2023-2024学年湖南省怀化市麻阳县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省怀化市麻阳县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
2．下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cmD．1cm，3cm，4cm
3．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a2＜b2B．2a＜2bC．a﹣3＜b﹣3D．﹣＞﹣
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．对应角相等的三角形全等
B．相等的角是对顶角
C．等腰三角形的两底角相等
D．若a＞b，则a2＞b2
5．不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．1的平方根是1B．﹣1的立方根是﹣1
C．的平方根是±2D．3是9的一个平方根
7．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝5，CF＝3，则BD的长是（ ）
A．0.5B．1C．2D．1.5
9．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4B．m＜4C．m≥4D．m＞4
10．已知，如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，依下列步骤进行尺规作图：
（1）以C为圆心，CA为半径画弧；
（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点D；
（3）连接BD，交AC延长线于点E．
小明同学依据作图，写出了下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．∠ABC＝∠CBEB．BE＝DE
C．AC⊥BDD．S△ABC＝AC•BE
三、填空题：（本题共8个小题，请将正确答案填写到答题卡上相应的位置.每小题3分，共24分。）
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是 个．
13．某红外线波长为0.0000094mm，用科学记数法表示这个数是 mm．
14．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x+y等于 ．
15．如图，在△ABC（AB＜AC）中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为 ．
16．当m＝ 时，解分式方程会出现增根．
17．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．
18．如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2022与∠A2022CD的平分线相交于点A2023，得∠A2023，则∠A2023度数是 ．
三、解答题：（本题共8个小题，共66分。解答题要求写出证明步骤或解答过程.）
19．计算：．
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC边上的一点D，连接AD，AD＝BD，求∠CAD的度数．
21．先化简，再求值：，其中．
22．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ABC≌△CFE；
（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的长．
24．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
25．阅读下列解题过程：，，
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的解法，请化简：．
26．已知，如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．BF⊥CE于点F，BF交CD于点G．
（1）若∠ACE＝20°，则∠CBG＝ 度；
（2）求证：AE＝CG；
（3）如图2，AH⊥CE，垂足为点H，AH的延长线交CD的延长线于点M，请找出图中与BE相等的线段，并证明．
参考答案
一、选择题：（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置.每小题3分，共30分）
1．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．
解：∵分式的值为0，
∴x﹣2＝0，x+1≠0，
解得：x＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
2．下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cmD．1cm，3cm，4cm
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分别判断出即可．
解：∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∵1+2＜4，∴无法围成三角形，故此选项A错误；
∵4+6＞8，∴能围成三角形，故此选项B正确；
∵5+6＜12，∴无法围成三角形，故此选项C错误；
∵1+3＝4，∴无法围成三角形，故此选项D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，此定理应用比较广泛，同学们应熟练应用此定理．
3．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a2＜b2B．2a＜2bC．a﹣3＜b﹣3D．﹣＞﹣
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
解：（A）当a＝﹣3，b＝1时，此时a2＞b2，故A错误．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．对应角相等的三角形全等
B．相等的角是对顶角
C．等腰三角形的两底角相等
D．若a＞b，则a2＞b2
【分析】根据全等三角形的定义、对顶角的定义、等腰三角形的性质等判断求解即可．
解：对应角相等的三角形相似，但不一定全等，故A是假命题，不符合题意；
相等的角不一定是对顶角，故B是假命题，不符合题意；
等腰三角形的两底角相等，故C是真命题，符合题意；
若a＞b，则a2＞b2或a2＝b2或a2＜b2，故D是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
5．不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可．
解：不等式x＞4的解集在数轴上表示，
故选：D．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是正确解答的前提．
6．下列说法错误的是（ ）
A．1的平方根是1B．﹣1的立方根是﹣1
C．的平方根是±2D．3是9的一个平方根
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
解：A、1的平方根是±1，故A符合题意．
B、﹣1的立方根是﹣1，故B不符合题意．
C、＝4，4的平方根是±2，故C不符合题意．
D、3是9的平方根，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练正确理解平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
7．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝2+3＝5，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
8．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝5，CF＝3，则BD的长是（ ）
A．0.5B．1C．2D．1.5
【分析】根据平行线的性质，得出∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，根据全等三角形的判定，得出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质，得出AD＝CF，根据AB＝5，CF＝3，即可求线段DB的长．
解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∵AB＝5，
∴DB＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定△ADE≌△FCE是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．
9．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4B．m＜4C．m≥4D．m＞4
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出3﹣m＜，再求出不等式的解集即可．
解：，
解不等式①，得x＜3﹣m，
解不等式②，得x＞，
∵关于x的不等式组有解，
∴3﹣m＞，
解得：m＜4，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
10．已知，如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，依下列步骤进行尺规作图：
（1）以C为圆心，CA为半径画弧；
（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点D；
（3）连接BD，交AC延长线于点E．
小明同学依据作图，写出了下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．∠ABC＝∠CBEB．BE＝DE
C．AC⊥BDD．S△ABC＝AC•BE
【分析】利用作法得到CA＝CD，BD＝BA，则BC垂直平分AD，然后根据等腰三角形的性质可判断BC平分∠ABD．
解：由作法得CA＝CD，BD＝BA，
∴BC垂直平分AD，
∴BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠CBE．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
三、填空题：（本题共8个小题，请将正确答案填写到答题卡上相应的位置.每小题3分，共24分。）
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式的性质即可直接求解．
解：根据二次根式的性质可知，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题主要考查二次根式的性质，二次根式中的被开方数是非负数．
