2021-2022学年福建省泉州市德化县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2021-2022学年福建省泉州市德化县九年级上学期数学期末试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 要使二次根式有意义，则的值不可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义，求出的范围即可求解．
【详解】解：二次根式有意义
∴，即，而，
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的基础知识，熟练掌握二次根式被开方数不能小于0是解题的关键．
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据得到，再逆用同分母分式加减的法则即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了分式的加减等知识，理解同分母分式加减法则并根据题意正确逆用是解题关键，本题也可以根据比例的性质求解．
3. 与不是同类二次根式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A．，与不是同类二次根式，故此项符合题意；
B．，与是同类二次根式，故此项不符合题意；
C．，与是同类二次根式，故此项不符合题意；
D．，与是同类二次根式，故此项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，理解同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质，准确化简各数是解答关键．
4. 下列事件中，不是必然事件的是（ ）
A. 等角的余角相等B. 对顶角相等
C. 垂线段最短D. 同位角相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件的概念，逐一判断即可．
【详解】解：A、等角的余角相等是必然事件，不符合题意；
B、对顶角相等，是必然事件，不符合题意；
C、垂线段最短，是必然事件，不符合题意；
D、同位角相等，不是必然事件，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5. 一元二次方程配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将4移到右边，然后两边同时加9配方即可．
【详解】
故选C．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟悉配方步骤是解题的关键．
6. 2021年新冠疫情依然很严重，疫情未结束，防控不松懈，戴口罩能有效防止病毒感染．某一种口罩原价每盒20元，经过两次降价后每盒9元，设两次降价的百分率都为，则满足方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1−每次降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：由题意得：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了增长率问题，常用公式：n次增长（或下降）后的价格＝原价×（1−每次增长（或下降）的百分率），找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，在中，，点是的重心，，垂足为，若，则线段的长度为（ ）
A. 10B. 9C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长交于，如图，利用三角形重心的性质得到，，再证明，则可判断，然后利用相似比可求出的长，进而得到线段的长度．
【详解】解：延长交于，如图，
点是的重心，
，，
，
，
而，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形重心的性质是解决问题的关键．
8. 北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道的长度为（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】根据，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
米，，，
∵，
∴（米），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦=对边与斜边之比．
9. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为和则它的内接正方形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．
【详解】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=ED，DE∥CF，
设ED=x，则CD=x，AD=5-x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴x=，
∴正方形CDEF的边长为．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
10. 若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A. 2019B. 2020C. 2021D. 2022
【答案】D
【解析】
【分析】把化为： 再结合题意可得从而可得方程的解.
【详解】解：可化为：

关于的一元二次方程有一个根为，
把看作是整体未知数，则


即有一根为
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 计算：=______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：=；故答案为．
点睛：此题考查了二次根式乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键．
12. 小华在解方程x2 = 3x时，只得出一个根x = 3，则被他漏掉的一个根是x =_______
【答案】0
【解析】
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【详解】解：∵x2=3x，
∴x2-3x=0，
∴，
∴x=0或x-3=0，
∴x1=0，x2=3，
故答案为：0．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用因式分解法．
13. 如图，河坝的横断面的坡比是，坝高米，则的长度是__________米．
【答案】8
【解析】
【分析】根据坡比的概念解答即可．
【详解】根据题意可知，即，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．理解坡比的概念是解题关键．
14. 如图，已知在中，，，、分别是、的中点，连接．若，则的面积是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据三角形中位线定理求出BC=2DE=4，再利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，∠ABC=90°，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵D、E分别是AB，AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=4，
∵，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，熟知相关知识是解题的关键．
15. 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，
设小正方形的边长为1，
则AE=3，BE=4，
所以tan∠ABC=，
故答案为：
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能构造直角三角形是解此题的关键．
16. 如图，将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，若以为顶点的三角形与相似，那么的长度是___________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据折叠得到，根据相似三角形的性质得到或，设，则，即可求出x的长，得到的长．
【详解】解：∵沿折叠B和重合，
∴，
设，则，
∵当时，，
∵，
∴，
解得：，
则；
当时，，即，
解得：，
则．
故的长度是或．
故答案：或．
【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的性质，解此题的关键是设，根据相似三角形的性质列出比例式．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】分别计算二次根式的除法与乘法，锐角三角函数的计算，再合并即可.
