中考数学几何模型专项复习 模型42 相似形——一线三等角模型-（原卷版+解析）

这是一份中考数学几何模型专项复习 模型42 相似形——一线三等角模型-（原卷版+解析），共21页。

一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上
◎结论1：如图 ∠A＝∠DBE＝∠C，
则①△ADB∽△CBE；②AD×EC（竖着的）=AB×BC（躺着的）
外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB
∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，
∠EBC＝∠ADB。
同理：∠DBA＝∠BEC，
∴△ADB∽△CBE
∴ADCB＝ABCE
改为乘积式：AD.CE＝AB.BC
一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右

◎结论2：如图 ∠A＝∠DBE＝∠C，B点是AC的中点，
证明：△ABD∽△CEB
∴ABCE＝ADCB＝BDEB,ADCB＝BDEB
∵AB＝BC
∴ADAB＝BDEB
又∵∠DAB＝∠DBE
∴△DAB∽△DBE
∴∠ADB＝∠BDE
△ABD,△BED,△CEB均相似
BD,BE为∠ADE,∠DEC角平分线
则①△ABD∽△BED∽△CEB；②AD×EC（竖着的）=AB×BC（躺着的）
③DB、EB平分∠ADE和∠DEC


模型图解


常见图形：

一线三等角模型应用的四种情况：
1.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
2.图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题；
3.图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题；
4.图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型解题。
1．(2023·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
1．(2023·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____．
2．(2023·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________
3(2023·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
1．(2023·河南郑州·二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖北襄阳·一模）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．
4．(2023·山东菏泽·三模）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
相似形
模型（四十二）——一线三等角模型
一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上
◎结论1：如图 ∠A＝∠DBE＝∠C，
则①△ADB∽△CBE；②AD×EC（竖着的）=AB×BC（躺着的）
外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB
∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，
∠EBC＝∠ADB。
同理：∠DBA＝∠BEC，
∴△ADB∽△CBE
∴ADCB＝ABCE
改为乘积式：AD.CE＝AB.BC
一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右

◎结论2：如图 ∠A＝∠DBE＝∠C，B点是AC的中点，
证明：△ABD∽△CEB
∴ABCE＝ADCB＝BDEB,ADCB＝BDEB
∵AB＝BC
∴ADAB＝BDEB
又∵∠DAB＝∠DBE
∴△DAB∽△DBE
∴∠ADB＝∠BDE
△ABD,△BED,△CEB均相似
BD,BE为∠ADE,∠DEC角平分线
则①△ABD∽△BED∽△CEB；②AD×EC（竖着的）=AB×BC（躺着的）
③DB、EB平分∠ADE和∠DEC


模型图解


常见图形：

一线三等角模型应用的四种情况：
1.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
2.图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题；
3.图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题；
4.图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型解题。
1．(2023·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可
【详解】解：∵是等边三角形，
∴ ＝＝＝60°，
∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上，
∴ ，
∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，
∵AF：BF=1:2，
设AF=m，BF=2m，AB=3m，
设＝x，＝DF＝，
∵BE=2，BC＝，
∴ CE＝，
∵ ＝，＝60°，
∴ ＝120°，＝120°，
∴ ＝，
∵ ＝，
∴ ，
∴ ，
即，
解得：，使等式有意义，
∴ ＝，
故选择：A．
【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，
为的中点，为的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
矩形是中心对称图形，过矩形的中心．
过点，且，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，或4，
或4，
当时，，则，
，
四边形的周长；
同理，当时，四边形的周长；
故选：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形．
1．(2023·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____．
答案:2.4
分析根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
∴ ，即，
∵等边△ABC的边长为6 ，
∴ ，解得： ．
故答案为：2.4
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
2．(2023·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________
答案:
分析根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式
【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，
AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，
即
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3(2023·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
答案:【探究】3；【拓展】4或．
分析探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
1．(2023·河南郑州·二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析过C作CE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO，进而得出△BCE∽△ABO，根据相似三角形的性质得到结论．
【详解】解：过C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
∵，
∴△BCE∽△ABO，
∴，
∵
∴AB=，
∵AB=2BC，
∴BC=AB=4，
∵，
∴CE=2，BE=2
∴OE=4+2
∴C（4+2，2），
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．(2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析设，则CD=3x，，根据求出x=6，得到CD=18，CF=8，=12，证明△∽△求得DM=9，，，AM=9，再根据求得AE=4，过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，再根据勾股定理求出EF=.
【详解】设，则CD=3x，，
由折叠得，
∴CF=3x-10，
∵
∴100=，
解得x=6或x=0（舍去），
∴CD=18，CF=8，=12，
∵∠C=∠D=∠,
∴∠,
∴△∽△,
∴，
∴，
∴DM=9，，
∴，AM=9，
在Rt△中，，
∴,
解得EM=5，
∴AE=4，
过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，
∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18，
∴FH=10-4=6，
∴EF=,
故选：C.
【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，解题中多次用到勾股定理求出直角三角形中的边长，根据折叠的性质得到对应的边相等或角度相等是解题的关键.
3．(2023·湖北襄阳·一模）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．
答案:
分析根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，
根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求．
【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，
∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，
∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴ ，
即 ，
设CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，
∴BF= 4x，
∵BD=3，
∴，
∵，
∴，，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∴
解得：x=2，
∴CF=4，
∴BC=5x=10，
∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10×=5，
∴S△ABC=，
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，
∴DH=BDsin60°=，
∴S△BDF=，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∵S△BDF=，
∴S△CEF=，
又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，
∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，
∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF
=，
∴．
故答案为:．
【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．
4．(2023·山东菏泽·三模）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
答案:（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
分析（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．
【详解】（1）证明：如题图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）结论仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
设，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．