_福建省三明市尤溪县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份_福建省三明市尤溪县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省三明市尤溪县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每题只有一个正确选项。）
1．（4分）将一元二次方程3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项的系数是（　　）
A．﹣4 B．2 C．4 D．3
2．（4分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝4，则线段BC的长是（　　）

A．2 B．4 C．1 D．
3．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
4．（4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A．x2＝1 B．x2＝x C．（x﹣1）2＝0 D．（x+1） 2＝﹣1
5．（4分）如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（　　）

A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
6．（4分）甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频本，绘出的统计图如图所示，则符合这结果的实验可能是（　　）

A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子任取一个球，则取到红球的概率
B．任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
7．（4分）如图，已知矩形ABCD中，下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是（　　）

A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BC D．AC⊥BD
8．（4分）如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝2的根是（　　）
x
……
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
……
ax2+bx
……
12
6
2
0
0
2
6
12
……
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝4
9．（4分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B．
C． D．
10．（4分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　）

A．5 B．6 C． D．
二、填空题（共6题.每题4分，满分24分。）
11．（4分）如果4a＝5b，那么a：b＝　 　．
12．（4分）矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若AO＝3，则BD的长为 　 　．
13．（4分）一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是 　 　．
14．（4分）对于解一元二次方程（x+3）2＝4，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+3＝2，则另一个一元一次方程是 　 　．
15．（4分）对于一元二次方程：x2＝mx，下列是小聪求解的推理过程：
解：两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2；①
两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）；②
两边都除以x﹣m，得x+m＝m； ③
两边都减m，得x＝0． ④
以上推理过程，开始出现错误的那一步对应的序号是 　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　 　．

三、解答题（共9题，满分86分。）
17．（8分）解方程：（1）（x﹣5）2﹣1＝0；
（2）2x2+4x﹣1＝0．
18．（8分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，请你计算出古井水面以上部分深度AC是多少米？

19．（8分）某校计划举办“喜迎二十大”演讲比赛，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度“三个主题．
（1）若小颖随机选择其中一个主题，求她选中的主题是“5G时代”的概率是 　 　；
（2）若小颖和小亮每人随机选择其中一个主题，用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个主题的概率．
20．（8分）如图，在12×6的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，以DE为一边画格点△DEF，使得△DEF∽△ABC．其中AB＝6，AC＝2，BC＝4，DE＝3．
（1）在图中画出△DEF；
（2）证明：△DEF∽△ABC．

21．（8分）（1）如果a，b，c，d四个数成比例，即，那么ad＝bc，其变形根据是 　 　；反过来，如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），可以得出比例式，那么还可以得出其它哪些不同的比例式（直接写出其中三个正确的比例式即可）．
（2）如果（b﹣d≠0），那么成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由．
22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）求作：Rt△ABC斜边AB边上的中线CD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：CD＝AB．

23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，已知PE⊥EC．
（1）求证：△AEP∽△DEC；
（2）若AB＝3，BC＝4，求AP的长．

24．（12分）有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．

（1）如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
①请写出两条小路的面积之和S＝　 　（用含a、b的代数式表示）；
②若a：b＝2：1，且草坪的总面积为312米2，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
（2）如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），若a＝28．b＝14，且草坪的总面积为120平方米，求m+n的值．
25．（14分）如图1，点O是▱ABCD的对角线AC，BD的交点，过点O作OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分别为H，M，若OH≥OM，我们称λ＝是▱ABCD的中心距比．
（1）如图2，当λ＝1，求证：▱ABCD是菱形；
（2）如图3，当∠ABC＝90°，且AB＝OB，求▱ABCD的λ值；
（3）如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点B出发．沿线段BC向终点C运动，动点Q自C出发，沿线段CA向终点A运动，P、Q两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位，连结PQ，以PQ、AQ为邻边作▱AQPE，若▱AQPE的中心距比λ＝．求点P的运动时间．



2022-2023学年福建省三明市尤溪县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每题只有一个正确选项。）
1．（4分）将一元二次方程3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项的系数是（　　）
A．﹣4 B．2 C．4 D．3
【解答】解：将一元二次方程3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）3x2+4x﹣2＝0后，一次项的系数是4．
故选：C．
2．（4分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝4，则线段BC的长是（　　）

A．2 B．4 C．1 D．
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则，即＝2，
解得：BC＝2，
故选：A．

3．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，
又∵AB＝AE，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
4．（4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A．x2＝1 B．x2＝x C．（x﹣1）2＝0 D．（x+1） 2＝﹣1
【解答】解：方程x2＝1整理得x2﹣1＝0，
∵Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，
∴选项A中方程有两个不相等实数根；
方程x2＝x整理得x2﹣x＝0，
∵Δ＝1﹣4×1×0＝1＞0，
∴选项B中方程有两个不相等实数根；
方程（x﹣1）2＝0整理得x2﹣2x+1＝0，
∵Δ＝4﹣4×1×1＝0，
∴选项C中方程有两个相等的实数根；
方程（x+1）2＝﹣1整理得x2+2x+2＝0，
∵Δ＝4﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴选项D中方程没有实数根．
故选：C．
5．（4分）如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（　　）

