2023-2024学年湖南省衡阳市衡山县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡山县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，属于无理数的是( )
A. 1B. 2C. 12D. 0
2.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是( )
A. 等边对等角B. 等角对等边
C. 垂线段最短D. 等腰三角形“三线合一”
3.已知3x=y，则3x+1=( )
A. yB. 1+yC. 3+yD. 3y
4.若多项式x2+mx+n可因式分解为(x−2)(x+3)，则mn的值为( )
A. 6B. −6C. −5D. 1
5.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A. (2x−y)(2x+y)B. (x−y)(−y−x)C. (b−a)(b+a)D. (−x+y)(x−y)
6.如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是( )
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
7.若关于x的多项式3x2−x+1+kx中不含一次项，则k的值为( )
A. 1B. −1C. 0D. ±1
8.如果多项式x2−mx+16是一个完全平方式，则m的值是( )
A. 4B. ±4C. 8D. ±8
9.如图，△ABC中，∠BAC=105°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF的度数为( )
A. 65°B. 50°C. 30°D. 45°
10.给出下列命题：
(1)每个命题都有逆命题；
(2)任意一个无理数的绝对值都是正数；
(3)−3没有立方根；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
其中真命题的个数为( )
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
11.计算：1252−50×125+252=( )
A. 100B. 150C. 10000D. 22500
12.在数学拓展课上，有两个全等的含45°角的直角三角板ADE，ABC重叠在一起.李老师将三角板ADE绕点A顺时针旋转(保持∠BAE<90°)，延长线段DE，与线段CB的延长线交于点F(如图所示)，随着∠BAE的增大，CF−EF的值( )
A. 一直变小B. 保持不变C. 先变小，后变大D. 一直变大
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.1916的算术平方根是______．
14.(−3x2y3)3= ______．
15.计算：(4a3b4−2a2b3)÷(−2ab)= ______．
16.已知a+1a=3，则a2+1a2的值是______．
17.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，BD=CF，BE=CD，则∠EDF的度数是______．
18.如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF.则下列结论：
①∠FAN=∠EAM；②△ACN≌△ABM；③EM=FN；④CD=DN；
⑤△MDC≌△NDB.其中正确的有______．
(请把正确答案的序号填在横线上)
三、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题16分)
请将下列式子进行因式分解：
(1)n3(m−2)+n(2−m)；
(2)(a2+4)2−16a2．
20.(本小题8分)
已知：3x2+2x−4=0，求代数式(2x−1)(4x+5)−2x(x+1)的值．
21.(本小题8分)
为了更好地开展课后服务，满足同学们的需求.某中学在全校学生中随机抽查了部分学生参加音乐、体育、美术、书法等活动项目(每人只限一项)的情况.下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)本次抽样调查中共抽取了______名学生；
(2)扇形统计图中m的值是______；
(3)请求出扇形统计图中“美术”对应的扇形圆心角度数．
22.(本小题10分)
王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)求两堵木墙之间的距离．
23.(本小题12分)
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
(2)应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD=6m，踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
24.(本小题12分)
综合与探究：问题情景：如图1所示，已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD是△ABC的中线，过点C作CE⊥AD，垂足为M，且交AB于点E．

(1)(探究一)小虎通过度量发现∠BCE=∠CAD，请你帮他说明理由；
(2)(探究二)小明在图中添加了一条线段CN，且CN平分∠ACB交AD于点N，如图2所示，即可得CN=BE，符合题意吗？请说明理由；
(3)(探究三)小刚在(2)的基础上，连接DE，如图3所示，若AB=4，CN=43，求△ADE的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1、12、0都是有理数，不符合题意，
2是无理数，符合题意．
故选：B．
根据无理数的定义在数0、 2、−13、0.3中，只有 2是无理数．
本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫无理数，常见形式有：开方开不尽的数，如 2等；无限不循环小数，如0.1010010001…等；字母表示的无理数，如π等是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵3x=y，
∴3x+1=3x×3=3y．
故选：D．
根据同底数幂的乘法法则得3x+1=3x×3=3y．
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵x2+mx+n=(x−2)(x+3)=x2+x−6，
