如图1：当∠BAC为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
∵AD⊥BC，BC=6，
∴BD==3，
∵半径为5，
∴OB=OA=5，
∴，
∴AD=OA+OD=4+5=9，
∴，
如图2：当∠BAC为钝角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
∵AD⊥BC，BC=6，
∴BD==3，
∵半径为5，
∴OB=OA=5，
∴，
∴AD=OA-OD=5-4=1，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关内容，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
2．(2023·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，则OD长为（ ）
A．3B．C．D．2
答案:D
分析先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到∠AOD＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD的长．
【详解】解：∵CD⊥AB，AB是直径，
∴，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×1＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
3．(2023·全国·九年级单元测试）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A．B．C．1D．2
答案:C
分析连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
【详解】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：C．
【点晴】本题主要考查了垂径定理，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，同弧所对的圆周角相等，特殊角三角函数是解题的关键．
1．(2023·陕西·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，过B作BC⊥AB交⊙O于点C，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过E作EF∥BC交DC 的延长线与点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．．
求证：（1）FC=FG （2）AB2=BC•CG．
答案:（1）证明见解析；（2）证明见解析．
分析（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；
（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD，
∵E是AD的中点，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠D，
∵GB⊥AB，
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠G，
∵∠DCB=∠GCF，
∴∠GCF=∠G，
∴FC=FG；
（2）连接AC，如图所示：
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直径，
∵FD是⊙O的切线，切点为C，
∴∠DCB=∠CAB，
∵∠DCB=∠G，
∴∠CAB=∠G，
∵∠CBA=∠GBA=90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴，
∴=BC•BG．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形.
2．(2023·安徽·中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
答案:6.64米
分析通过垂径定理求出AD，再通过三角函数解直角三角形，求出AO和OD的值，从而得到点C到弦AB所在直线的距离.
【详解】解：如图：连接CO并延长，交AB于点D，
∵OD⊥AB，AB=6，
∴AD=AB=3，
在Rt△OAD中, ∠OAB=41.3°，cs∠OAD=，
∴AO=，
∵sin∠OAD=,
∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，
∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，
答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.
【点睛】本题考查了垂径定理和三角函数的应用，通过垂径定理求出AD的值是解题关键.