A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2＝，
故选：A．
6．（4分）甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频本，绘出的统计图如图所示，则符合这结果的实验可能是（　　）

A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子任取一个球，则取到红球的概率
B．任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
【解答】解：A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：≈0.33，正确；
B、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
D、掷一枚正六面体的骰子，出现某一特定面的概率为，故此选项错误；
故选：A．
7．（4分）如图，已知矩形ABCD中，下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是（　　）

A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BC D．AC⊥BD
【解答】解：A、当AC＝BD时，只能判定四边形ABCD是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
B、矩形ABCD的四个角都是直角，则AB⊥BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
C、矩形ABCD的对边AD＝BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
D、当矩形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD时，该矩形是正方形，故本选项正确；
故选：D．
8．（4分）如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝2的根是（　　）
x
……
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
……
ax2+bx
……
12
6
2
0
0
2
6
12
……
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝4
【解答】解：由表中数据得当x＝﹣1时，ax2+bx＝2；
当x＝2时，ax2+bx＝2；
所以方程ax2+bx＝2的解为x1＝﹣1，x2＝2．
故选：B．
9．（4分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
10．（4分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　）

A．5 B．6 C． D．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，

故选：C．
二、填空题（共6题.每题4分，满分24分。）
11．（4分）如果4a＝5b，那么a：b＝　5：4　．
【解答】解：根据比例的基本性质，由等式4a＝5b可得比例：a：b＝5：4．
故答案为：5：4．
12．（4分）矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若AO＝3，则BD的长为 　6　．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，
∵AO＝3，
∴CO＝3，
∴AC＝3+3＝6，
∴BD＝AC＝6，
故答案为：6．
13．（4分）一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是 　　．
【解答】解：P（这个球是白球）＝．
故答案为：．
14．（4分）对于解一元二次方程（x+3）2＝4，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+3＝2，则另一个一元一次方程是 　x+3＝﹣2　．
【解答】解：（x+3）2＝4，
∴x+3＝±2，
∴x+3＝2或x+3＝﹣2，
故答案为：x+3＝﹣2．
15．（4分）对于一元二次方程：x2＝mx，下列是小聪求解的推理过程：
解：两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2；①
两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）；②
两边都除以x﹣m，得x+m＝m； ③
两边都减m，得x＝0． ④
以上推理过程，开始出现错误的那一步对应的序号是 　③　．
【解答】解：根据等式的基本性质可判断③错误．
故答案为：③．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　或　．

【解答】解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE，
当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，
解得：BE＝或，
故答案是：或．

三、解答题（共9题，满分86分。）
17．（8分）解方程：（1）（x﹣5）2﹣1＝0；
（2）2x2+4x﹣1＝0．
【解答】解：（1）∵（x﹣5）2﹣1＝0，
∴（x﹣5）2＝1，
∴x﹣5＝±1，
∴x1＝6，x2＝4；
（2）∵2x2+4x﹣1＝0，
∴2x2+4x＝1，
则x2+2x＝，
∴x2+2x+1＝+1，即（x+1）2＝，
∴x+1＝±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
18．（8分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，请你计算出古井水面以上部分深度AC是多少米？

【解答】解：由题意得：
BD∥AC，
∴∠D＝∠ACD，∠A＝∠ABD，
∴△BDE∽△ACE，
∴，
∴＝，
解得：AC＝7，
答：古井水面以上部分深度AC的长为7米．
19．（8分）某校计划举办“喜迎二十大”演讲比赛，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度“三个主题．
（1）若小颖随机选择其中一个主题，求她选中的主题是“5G时代”的概率是 　　；
（2）若小颖和小亮每人随机选择其中一个主题，用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个主题的概率．
【解答】解：（1）若小颖随机选择其中一个主题，则她选中的主题是“5G时代”的概率是，
故答案为：；
（2）把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度“三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小颖和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小颖和小亮恰好选择同一个主题的概率为＝．
20．（8分）如图，在12×6的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，以DE为一边画格点△DEF，使得△DEF∽△ABC．其中AB＝6，AC＝2，BC＝4，DE＝3．
（1）在图中画出△DEF；
（2）证明：△DEF∽△ABC．

