2024年春季高三开学摸底考试数学试卷 新高考版(含答案)

这是一份2024年春季高三开学摸底考试数学试卷 新高考版(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则为( )
A.B.C.D.
2．已知复数,则( )
A.1B.2C.D.
3．直线被圆所截得的弦长为( )
A.B.4C.D.
4．函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．设等比数列前n项和为,若,,则( )
A.54B.53C.52D.51
6．正方形ABCD的边长为2,O是正方形ABCD的中心,过中心O的直线l与边AB交于点M,与边CD交于点N,P为平面内一点,且满足,则的最小值为( )
A.B.C.-2D.
7．函数在区间上的零点个数为( )
A.1B.2C.3D.4
8．已知抛物线的焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线,,且直线,分别与抛物线C交于A,B和D,E,则的最小值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则，D.若，，则
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则( )
A.B.函数的图象关于点对称
C.，D.函数在上无最小值
11．甲、乙两同学玩纸牌游戏（纸牌除颜色不同外，没有其他任何区别），他们手里先各持4张牌，其中甲同学手里有2张黑牌，2张红牌，乙同学手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机拿出1张牌进行交换，交换后甲、乙两同学手中的红牌分别有X张、Y张，则( )
A.B.C.D.
12．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，则下列说法正确的是( )
A.与所成的角是
B.平面与平面所成的锐二面角的余弦值是
C.直线与平面所成的角的正弦值是
D.M是线段上的动点，N为的中点，则点P到平面的距离的最大值为
三、填空题
13．的展开式中含的项的系数是_____________.
14．如图，四棱台的底面是正方形，底面，，则直线与所成角的余弦值为__________.
15．已知是R上的奇函数,且对,有,当时,,则________.
16．如图,,是椭圆与双曲线的公共焦点,A,B分别是、在第二、四象限的交点,若,则与的离心率之积的最小值为________．
四、解答题
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.
（1）求A；
（2）若D为的中点，且，求的面积.
18．如图，在直角梯形ABCE中，，，D为AE的中点，将沿CD折起到的位置，使得.
（1）求证：；
（2）求平面与平面ABCD所成的角的余弦值.
19．已知等差数列的前n项和为，满足.
（1）求的值；
（2）设，数列的前n项和为，求证：.
20．自限性疾病是指病情具有自我缓解特点、能够自行消散的疾病．已知某种自限性疾病在不用药物的情况下一般10天后可以康复．为研究A药物对该自限性疾病的作用,某研究所对其进行了双盲实验,把100名初患该疾病的志愿者随机平均分成两组,甲组正常使用A药物,乙组用安慰剂代替用药,经统计得到以下列联表：
（1）依据列联表所给数据,能否有99%的把握认为用A药物与小于10天康复有关？
（2）若将甲组中10天后康复的频率视为A药物无效的概率,现从患该疾病且用了A药物的人中随机抽取4人,记其中A药物对其无效的人数为X,求X的分布列和数学期望．
附：,．
双盲实验：在试验过程中,测验者与被测验者都不知道被测者所属的组别（实验组或对照组）,分析者在分析资料时,通常也不知道正在分析的资料属于哪一组,旨在消除可能出现在实验者和参与者意识当中的主观偏差和个人偏好．
安慰剂：是指没有药物治疗作用,外形与真药相像的片、丸、针剂．
21．已知双曲线(,)的右顶点为A,左焦点为F,过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直,垂足为N,且.
（1）求C的方程.
（2）过点的直线交C于,两点,直线AP,AQ分别交y轴于点G,H,试问在x轴上是否存在定点T,使得?若存在,求点T的坐标;若不存在,请说明理由.
22．已知函数.
（1）当时,求的最大值;
（2）若恰有一个零点,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以
而,所以
故选：B.
2．答案：D
解析：,
.
故选：D.
3．答案：A
解析：由已知,圆,圆心坐标为,半径为3,
所以点到直线的距离为,
所以,直线被圆截得的弦长为.
故选:A.
4．答案：B
解析：函数,定义域为,,
所以函数为奇函数,则排除AD项;
当时,,,所以有,所以,B项符合条件.
故选：B.
5．答案：C
解析：由题意等比数列的前n项和为,所以,(是公比),
同理,所以.
故选:C.
6．答案：D
解析：设,可得,故C,B,Q三点共线,又O,P,Q三点共线,故Q为直线OP与BC的交点.
·,又,
可得·,又,所以·.
故选：D.
7．答案：B
解析：.记，则.当时，，，则，当时，，，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，，所以必存在使得，于是在上单调递减，在上单调递增.又，，所以在区间上必存在一个零点.综上，函数在区间上有2个零点.故选B.