12．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是 1 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
解：0，，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
﹣0.101001是有限小数，属于有理数；
无理数有π，共1个．
故答案为：1．
【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
13．某红外线波长为0.0000094mm，用科学记数法表示这个数是 9.4×10﹣6 mm．
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
解：0.0000094＝9.4×10﹣6．
故答案为：9.4×10﹣6．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x+y等于 1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：由题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
所以，x+y＝2+（﹣1）＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15．如图，在△ABC（AB＜AC）中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为 9cm ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE＝CE，然后求出△ABE的周长＝AB+AC，代入数据进行计算即可得解．
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC，
∵AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，
∴AB+15＝24，
解得AB＝9，
故答案为：9cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABE的周长＝AB+AC是解题的关键．
16．当m＝ 6 时，解分式方程会出现增根．
【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程会出现增根只能是，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值．
解：分式方程会出现增根，
则2x﹣1＝0即，
，
去分母得，2x﹣1+m＝6，
将代入得m＝6，
即当m＝6时，原分式方程会出现增根．
故答案为：6．
【点评】本题考查了分式方程增根的概念，增根是使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．
17．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 20 cm．
【分析】连接AB．利用等边三角形的判定可得结论．
解：连接AB．
∵OA＝OB，∠AOB＝60°．
∴△OAB是等边三角形．
∴AB＝OA＝20cm．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等边三角形，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键．
18．如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2022与∠A2022CD的平分线相交于点A2023，得∠A2023，则∠A2023度数是 x° ．
【分析】利用三角形的外角性质及角平分线的性质，可得出∠A1＝∠A＝x°，同理，可得出∠A2＝∠A1＝x°，∠A3＝∠A2＝x°，∠A4＝∠A3＝x°，∠A5＝∠A4＝x°，……，再根据角的变化，即可找出∠An＝x°（n为正整数），进而可得出∠A2023＝x°．
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC．
∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
∵∠A1CD是△A1BC的外角，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠A+∠ABC）﹣∠ABC＝∠A＝x°．
同理，可得：∠A2＝∠A1＝x°，∠A3＝∠A2＝x°，∠A4＝∠A3＝x°，∠A5＝∠A4＝x°，……，
∴∠An＝x°（n为正整数），
∴∠A2023＝x°．
故答案为：x°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及规律型：数字的变化类，根据各角之间的关系，找出“∠An＝x°（n为正整数）”是解题的关键．
三、解答题：（本题共8个小题，共66分。解答题要求写出证明步骤或解答过程.）
19．计算：．
【分析】根据立方根，算术平方根，平方差公式进行计算即可求解．
解：原式＝3﹣（﹣1）﹣4+2﹣1
＝3+1﹣4+2﹣1
＝1．
【点评】本题考查实数的运算和平方差公式，熟记运算法则是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC边上的一点D，连接AD，AD＝BD，求∠CAD的度数．
【分析】根据三角形内角和定理算出∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质解答即可．
解：∵∠B＝45°，∠C＝30°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝105°﹣45°＝60°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
21．先化简，再求值：，其中．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后把x的值代入计算即可．
解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝+1时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
22．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定非负整数解即可．
解：，
解①得x＞﹣2，
解②得x≤．
则不等式组的解集是：﹣2＜x≤．
则非负整数解是：0，1、2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ABC≌△CFE；
（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的长．
【分析】（1）由同角的余角相等得到∠A＝∠ECF，根据“ASA”定理即可证得△ABC≌△CFE；
（2）根据全等三角形的性质即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵EF⊥CE，
∴∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ECF＝90°﹣∠ACE，
在△ABC和△CFE中，
，
∴△ABC≌△CFE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△CFE，
∴CF＝AB＝9，CB＝EF＝4，
∴BF＝CF﹣CB＝5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
24．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．
解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，
∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25．阅读下列解题过程：，，
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝ 10﹣3 ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的解法，请化简：．
【分析】观察所给例子得出（1）（2）答案；运用（2）的答案先对（3）的每项化简去掉分母，再把中间相邻的两项两两相消得到（3）的答案．
解：（1）＝
＝﹣
＝；
故答案为：．
（2）观察前面例子的过程和结果得：；
（3）反复运用得
＝
＝
＝
＝﹣1+10
＝9．
【点评】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据已知条件找到规律并运用规律去掉式子中的分母再相消进行求解．
26．已知，如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．BF⊥CE于点F，BF交CD于点G．
（1）若∠ACE＝20°，则∠CBG＝ 20 度；
（2）求证：AE＝CG；
（3）如图2，AH⊥CE，垂足为点H，AH的延长线交CD的延长线于点M，请找出图中与BE相等的线段，并证明．
【分析】（1）根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，且CD为斜边上的中线，利用三线合一得到CD垂直于AB，且CD为角平分线，得到∠CAE＝∠BCG＝45°，再利用同角的余角相等得到一对角相等，AC＝BC，利用ASA得到三角形AEC与三角形CGB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）结合（1）证明△AEC≌△CGB（ASA），即可解决问题；
（3）证明△BCE≌△CAM（AAS），即可解决问题．
【解答】（1）解：∵点D是AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°，
又∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG＝20°，
故答案为：20；
（2）证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，
∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°，
又∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE＝CG；
（3）解：BE＝CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，
∴∠CMA＝∠BEC，
又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，
在△BCE和△CAM中，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE＝CM．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．