【开学摸底考】高三数学02（新考点，新高考七省地区专用）-2023-2024学年高三数学下学期开学摸底考试卷.zip

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（ ）
A．的值等于1B．
C．的值等于2D．
5．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有
A．240种B．188种C．156种D．120种
7．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设z，，是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知，则（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，，则的最大值为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为
B．函数是增函数
C．不等式的解集为
D．
12．在四棱锥中，平面，，，四棱锥的外接球为球O，则（ ）
A．⊥B．
C．D．点O不可能在平面内
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，，则 .
14．已知向量的夹角为，，则 ， ．
15．已知，数列为，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，则数列的前30项和为 ．
16．若存在正实数满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
记的内角的对边分别为，已知，．
(1)求的值；
(2)边的垂直平分线交边于点，若，求的面积．
18．（12分）
设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)证明：.
（12分）
如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
20．（12分）
已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．
(1)求三人均被分至同一队的概率；
(2)记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求．
21．（12分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线的浙近线方程为分别是双曲线的左､右顶点.
(1)求的标准方程；
(2)设是直线上的动点，直线分别与双曲线交于不同于的点，过点作直线的垂线，垂足为，求当最大时点的纵坐标.
22．（12分）
已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
(1)当，时，写出的所有可能值；
(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.