8．答案：B
解析：由抛物线方程得：;
由题意知：直线,的斜率存在且不为0,设,,,
由得：,,此时,
,,
同理可得：,,
（当且仅当,即时取等号）,
的最小值为72.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：因为，所以，，所以，故A正确；若，则，，所以，故B正确；令，，满足，不满足，故C错误；因为，，所以，故D正确.故选ABD.
10．答案：BC
解析：由题图可知，，，所以，即，所以.将点代入，得，即，所以，，即，，又，所以，即，故A错误.，所以函数的图象关于点对称，故B正确.若，，则函数的图象关于直线对称，由函数图象易知C正确.由题图知当时，函数取得最小值-2，故D错误.故选BC.
11．答案：AD
解析：设“甲同学取出1张红牌”为事件A，“乙同学取出1张红牌”为事件B，则，，则X的可能取值为1，2，3，且，
则，，，
所以，
所以，
，
故选AD.
12．答案：AC
解析：以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
对于A，，，
所以，
所以与所成的角为，故A正确；
对于B，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，所以，
易知平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值是，故B错误；
对于C，因为，平面的一个法向量为，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值是，
故C正确；
对于D，因为，，所以，设，，，则，所以，所以，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，所以，因为，
所以点P到平面的距离，
当时，点M与点P重合，此时点P到平面的距离为0，当时，，所以，所以.综上所述，点P到平面的距离的取值范围为，即最大值为，故D错误.
故选AC.
13．答案：-56
解析：其展开式的通项为，令，解得，故展开式中含的项的系数为.
14．答案：
解析：设AB的中点为E，连接，则易知，，四边形是平行四边形，，为直线与所成的角.四边形ABCD是正方形，，底面，，又，平面，，所以是直角三角形.设，则，，.
15．答案：
解析：由,,得,即函数的周期为4,
由,得,则,即,
又是R上的奇函数,且当时,,,
所以
.
故答案为:
16．答案：
解析：设椭圆方程为,
双曲线方程为,
如下图,连接,所以为平行四边形,
由得,设,
在椭圆中,由定义可知：,
由余弦定理可知：
,
,
在双曲线中,由定义可知中：：,
由余弦定理可知：
,
,
所以,
,当且仅当时取等号,
所以,
所以与的离心率之积的最小值为．
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
由正弦定理得，
化简得.
因为，，所以.
因为，所以.
（2）方法一：因为D为的中点，所以，等式两边平方得，即①.在中，由余弦定理得②，联立①②解得，所以.
方法二：在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得.由，得，整理得.在中，由余弦定理得，代入得.故.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由题知在直角梯形ABCE中，，
，，
又，
所以平面.
又平面，.
（2）取AD的中点O，连接，
由，，得是等边三角形，则.
又（1）知平面，
，又，所以平面ABCD.
以过点O且平行于AB的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，则.
易知为平面ABCD的一个法向量，
设平面与平面ABCD所成的角为，
则，
即平面与平面ABCD所成的角的余弦值为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知，当时，，当时，由，所以，
当时，由，所以.
因为为与的等差中项，所以，所以.
（2）由（1）得，故时，，又符合上式，所以，则，所以，所以，
两式相减得
，所以.
因为，所以是递增数列，即，即.又，所以.
20．答案：（1）有99%的把握认为用A药物与小于10天康复有关;
（2）答案见解析.
解析：（1）根据列联表,可计算
所以有99%的把握认为用A药物与小于10天康复有关.
（2）记A药物无效的概率为p,则,
依题意可知,则,,1,2,3,4
,,
,,
X的分布列如下：
故.
21．答案：（1）
（2）存在,
解析：（1）因为FN的斜率为1,且,
所以,即,因为,则,
所以,由,则,
所以双曲线C的方程为;
（2）设直线AP的方程为,AQ的方程为,
则,,设存在定点,使得,
则,所以.
当PQ不垂直于x轴时,设直线PQ的方程为,
联立方程组,消去y得,
,
所以,.
因为,
所以,
所以,即存在定点,使得;
当PQ垂直于x轴时,直线PQ的方程为,联立方程组,
解得,设,由,得,
所以存在定点,使得;
综上,在x轴上存在定点,使得.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以;
（2）,,则,
当时,,所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以,此时函数无零点,不合题意;
当时,,在,上,,单调递增;
在上,,单调递减;
又,
由（1）得,即,所以,
当时,,
则存在,使得,
所以仅在有唯一零点,符合题意;
当时,,所以单调递增,又,
所以有唯一零点,符合题意;
当时,,在,上,,单调递增;
在上,,单调递减;此时,
由（1）得当时,,,所以,
此时
存在,使得,
所以在有一个零点,在无零点,
所以有唯一零点,符合题意;
综上,a的取值范围为.
小于10天康复
10天后康复
合计
甲组
30
20
50
乙组
10
40
50
合计
40
60
100
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
X
0
1
2
3
4
P