【解答】解：（1）如图所示：△DEF即为所求；

（2）证明：由图可知：DF＝，EF＝2，
∵AB＝6，AC＝2，BC＝4，DE＝3，
∴＝＝＝2，
∴△DEF∽△ABC．

21．（8分）（1）如果a，b，c，d四个数成比例，即，那么ad＝bc，其变形根据是 　等式的基本性质　；反过来，如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），可以得出比例式，那么还可以得出其它哪些不同的比例式（直接写出其中三个正确的比例式即可）．
（2）如果（b﹣d≠0），那么成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）∵，
∴根据等式的基本性质，ad＝bc，
由，还可以得到＝，＝，＝；
故答案为：等式的基本性质；
（2）成立，
理由：由（1）得ad＝bc，
∴ad﹣cd＝bc﹣cd，
即d（a﹣c）＝c（b﹣d），
∴（b﹣d≠0）．
22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）求作：Rt△ABC斜边AB边上的中线CD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：CD＝AB．

【解答】（1）解：如图，CD为所作；

（2）证明：延长CD到E点使DE＝CD，
∵CD为AB边上的中线，
∴AD＝BD，
∵CD＝ED，AD＝BD，
∴四边形ACBE为平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE为矩形，
∴AB＝CE，
∴CD＝AB．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，已知PE⊥EC．
（1）求证：△AEP∽△DEC；
（2）若AB＝3，BC＝4，求AP的长．

【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC；
（2）在Rt△ADE和Rt△BAE中，∠AEB＝∠AED＝90°，
又∵∠DAE+∠BAE＝90°，
∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∴△AEB∽△DEA，
∴，
由（1）知，△AEP∽△DEC，
∴，
即，
∴AP＝．
24．（12分）有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．

（1）如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
①请写出两条小路的面积之和S＝　（2a+2b﹣4）平方米　（用含a、b的代数式表示）；
②若a：b＝2：1，且草坪的总面积为312米2，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
（2）如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），若a＝28．b＝14，且草坪的总面积为120平方米，求m+n的值．
【解答】解：（1）①根据题意，两条小路的面积之和S＝（2a+2b﹣4）平方米，
故答案为：（2a+2b﹣4）平方米；
②根据题意，得（a﹣2）（b﹣2）＝312，
又∵a：b＝2：1，
∴a＝2b，
∴原方程化为（2b﹣2）（b﹣2）＝312，
解得b1＝﹣11（不符合题意，舍去），b2＝14，
∴a＝2b＝28（米），
答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米；
（2）根据题意，得（28﹣2n）（14﹣2m）＝120，
整理得（14﹣n）（7﹣m）＝30，
∵m，n为正整数，
∴14﹣n是正整数且是30的约数，7﹣m是正整数且是30的约数，
当14﹣n＝5时，7﹣m＝6，
∴n＝9，m＝1，
∴m+n＝10；
当14﹣n＝6时，7﹣m＝5，
∴n＝8，m＝2，
∴m+n＝10；
当14﹣n＝10时，7﹣m＝3，
∴n＝4，m＝4，
∴m+n＝8，
综上所述，m+n＝8或10．
25．（14分）如图1，点O是▱ABCD的对角线AC，BD的交点，过点O作OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分别为H，M，若OH≥OM，我们称λ＝是▱ABCD的中心距比．
（1）如图2，当λ＝1，求证：▱ABCD是菱形；
（2）如图3，当∠ABC＝90°，且AB＝OB，求▱ABCD的λ值；
（3）如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点B出发．沿线段BC向终点C运动，动点Q自C出发，沿线段CA向终点A运动，P、Q两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位，连结PQ，以PQ、AQ为邻边作▱AQPE，若▱AQPE的中心距比λ＝．求点P的运动时间．


【解答】（1）证明：∵λ＝1，
∴OH＝OM．
∵OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分别为H，M，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∵OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分别为H，M，
∴∠OHB＝∠OMB＝90°，
∴四边形BMOH是矩形，
∴OM＝BH，
∵AC，BD交于点O，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∴AO＝BO，
∵AB＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝BO，
∵OH⊥AB，垂足分别为H，
∴BH＝AB＝BO，
设BH＝k（k＞0），则BO＝2k．由勾股定理得OH＝k，
∴λ＝＝＝＝；
（3）解：设▱AQPE的对角线交点为O，过O作OH⊥AQ交AC于H，过O作OM⊥PQ交PQ于M，

设运动时间为t秒，由题意得：CQ＝t，AQ＝6﹣t，BP＝t，CP＝6﹣t，
在Rt△PCQ中，PQ2＝CP2+CQ2，
∴PQ＝，
∵四边形AQPE是平行四边形，
∴S△AQO＝S△PQO，
∴，
∵PQ＞PC＝AQ，
OH＞OM，
∴，
∵λ＝，
∴＝，
化简得：3t2﹣32t+64＝0，
∴t1＝，t2＝9（舍），
∴点P运动时间为秒，
故答案为：．