2023届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅱ卷）

2023届高三开学摸底考试数学试卷

（新高考Ⅱ卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，则(   )

A. B. C. D.

2.(   )

A. B. C. D.

3.已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数的值为(   )

A. B. C. D.

4.已知向量，，，则m的值为(   )

A. B.0 C. D.

5.为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有(   )

A.12种 B.28种 C.20种 D.16种

6.已知为锐角，且，，则(   )

A. B. C. D.

7.在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

8.已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点(1，0)对称，当时，，则的值为(   ).

A.-2 B.-1 C.0 D.1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列关于函数的说法正确的是(   ).

A.在区间上单调递增

B.最小正周期是π

C.图象关于点中心对称

D.图象关于直线对称

10.已知抛物线的焦点为是该抛物线上两点，则下列结论正确的是(   )

A.点F的坐标为

B.若直线MN过点F，则

C.若，则的最小值为

D.若，则线段MN的中点P到x轴的距离为

11.如图所示，为正方体，以下四个结论中正确的有(   )

A.平面

B.直线与BD所成的角为60°

C.二面角的正切值是

D.与底面ABCD所成角的正切值是

12.设，则下列结论正确的是(   )

A.函数的最小值为2

B.不等式恒成立

C.函数的最小值为

D.若，则的最小值是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设随机变量，若，则______.

14.已知函数，则函数在处的切线方程为__________.

15.已知圆，直线，若直线l与圆C交于A，B两点，且，则_______________.

16.已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆C上，点，若直线的交点为为坐标原点，则的取值范围为____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.记为数列的前n项和.已知.

（1）证明：是等差数列；

（2）若，，成等比数列，求的最小值.

18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

(1)求角A；

(2)若的外接圆半径，，求的面积.

19.交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数.

(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数.

(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.

20.如图，五面体中，四边形为等腰梯形，，且.

(1)求证:平面;

(2)若平面平面，且平面平面，求二面角的余弦值.

21.已知双曲线C的一条渐近线方程为，，分别为双曲线的左、右焦点.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）P为双曲线C上任意一点，连接直线PM，PN分别交C于点A，B，且，，求证：为定值，并求出该定值.

22.已知函数.

(1)若，讨论的单调性；

(2)若方程有两个不同的实数根.

(i)求m的取值范围；

(ii)若，求证：.

(参考数据：)

答案以及解析

1.答案：C

解析：解不等式，即，解得，则，故选C.

2.答案：D

解析：.故选D.

3.答案：B

解析：因为P，B，C三点共线，所以，所以，，所以，，故选B.

4.答案：D

解析：由，可得，解得，故选D.

5.答案：C

解析：若中心组学习安排在第1阶段，则其余四种活动的安排方法有（种）；若中心组学习安排在第2阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3，4阶段或者第4，5阶段，专题报告会、党员活动日分别安排在剩下的2个阶段，不同的安排方法有（种）.故共有种不同的安排方案.

故选：C.

6.答案：A

解析：因为为锐角，所以.

由得，

则.又，

故，故选A.

7.答案：A

解析：设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故，则的面积.由三棱柱的体积为可得，故.设三棱柱外接球的半径为R，则，故该三棱柱外接球的表面积为.

8.答案：C

解析：因为是R上的偶函数，所以，又的图象关于点(1，0)对称，则，所以，则，得，即，所以是周期函数，且周期，当时，，则，，则，则.

9.答案：ABD

解析：令，，

得，，又在此区间上，故A正确；

，故B正确；

因为的图象关于点，中心对称，所以令，，得，，所以的图象关于点，中心对称，故C错误；

由的图象关于直线，对称可知，的图象关于直线，对称，当时，，故D正确.故选ABD.

10.答案：BCD

解析：本题考查抛物线的定义与标准方程、抛物线的焦点弦性质.

对于选项A：易知点F的坐标为，故A错误；

对于选项B：由题意知直线MN的斜率必然存在，所以若直线MN 过焦点F，则可设直线MN的方程为，由得，则，故B正确；

对于选项C：若，则直线MN过焦点F，则的最小值即为抛物线的通径长，最小值为，故C正确；

对于选项D：抛物线的焦点为，准线方程为，过点M，N，P分别作准线的垂线，垂足分别为（图略），所以，所以，所以，所以线段MN的中点P到x轴的距离为，故D正确.

故选BCD.