∴m=1，n=−6，
则mn=1×(−6)=−6，
故选：B．
将(x−2)(x+3)计算后求得m，n的值，然后代入mn中计算即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、(2x−y)(2x+y)符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、(x−y)(−y−x)=(−y+x)(−y−x)，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、(b−a)(b+a)符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、(−x+y)(x−y)不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确．
故选：D．
能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
考查了全等三角形的判定，关键是根据三边对应相等的两个三角形全等(SSS)这一判定定理．利用三角形全等的判定证明．
【解答】
解：从角平分线的作法得出，
△AFD与△AED的三边全部相等，
则△AFD≌△AED(SSS)．
故选D．
7.【答案】A
【解析】解：3x2−x+1+kx
=3x2+(k−1)x+1，
∵关于x的多项式3x2−x+1+kx中不含一次项，
∴k−1=0，
解得k=1．
故选：A．
先合并同类项得到3x2+(k−1)x+1，根据不含一次项得到k−1=0，即可得到答案．
本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵x2−mx+16=x2−mx+42，
∴−mx=±2⋅x⋅4，
解得m=±8．
故选D．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=105°，
∴∠B+∠C=180°−105°=75°，
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=75°，
∴∠EAF=105°−75°=30°，
故选：C．
根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=75°，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到EA=EB，FA=FC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，结合图形计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
10.【答案】B
【解析】解：(1)每个命题都有逆命题，正确，是真命题，符合题意；
(2)任意一个无理数的绝对值都是正数，正确，是真命题，符合题意；
(3)−3有立方根，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
(4)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有2个，
故选：B．
利用命题的定义、实数的性质、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义、实数的性质、等边三角形的判定等知识，难度不大．
11.【答案】C
【解析】解：1252−50×125+252
=(125−25)2
=10000．
故选：C．
直接利用完全平方公式分解因式，进而计算得出即可．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
12.【答案】B
【解析】解：如图，在FC上截取FG=FE，连接AG，AF，
由题意得：∠ABF=∠ADF=90°，AB=AD，DE=BC，
在Rt△ABF和Rt△ADF中，
AF=AFAB=AE，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，
∴BF=DF，
∴CF−EF=BC+BF−EF=BC+DE+EF−EF=BC+DE=2BC，
∴CF−EF的值保持不变．
故选：B．
利用HL证明Rt△ABF≌Rt△ADF，得BF=DF，从而CF−EF=2BC，则可得出结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
13.【答案】54
【解析】解：1916=2516，因为54的平方等于2516，
所以1916的算术平方根是54．
故答案为54．
先把带分数化为假分数，然后再求它的算术平方根．
本题主要考查了算术平方根的求法，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
14.【答案】−27x6y9
【解析】解：(−3x2y3)3=−27x6y9．
故答案为：−27x6y9．
直接利用积的乘方运算法则求出即可．
此题主要考查了积的乘方运算，正确应用运算法则是解题关键．
15.【答案】−2a2b3+ab2
【解析】解：(4a3b4−2a2b3)÷(−2ab)=−2a2b3+ab2，
故答案为：−2a2b3+ab2．
利用整式除法法则，每一项都除以−2ab即可．
本题考查了整式的除法运算，是基础题，要熟练掌握多项式除以单项式的法则．
16.【答案】7
【解析】解：∵a+1a=3，
∴(a+1a)2=a2+2a×1a+(1a)2=a2+2+1a2=9，
则a2+1a2=9−2=7，
故答案为：7．
根据(x±y)2=x2±2xy+y2，直接作答即可．
本题考查了完全平方公式，分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
17.【答案】60°
【解析】解：如图，在△BDE与△CFD中，
BD=CF∠B=∠CBE=CD，
∴△BDE≌△CFD(SAS)，
∴∠BDE=∠CFD，∠EDF=180°−(∠BDE+∠CDF)=180°−(∠CFD+∠CDF)=180°−(180°−∠C)=60°，
∴∠EDF=60°，
故答案为：60°．
由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18.【答案】①②③⑤
【解析】解：∵
∠E=∠F=90°∠B=∠CAE=AF，
∴△AEB≌△AFC；(AAS)
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN−∠MAN=∠FAM−∠MAN，即∠EAM=∠FAN；(故①正确)
