2024年秋季高三开学摸底考试数学试卷 B卷(含答案)

这是一份2024年秋季高三开学摸底考试数学试卷 B卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．在平行四边形中,G为的重心,满足,则( )
A.B.C.0D.-1
3．第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行,如图是本次大会的会标,会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3,7,4,4,这是中国古代八进制计数符号,换算成现代十进制是,正是会议计划召开的年份,那么八进制数换算成十进制数,则换算后这个数的末位数字是( )
A.1B.3C.5D.7
4．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则m的值可能为( )
A.B.C.D.
5．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知函数的图象在点处的切线方程为.若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知A,B,C,D四点都在表面积为的球O的表面上,若球O的直径,且,则三棱锥体积的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知函数,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在复数集内,下列命题是真命题的是( )
A.若复数,则
B.若复数z满足,则
C.若复数,满足,则
D.若复数z满足,则
10．已知函数与的定义域均为R,,,且,为偶函数,则下列选项正确的是( )
A.函数的图象关于对称B.
C.D.
11．已知抛物线C过点，则( )
A.拋物线C的标准方程可能为
B.挞物线C的标准方程可能为
C.过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D.过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
三、填空题
12．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于________.
13．已知圆,直线,P为l上的动点,过点P作圆C的切线,切点为M,则的最小值为____________.
14．某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,8,10,12.已知这组数据的平均数为10,标准差为,则的值为______________.
四、解答题
15．为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物试验,根据40个有放回简单随机样本的数据,得到如下列联表：
（1）补全下面的列联表（单位：只）;
（2）依据的独立性检验,分析药物A对预防疾病B的有效性.
参考公式：,其中.
参考附表：
16．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点O，点P在线段上，且.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
17．在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左,右顶点分别为A 、B, 点F是椭圆的右焦点,,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点,记直线l、AM、AN的斜率分别为k,,.若,证明直线l过定点, 并求出定点的坐标.
18．已知函数,.
（1）讨论的单调性并求极值.
（2）设函数（为的导函数）,若函数在内有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
19．已知函数在一个周期内的图象如图所示,将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象.
（1）求的单调递增区间;
（2）在中,若,,,求.
参考答案
1．答案：C
解析：,,又,
.
2．答案：C
解析：设,相交于点O,G为的重心,
可得O为中点,,
,所以,,所以.
3．答案：C
解析：由进位制的换算方法可知,八进制换算成十进制得:
,
因为是10的倍数,
所以,换算后这个数的末位数字即为的末尾数字,
由可得,末尾数字为5.
故选:C
4．答案：B
解析：由题意得，，，，，又，，，，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为，由题意可知，函数为奇函数，，，当时，，故选B.
5．答案：B
解析：连接、、,则,
由切线长定理可知,
,又因为,所以,,所以,,则,
设点,则,且,
所以,$
所以,,故
故选:B.
6．答案：B
解析：由题意，得，，，.令，得，.当或时，，在，上单调递增；当时，，在上单调递减当时，有极大值；当时，有极小值.若要使至少有两个不同的零点，只需，解得.故选B.
7．答案：D
解析：设球O的半径为R,因为球O的表面积为,故,即,
,,设的外接圆半径为r,圆心为,
根据正弦定理知,,即,
,
AD是直径,O是AD中点,故D到平面ABC的距离为,
在中,根据余弦定理得,,
即,
,当且仅当时,等号成立,
面积的最大值为,
三棱锥A－BCD体积的最大值.
故选:D.
8．答案：B
解析：函数,则,
因,则不等式成立必有,即,
令,,求导得,当时,,
当时,,因此,函数在上单调递减,在上单调递增,
又,
当时,,于是得,即,令,
当时,,函数在上单调递减,,,因此,无解,
当时,,于是得,即,此时,
函数在上单调递增,,,不等式解集为,
所以不等式的解集为.
故选：B.
9．答案：AD
解析：对于A,若复数,则,,故A为真命题.
对于B,若复数,则,但,故B为假命题;
对于C,若复数,满足,但,故C为假命题;
对于D,设复数,则,
若,则,所以,故D为真命题;
10．答案：ABD
解析：为偶函数,,即有,A正确;,令,可得,又,,B正确;
,,①,②
将①②式与联立化简得,,,,即与的周期均为4,,
,,
,C错误;
又,
,,
,,,
,D正确.
11．答案：ABD
解析：对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线C中得，则拋物线C的方程为，故A正确；
对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线C中得，则抛物线C为，故B正确；
对于C、D选项，过点A与对称轴平行的直线，以及抛物线在点A处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.
故选：ABD.
12．答案：112
解析：的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，
通项公式为，令，求得，
可得二项展开式常数项等于。
故答案为：112.
13．答案：
解析：将圆C化为标准方程为：,
所以圆C的圆心为,半径为5,因为,
所以,
所以当时,取得最小值,
因为圆心到直线l的距离,
所以的最小值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：平均数为,即①,
方差为,
即②,
由①②解得,或,,
所以当,时,；当,,
故答案为：.
15．答案：（1）见解答;
（2）,药物A对预防疾病B无效
解析：（1）列联表如下：
（2）零假设为：药物A对疾病B无效.
根据列联表中的数据,经计算得到
根据小概率值的独立性检验,我们没有充分证据推断不成立,可以认为成立,即认为药物A对预防疾病B无效.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）平面平面，且两平面交于，又，
平面.
在中，，，.
且，是等腰直角三角形，
，.
，，
又，为等腰直角三角形，.
，，
又，所以，平面,平面，
平面.
（2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系.
可得，，，
即，.
设平面的法向量为，则，
解得.
平面的法向量为.
设二面角为，所以，
则.
17．答案：(1);
(2)证明见解析,.
解析：(1)由题意, 知,,
,,
解得从而
椭圆C的方程;
(2)设直线l的方程为，，.
直线l不过点A,因此.
由得.
时,，,
.
由, 可得, 即,
故l的方程为,恒过定点.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为在R上单调递增,
所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以的极小值为,无极大值.
（2）因为,
所以,
当时,,
所以当或时,在上单调,至多只有一个零点,不满足题意,
当时,由可得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以要使函数在内有两个不同的零点,则有,
由可得,下面证明当时,
令,则,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以,
所以当时,
综上：实数a的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由图象可知,所以.
又因为最高点是,所以,,即,.
又因为,所以,,所以.
将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象,
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,
得到函数的图象.
令,,
所以,,
故的单调递增区间为.
（2）因为,所以.
又,所以,所以或,
所以或.
当时,由余弦定理,得,所以;
当时,由勾股定理,得,所以.
故边的长为或.
药物A
疾病B
合计
未患病
患病
未服用
7
服用
8
19
合计
0.100
0.050
0.025
2.706
3.841
5.024
药物A
疾病B
合计
未患病
患病
未服用
14
7
21
服用
8
11
19
合计
22
18
40