中考数学几何模型专项复习 模型40 相似形——“A”、“8”字模型-（原卷版+解析）

这是一份中考数学几何模型专项复习 模型40 相似形——“A”、“8”字模型-（原卷版+解析），共13页。


◎结论1：如图 ，已知∠1=∠2.结论∶△ADE∽△ABC ADAB＝AEAC＝DEBC
拓展
3 组 A字模型∶A－DE－BC, A－DN－BM, A－NE－MC;
3 组8字模型∶DE－O－BC，DN－O－MC, NE－O－BM.

粽子模型 ： 由A字型可推导出：EH＝AD∙BCAD+BC，
三角形内的正方形边长＝高×底高＋底
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
鸡（积）在河（和）上飞


1．(2023·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级阶段练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
1．(2023·海南海口·九年级期末）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（ ）
A．1：5B．4：25C．4：31D．4：35
2．(2023·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
3．(2023·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．
（1）求证：CH＝BE；
（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝12时，求线段GE的长；
（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成1∶2两部分，求的值．
1．(2023·安徽·合肥市第四十八中学一模）如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
2．(2023·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
相似形
模型（四十）——“A”、“8”字模型
◎结论1：如图 ，已知∠1=∠2.结论∶△ADE∽△ABC ADAB＝AEAC＝DEBC
拓展
3 组 A字模型∶A－DE－BC, A－DN－BM, A－NE－MC;
3 组8字模型∶DE－O－BC，DN－O－MC, NE－O－BM.

粽子模型 ： 由A字型可推导出：EH＝AD∙BCAD+BC，
三角形内的正方形边长＝高×底高＋底
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
鸡（积）在河（和）上飞


1．(2023·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级阶段练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∵AB＞FA，
∴
∴D选项不正确，符合题目要求．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
1．(2023·海南海口·九年级期末）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（ ）
A．1：5B．4：25C．4：31D．4：35
答案:A
分析根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD
∵E为CD的中点，
∴DE：CD=1：2
∵AB//DE
∽，
：：：4，EF:AF=1:2
设，则，
：：2，
：：：2，
，
，
是平行四边形ABCD的对角线，
，
，
：：：5．
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用．
2．(2023·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
答案:（1）见详解；（2）见详解
分析（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．
【详解】解：（1）∵DEBC，
∴，
∵，
∴，
∴DFBE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，，AE=6，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
3．(2023·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．
（1）求证：CH＝BE；
（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝12时，求线段GE的长；
（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成1∶2两部分，求的值．
答案:（1）见解析（2）4（3）5或8．
分析（1）可得∠CHD＝∠BEC，根据AAS可证明△DHC≌△CEB，即可求解；
（2）由三角形全等与平行线的性质，可得．则GC＝2GH，可求出GH的长，故可得到GE的长；
（3）点E将CD分成1∶2两部分得到①，②，再分别得到 S1和S2的关系进行求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，
∴∠DHC＋∠DCH＝90°，
∵CH⊥BE，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ECF＋∠BEC＝90°，
∴∠CHD＝∠BEC，
∴△DHC≌△CEB（AAS），
∴CH＝BE；
（2）∵△DHC≌△CEB，
∴CH＝BE，DH＝CE，
∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，
∴DH＝BC，
∵DHBC，

∴，
∴GC＝2GH，
设GH＝x，则，则CG＝2x，
∴3x＝12，
∴x＝4．
即GH＝4
∵DH=DE，∠HDG=∠EDG=45°，DG=DG
∴△HDG≌△EDG（SAS）
∴GE=GH=4；
（3）点E将CD分成1∶2两部分
则①，②
当时，
∵DH＝CE，DC＝BC，
∴，
∵DHBC，

∴，
∴，，
设S△DGH＝a，则S△BCG＝9a，S△DCG＝3a，
∴S△BCD＝9a＋3a＝12a，
∴S1＝2S△BCD＝24a，
∵S△DEG：S△CEG＝2：1，
∴S△DEG＝2a，
∴S2＝2a＋a＝3a．
∴S1：S2＝24a：3a＝8．
当时，
∵DH＝CE，DC＝BC，
∴，
∵DHBC，
∴，
∴，，
设S△DGH＝4a，则S△BCG＝9a，S△DCG＝6a，
∴S△BCD＝9a＋6a＝15a，
∴S1＝2S△BCD＝30a，
∵S△DEG：S△CEG＝1：2，
∴S△DEG＝2a，
∴S2＝2a＋4a＝6a．
∴S1：S2＝30a：6a＝5．
故S1：S2＝5或8．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
1．(2023·安徽·合肥市第四十八中学一模）如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
答案:C
分析如图，延长EF交BQ的延长线于G．首先证明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥BC，推出＝＝3，即可求出EG解决问题．
【详解】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．
∵，
∴EG∥BC，
∴∠G＝∠GBC，
∵∠GBC＝∠GBP，
∴∠G＝∠PBG，
∴PB＝PG，
∴PE+PB＝PE+PG＝EG，
∵CQ＝EC，
∴EQ＝3CQ，
∵EG∥BC，
∴△EQG∽△CQB，
∴＝＝3，
∵BC＝6，
∴EG＝18，
∴EP+PB＝EG＝18，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2．(2023·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
答案:A
分析根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：∵AE=2，EC=3，
∴AC=AE+EC=5，
∵DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．