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中考数学几何模型专项复习 模型41 相似形——射影定理模型-(原卷版+解析)
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DC²=DA·DB
AC²=AD·AB
BC²=BD·BA
AC·BC=AB·CD
◎结论:如图,∠ACB=90º,CD⊥AB,则:
多个垂直先导角,相等互余少不了
∠1=∠2,∠3=∠4
△ACD∽△CBD∽△ABC
以△ACD∽△CBD为例
ADCD=CDBD, DC²=DA·DB
记:DC用了两次,D能写出两条共线线段
同理:AC²=AD·AB
BC²=BD·BA
等面积:AC·BC=AB·CD
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
公共边2=共线边乘积
1.(2023·山东淄博·八年级期末)如图,在中,,于点D,下列结论错误的有( )个
①图中只有两对相似三角形;②;③若,AD=8,则CD=4.
A.1个B.2个C.3个D.0个
1.(2023·全国·九年级课时练习)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知AD=,那么BC=_______.
2.(2023·全国·九年级专题练习)【问题情境】如图1,在中,,垂足为D,我们可以得到如下正确结论:①;②;③,这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的,我们称之为“射影定理”,又称“欧几里德定理”.
(1)请证明“射影定理”中的结论③.
(2)【结论运用】如图2,正方形的边长为6,点O是对角线、的交点,点E在上,过点C作,垂足为F,连接.
①求证:.
②若,求的长.
1.(1)问题情境:如图1,Rt中,∠ACB=90°,CD⊥AB,我们可以利用与相似证明AC2=AD•AB,这个结论我们称之为射影定理,试证明这个定理.
(2)结论运用:如图2,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC,BD的交点,点E在CD上,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,试利用射影定理证明.
2.如图所示,△ABC被平行光线照射,CD⊥AB于D,AB在投影面上.
(1)指出图中AC的投影是什么?CD与BC的投影呢?
(2)探究:当△ABC为直角三角形(∠ACB=90°)时,易得AC2=AD·AB,此时有如下结论:直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积,这一结论我们称为射影定理.通过上述结论的推理,请证明以下两个结论.
①BC2=BD·AB;②CD2=AD·BD.
相似形
模型(四十一)——射影定理模型
DC²=DA·DB
AC²=AD·AB
BC²=BD·BA
AC·BC=AB·CD
◎结论:如图,∠ACB=90º,CD⊥AB,则:
多个垂直先导角,相等互余少不了
∠1=∠2,∠3=∠4
△ACD∽△CBD∽△ABC
以△ACD∽△CBD为例
ADCD=CDBD, DC²=DA·DB
记:DC用了两次,D能写出两条共线线段
同理:AC²=AD·AB
BC²=BD·BA
等面积:AC·BC=AB·CD
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
公共边2=共线边乘积
1.(2023·山东淄博·八年级期末)如图,在中,,于点D,下列结论错误的有( )个
①图中只有两对相似三角形;②;③若,AD=8,则CD=4.
A.1个B.2个C.3个D.0个
答案:A
分析①根据相似三角形判定判断;②利用面积法证明即可;③利用相似三角形的性质求出BD,再利用勾股定理求出CD即可.
【详解】解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴,
∵,
∴△ACD∽△ABC∽△CBD,故①错误,
∵S△ACB=AC•BC=AB•CD,
∴BC•AC=AB•CD,故②正确,
∵△CBD∽△ABC,
∴,
∴,
∴BD=2或-10(舍弃),
在Rt△CDB中,CD=,故③正确,
故选:A.
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
1.(2023·全国·九年级课时练习)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知AD=,那么BC=_______.
答案:
分析证明△BCD∽△BAC,根据相似三角形的性质列式计算即可.
【详解】解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC,
∴=,即=,
∴,
∵
∴BC=,
故答案为:.
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质,牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键.
2.(2023·全国·九年级专题练习)【问题情境】如图1,在中,,垂足为D,我们可以得到如下正确结论:①;②;③,这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的,我们称之为“射影定理”,又称“欧几里德定理”.
(1)请证明“射影定理”中的结论③.
(2)【结论运用】如图2,正方形的边长为6,点O是对角线、的交点,点E在上,过点C作,垂足为F,连接.
①求证:.
②若,求的长.
答案:(1)见解析;
(2)①见解析;②.
分析(1)由AA证明,再由相似三角形对应边称比例得到,继而解题;
(2)①由“射影定理”分别解得,,整理出,再结合即可证明;
②由勾股定理解得,再根据得到,代入数值解题即可.
(1)
证明:
(2)
①四边形ABCD是正方形
②在中,
在,
.
【点睛】本题考查相似三角形的综合题,涉及勾股定理、正方形等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
1.(1)问题情境:如图1,Rt中,∠ACB=90°,CD⊥AB,我们可以利用与相似证明AC2=AD•AB,这个结论我们称之为射影定理,试证明这个定理.
(2)结论运用:如图2,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC,BD的交点,点E在CD上,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,试利用射影定理证明.
答案:(1)见解析;(2)见解析.
分析(1)由AA证明,再结合相似三角形对应边成比例即可解题;
(2)根据正方形的性质及射影定理解得BC2=BO•BD,BC2=BF•BE,再运用SAS证明△BOF∽△BED即可.
【详解】证明:(1)如图1,
(2)如图2,
∵四边形ABCD为正方形,
∴OC⊥BO,∠BCD=90°,
∴BC2=BO•BD,
∵CF⊥BE,
∴BC2=BF•BE,
∴BO•BD=BF•BE,即,
而∠OBF=∠EBD,
∴△BOF∽△BED.
【点睛】本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
2.如图所示,△ABC被平行光线照射,CD⊥AB于D,AB在投影面上.
(1)指出图中AC的投影是什么?CD与BC的投影呢?
(2)探究:当△ABC为直角三角形(∠ACB=90°)时,易得AC2=AD·AB,此时有如下结论:直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积,这一结论我们称为射影定理.通过上述结论的推理,请证明以下两个结论.
①BC2=BD·AB;②CD2=AD·BD.
答案:(1)AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影是BD;(2)证明见解析.
【详解】试题分析:(1)在平行投影中,投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影,根据正投影的定义求解即可;
(2)①,结合两角对应相等的两三角形相似,可得△BCD∽△BAC,根据相似三角形对应边成比例可证明结论;
②同理可证△ACD∽△CBD,根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立.
试题解析:
解:(1)∵CD⊥AB,
而平行光线垂直AB,
∴AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影为BD;
(2)①∵∠ACB=90°,CD⊥AB于D,
∴∠ACB=∠CDB=90°.
∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC,
∴,
∴BC2=BD•AB;
②同理可得:△ACD∽△CBD,
∴,
∴CD2=AD•BD.
点睛:本题考查了正投影的定义和相似三角形的判定与性质,熟记正投影的定义是解决(1)的关键,结合图形得出相似三角形是解决(2)的关键.
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