11.答案：AB

解析：如图，连接.，，，平面.平面，.同理，.，平面，故A正确.，异面直线与BD所成的角是或其补角.是等边三角形，，故B正确.设，连接OC，则是二面角的平面角，，故C不正确.连接AC，平面ABCD，是与底面ABCD所成的角，，故D不正确.

12.答案：BD

解析：函数，当且仅当时取等号，又，所以表达式没有最小值，所以A不正确;不等式，当且仅当时取等号，所以B正确;函数，当且仅当时，函数取得最大值，所以C不正确;若，则，当且仅当时，表达式取得最小值，所以D正确.故选BD.

13.答案：0.68

解析：由正态分布的性质可知，所以.

14.答案：

解析：因为，所以切点坐标为，函数在处的切线斜率，所以所求的切线方程为，即.

15.答案：22

解析：由题可得圆C的标准方程为，圆心，半径，由，得或.

圆心C到直线l的距离，因为直线l与圆C交于A，B两点，且，所以，得，解得或，又或，故.

16.答案：

解析：本题考查椭圆的方程、直线的方程.依题意，得，则，易知，则直线MP的斜率，直线MP的方程为，直线NQ的斜率，直线NQ的方程为，联立解得即.则，由，得的取值范围为.

17.答案：（1）证明见解析

（2）-78

解析：（1）由，得①，
所以②，
②-①，得，
化简得，

所以数列是公差为1的等差数列.

（2）由（1）知数列的公差为1.
由，得，
解得.
所以，
所以当或13时，取得最小值，最小值为-78.

18.答案：(1).

(2).

解析：(1)因为，所以由正弦定理，得，

所以，

所以，

所以，

即，又，

所以.

又，故.

(2)由题意知.

由余弦定理，得，

所以，则，

故.

19.答案：(1)轻度拥堵的路段有6个；中度拥堵的路段有9个；严重拥堵的路段有3个

(2)分别抽取的个数为2，3，1

(3)概率为

解析：(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，

轻度拥堵的路段有(个)，

中度拥堵的路段有(个)，

严重拥堵的路段有(个).

(2)由(1)知，拥堵路段共有(个)，

按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，

即从交通指数在的路段中分别抽取的个数为2，3，1.

(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，抽取的3个中度拥堵路段为，

抽取的1个严重拥堵路段为，

从这6个路段中抽取2个路段，试验的样本空间为，

共15个样本点，其中至少有1个路段为轻度拥堵的包含的样本点有：

，共9个.

所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.

20.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)因为，平面平面，故平面.

又平面平面，所以，

则，

又，所以四边形为平行四边形，

则，

又平面平面，所以平面.

(2)过E作于点P，因为平面平面，且平面平面，因此平面，过E作于点Q，又平面平面，且平面平面，因此平面，而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，因此重合于，即平面.

以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，，

则.

设平面的法向量为，

则，得，

令，则，

故平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

则，得，

令，则，

故平面的一个法向量为，

因此，

由图易知二面角为钝二面角，

故二面角的余弦值为.

21.答案：（1）

（2）见解析

解析：（1）由题意可设双曲线C的标准方程为，

由已知得，则解得，，

故双曲线C的标准方程为.

（2）由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，

设，，.

若直线PB的斜率存在，则，

则直线PB的方程为.

联立消去x整理得，

将代入上式整理得，，，

则，

故.

（根据向量的关系转化为坐标间的关系）

同理可得，故.

若直线PB的斜率不存在，则，此时轴，，直线PA的方程为.

联立消去x整理得，

解得，

故，此时.

综上所述，为定值.

一题多解  由于P，N，B三点共线，设，，

又，所以由，，，得①.

由于

将上述两式相减可得②.

将①代入②可得③.

①+③得，解得，，

故，

同理可得，故.

22.答案：(1)在上单调递减.

(2)(i)取值范围为.

(ii)证明过程见解析.

解析：(1)的定义域为，

当时，.

设，则，

由得，当时，；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值为，

，即在上恒成立，

在上单调递减.

(2)(i)由得，

即.

设，

则.

由可得，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

有极大值也是最大值，当时，，当时，.

要使有两个不同的实数根，则，即，

即实数m的取值范围为.

(ii)证明：，由比例的性质可得，

即，

故.

设，由可得，

设系数，

则，

设，

则，

在上单调递增，

故，

故，

在上单调递增，

故，

，故.