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的除法，二次根式的乘法，锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握“二次根式的运算”．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】把方程化为，然后用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：
原方程可化为，
∵，，，
∴，
∴，
即，．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的步骤是解题的关键．
19. 如图，学校准备在图书馆后面的场地边建一个自行车棚，一边利用图书馆的后墙（墙长18米），现有总长为24米的铁围栏，如果要围成面积为40平方米的自行车棚，那么AB的长为多少米？
【答案】要围成面积为40平方米的花圃，那么的长为4米．
【解析】
【分析】设AB=x米，则AD=米，根据自行车棚的面积为40平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长18米，即可得出AB的长为4米．
【详解】解：设米，则米，
依题意，得：，
解得：，，
又∵，
∴应舍去，只取．
答：要围成面积为40平方米花圃，那么的长为4米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，为一块绿地，，，现将绿地扩建一块三角形的区域（即延长至点，连接），米，，求原绿地直角边的长度（结果保留根号）．
【答案】米
【解析】
【分析】先设AC=BC=x米，然后在Rt△ACD中利用30°的正切值进行计算即可解答．
【详解】解：设米，则米，
∴米，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
即．
答：原绿地直角边长的长度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21. 如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为、、．
（1）以为位似中心，将放大为，使得与的相似比为，请在网格中画出（其中在第三象限内）；
（2）直接写出（1）中点、、的坐标．
【答案】（1）见解析 （2），，
【解析】
【分析】（1）（2）把、、点的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可．
【小问1详解】
解：（1）如图，为所要画的三角形；
【小问2详解】
解：，，．
【点睛】本题考查了作图位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，掌握位似变换的坐标特征是解决问题的关键．
22. 已知关于的方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）若该方程有一个根是0，求的值及该方程的另一根．
【答案】（1）
（2）当的值是2时，方程的另一根是5；当的值是-2时，方程的另一根是-3
【解析】
【分析】（1）先将原方程变形，再根据判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根，列出不等式来求解；
（2）将代入原方程中求出k的值得到一元二次方程，再解方程求解．
【小问1详解】
解：原方程变形为，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
∴的取值范围；
【小问2详解】
解：当方程有一个根是0时，，
解得：，
①当时，原方程可化为：，
解得：，，
②当时，原方程为：，
解得：，，
∴当的值是2时，方程的另一根是5；当的值是-2时，方程的另一根是-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解以及解一元二次方程．解答的关键是（1）牢记“，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入求出k的值．
23. 习总书记指出“垃圾分类工作就是新时尚”．为响应垃圾分类处理政策，改善生态环境，某城市将生活垃圾分为三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为，，，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为，，．
（1）小明将垃圾分装在三个袋中分别投放到每个垃圾箱，每袋垃圾仅随机投放到一个垃圾箱，用画树状图或列表的方法求把三个袋子都放错垃圾箱的概率是多少？
（2）某学习小组为了了解该城市生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了一些小区某天三类垃圾箱中共100吨的生活垃圾，数据统计如下表：（单位：吨）
调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占20%，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生600吨生活垃圾．假设该城市每天处理投放正确的垃圾，每天大概可回收多少吨塑料类垃圾的二级原料．
【答案】（1）
（2）20.16吨
【解析】
【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到把三个袋子都放错位置的结果数，再根据概率公式计算即可；
（2）根据样本，首先求得可回收垃圾量，然后再求塑料类垃圾中投放正确的，再根据每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料计算即可．
【小问1详解】
画树状图如下：
∵所有等可能的情况有6种，其中三袋垃圾都投放错误的有2种，
∴三袋垃圾都投放错误的概率为；
【小问2详解】
该城市每天投放正确的“可回收垃圾”为：
（吨），
每天大概可回收塑料类垃圾的二级原料为：
（吨），
答：每天大概可回收20.16吨塑料类垃圾的二级原料．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24. 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，其中．
（1）若点，过点作，连接并延长与轴交于点，
①求的值；
②求证：；
（2）若点，求的最小值．
【答案】（1）①1；②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①将点A的坐标代入可得出答案；
②过点B作BD∥OP交x轴交于点D，延长AM交BD于点N，证明△OAM≌△OBD（ASA），得出OM＝OD；证明，则可得出结论；
（2）取点E，连接BE，过点A作AH⊥BE于H，过点M作PM⊥BE于P，，求出AH的长，则可得出答案．
【小问1详解】
①∵在的图象上，
∴，
∴；
②过点作交轴交于点，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由题意，可知，，
∴，
∴；
∵，
∴，即；
【小问2详解】
如图，取点，连接，
过点作于，过点作于，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
，
∴，
（当且仅当，，三点共线时取等号，此时，点、重合），
∵，
∴，
∴的最小值．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
25. 如图，中，，，点为上一点（点与点不重合），点为上一点，且．
（1）如图1，当，时，__________；
（2）如图2，当时，猜想线段和的数量关系，并加以证明；
（3）若，点是的三等分点，，求的长度．
【答案】（1）3 （2），证明见解析
（3）2.5或5
【解析】
【分析】（1）由题意易证和为等腰直角三角形，即得出，．再根据，，得出，即易证，得出结论；
（2）由题意得出，．再根据，可求出．由，即得出，可判定，得出．在中，，利用含30度的直角三角形的性质即可求出，从而即得出；
（3）过点A作于，过点作于，根据（2）同理可证，得出．在中，，，即可求出AG的长，再根据勾股定理可求出BG的长．由等腰三角形三线合一可知，．在中，，即可设，则，根据勾股定理列出关于x的等式，即可解出x，得出BD的长，从而可求出CD的长，再由点是的三等分点，即可求出或4，最后根据即可求出CF的长．
【小问1详解】
∵，，
∴．
∵，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3；
【小问2详解】
猜想：
理由如下：如图，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，即；
【小问3详解】
如图，过点A作于，过点作于，
由（2）易得，
∴，
在中，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
在中，，
设，则，
∵，
∴
解得：（舍）．
∴，
∴，
∴．
∵，点是的三等分点，
∴或4，
∴或，
∴或5．
【点睛】本题为三角形综合题．考查等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．30
8
12
2.6
24
3.4
3.2
2.8
14