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；(ASA)
∴EM=FN；(故③正确)
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；(故②正确)
∵AC=AB，AM=AN，
∴CM=BN，
∵∠C=∠B，∠CDM=∠BDN，
∴△CDM≌△BDN，(故⑤正确)，
由于条件不足，无法证得④CD=DN；故正确的结论有①②③⑤；
故答案为：①②③⑤．
根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，做题时要从最容易，最简单的开始，由易到难．
19.【答案】解：(1)原式=n3(m−2)−n(m−2)
=n(m−2)(n2−1)
=n(m−2)(n+1)(n−1)；
(2)原式=(a2+4+4a)(a2+4−4a)
=(a+2)2(a−2)2．
【解析】(1)将原式提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
(2)利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可．
本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(2x−1)(4x+5)−2x(x+1)
=8x2+10x−4x−5−2x2−2x
=6x2+4x−5
=2(3x2+2x)−5，
∵3x2+2x−4=0，即3x2+2x=4，
∴2(3x2+2x)−5=2×4−5=3，
∴代数式(2x−1)(4x+5)−2x(x+1)的值为3．
【解析】先将所求代数式化简，然后由3x2+2x−4=0得到3x2+2x=4，再代入化简后的式子计算即可．
本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】50 20
【解析】解：(1)本次抽样调查中共抽的学生人数为：12÷24%=50(名)，
故答案为：50；
(2)参加音乐活动项目的人数所占的百分比为：1050×100%=20%，
∴m=20；
故答案为：20；
(3)50−10−12−13−550×100%×360°=72°，
答：扇形统计图中“美术”对应的扇形圆心角度数为72°．
(1)由参加体育活动项目的人数和所占的百分比即可求出本次调查共抽取的学生人数；
(2)由参加音乐活动项目的人数除以总人数即可得到答案；
(3)先求出参加美术活动项目的人数所占的百分比，再乘以360°即可得到答案．
本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，补全条形统计图，求扇形统计图的某项数目以及圆心角，考查学生的数据处理及应用能力．
22.【答案】解：(1)证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC．
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB,AC=CB,
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
(2)由题意得：AD=2×3=6(cm)，BE=7×2=14(cm)．
∵△ADC≌△CEB，
∴EC=AD=6cm，DC=BE=14cm，
∴DE=DC+CE=20cm，
故两堵木墙之间的距离为20cm．
【解析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
(1)根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；
(2)利用全等三角形的性质进行解答．
23.【答案】 13
【解析】解：(1)在Rt△OAB中，OB OA2+AB2= 32+22= 13，
∴OC= 13，
∴点C表示的数是 13，
故答案为： 13．
(2)解：设秋千绳索AB的长度为x m，
由题意可得AC=AB=x m，
四边形DCFE为矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，
∴DB=DE−BE=3m，AD=AB−BD=(x−3)m，
在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，
即(x−3)2+62=x2，
解得x=7.5，
即AC的长度为7.5m，
答：绳索AC的长为7.5m．
(1)根据勾股定理求出OB，根据实数与数轴解答即可．
(2)设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AD=(x−3)m，利用勾股定理可得x2=62+(x−3)2，即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AD，AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
24.【答案】(1)证明：∵CE⊥AD，
∴∠AMC=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACM=90°，∠ACM+∠BCE=90°
∴∠BCE=∠CAD；
(2)解：CN=BE符合题意．理由如下：
∵CN平分∠ACB，∠ACB=90°
∴∠ACN=12∠ACB=45°，
∵CA=CB，
∴∠B=45°，
∴∠ACN=∠B，
在△ACN和△CBE中，
∠ACN=∠BAC=CB∠CAN=∠BCE，
∴△ACN≌△CBE(ASA)，
∴CN=BE；
(3)解：延长CN交AB与点H，如图3，则AH=2，

∵D是BC的中点，
∴CD=DB，
在△CND和△BED中，
CD=BD∠DCN=∠BCN=BE，
∴△CND≌△BED(SAS)．
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ACD=S△ADB，
又∵S△CND=S△BED，
则S△ADE=S△ACN=12CN⋅AH=12×2×43=43，
∴△ADE的面积为43．
【解析】(1)根据同角的余角相等证明即可；
(2)结论：CN=BE正确．证明△ACN≌△CBE(ASA)，可得结论；
(3)延长CN交AB与点H，则根据题意得AH=2，证明△CND≌△BED(SAS)，根据全等的性质，结合AD是△ABC的中线，可得S△ADE=S△ACN=12CN⋅AH，即可求解．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．