初中数学华师大版九年级下册第27章 圆27.2 与圆有关的位置关系3. 切线备课课件ppt

这是一份初中数学华师大版九年级下册第27章 圆27.2 与圆有关的位置关系3. 切线备课课件ppt，共49页。PPT课件主要包含了情境引入，导入新课，互动探究，切线长定理及应用，探究归纳，知识要点，要点归纳，PAPB，几何语言，推理验证等内容，欢迎下载使用。

同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么数学图形？
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
1. 切线长的定义： 圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
① 切线是直线，不能度量；
② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量．
2. 切线长与切线的区别在哪里？
如：线段 PA 的长就是点 P 到☉O 的切线长.
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B．
OB 是☉O 的一条半径吗？
PB 是☉O 的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB 有何关系？
∠APO 和∠BPO 有何关系？
*切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B
∠OPA = ∠OPB
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
解：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点，∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.∴ △PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线.∴ OP 垂直平分 AB.
想一想：若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出什么新的结论? 请给出证明.
想一想：若延长 PO 交 ⊙O 于点 C，连结 CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
证明：∵ PA，PB 是⊙O 的切线，点 A，B 是切点，∴ PA = PB ，∠OPA = ∠OPB.∵ PC = PC. ∴ △PCA≌△PCB ( S. A. S. ). ∴ AC = BC.
新的结论：CA = CB.
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
求证：AB + CD = AD + BC.
证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H，
∴ AE = AH，BE = BF， CG = CF，DG = DH.
∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH，
即 AB + CD = AD + BC.
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径. 若三角板与圆相切且测得 PA = 5 cm，求铁环的半径．
解析：取圆的圆心为O，连接 OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在 Rt△OPA 中由勾股定理易求得半径．
解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA.
∴ OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.
∵ AP、AB 为 ⊙O 的切线，
在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.
∴ OA = 2PA = 10.
1. PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交☉O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC 相等的角；
∠OAC = ∠OBC = ∠APC = ∠BPC.
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP △AOB
2. PA、PB 是☉O 的两条切线，A，B 是切点，OA = 3.
（1）若 AP = 4，则 OP = ；
（2）若∠BPA = 60°，则 OP = .
解析：连接 OA、OB、OC、OD 和 OE.∵ PA、PB 是☉O 的两条切线，点 A、B 是切点，∴ PA = PB = 7. ∠PAO = ∠PBO =90°. ∠AOB = 360° -∠PAO -∠PBO -∠P = 140°.
又∵ DC、DA 是☉O 的两条切线，点 C、A 是切点，∴ DC = DA. 同理可得 CE = CB.
∵ D，E 是切线 PA，PB 上的点，
∴S△PDE = PD + DE + PE = PD + DC + CE + PE= PA + PB = 14.
切线长问题辅助线添加方法：（1）分别连接圆心和切点；（2）连接两切点；（3）连接圆心和圆外一点.
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
最大的圆与三角形三边都相切
问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，那么 圆心 I 应满足什么条件？
(2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？
已知：△ABC.求作：和△ABC 的各边都相切的圆 O.
作法：1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线 BM 和 CN，交点为 O.2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D.3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.
1. 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形.
问题1 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，那么 AI、BI、CI 有什么特点？
问题2 如图，分别过点作 AB、AC、BC 的垂线，垂足分别为 E、F，G，那么线段 IE、IF、IG 之间有什么关系？
IE = IF = IG
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE = IF = IG.
例3 如图，△ABC 中，∠B = 43°，∠C = 61°，点 I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数.
解：连接 IB，IC.
∵ 点 I 是△ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB.
例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3 cm，求圆柱底面圆的半径.
该问题可以抽象为如下所示的几何图形.
解：如图，设圆 O 切 AB 于点 D，连接 OA、OB、OD.
∵ 圆 O 是等边△ABC 的内切圆，
∴ AO、BO 是∠BAC、∠ABC 的平分线.
∴ ∠OAB =∠OBA = 30°.
∵ OD⊥AB，AB = 3 cm，
∴ AD = BD = AB = 1.5 (cm).
∴ OD = AD · tan30° = (cm).
答：圆柱底面圆的半径为 cm.
例5 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
设 AF = x cm，则 AE = x cm.
∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)， BF = BD = AB - AF = 13 - x (cm).
由 BD + CD = BC，可得(13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小结：解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
三角形三边垂直平分线的交点
1.OA = OB = OC；2.不一定在三角形内部
三角形三条角平分线的交点
1.到三边距离相等；2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3.在三角形内部
1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知 BC = 6 cm，∠ABC = 60°，OD⊥BC，BO 平分∠ABC.
∴∠OBD = 30°，BD = 3 cm.
变式：求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比.
sin∠OBD = sin 30°=
2. 设 △ABC 的面积为 S，周长为 L， △ABC 内切圆的半径为 r，则 S，L 与 r 之间存在怎样的数量关系？
解析：如图，过点 O 分别作 AC，BC，AB 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
则 AD = AC - DC = b - r，
BE = BC - CE = a - r.
∵ AF = AD，BF = BE，AF + BF = AB，
∴ a - r + b - r = c，
1. 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，若 AP = 4，∠APB = 40°，则∠APO = °，PB = .
2. 如图，☉O 为△ABC 的内切圆，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，则△CDE 的周长为______.
（3）若∠BIC = 100°，则∠A = °；
（2）若∠A = 80°，则∠BIC = °；
3. 如图，在△ABC 中，点 I 是内心． （1）若∠ABC = 50°，∠ACB = 70°，则∠BIC =_____°；
（4）试探索：∠A 与∠BIC 之间存在怎样的数量关系？
证明：方法①：连接 OD，如图.∵ AC 切⊙O 于点 D，∴ OD⊥AC.∴ ∠ODC =∠B = 90°.∵ OD = OB，OC = OC，
4. 如图，已知在△ABC 中，∠B＝90°，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于 E，与 AC 相切于点 D. 求证：DE∥OC.
∴ Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）.∴ ∠DOC =∠BOC.∵ OD = OE，∴∠ODE =∠OED.∵∠DOB =∠ODE +∠OED，∴∠BOC =∠OED. ∴ DE∥OC．
方法②：连接 BD，如图.∵ BC⊥AB，∴ BC 切 ⊙O 于点 B.又∵ AC 切 ⊙O 于点 D，∴ DC = BC，CO 平分∠DCB.∴ OC⊥BD.∵ BE 为 ⊙O 的直径，∴ DE⊥BD.∴ DE∥OC．
5. 如图，△ABC 中，I 是内心，∠BAC 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D. 求证：DI＝DB.
证明：连接 BI.∵ I 是 △ABC 的内心，AD 平分∠BAC.∴ 点 I 在 AD 上，∠ABI =∠CBI．∵∠CBD =∠CAD，∴∠BAD =∠CBD．∵∠BID =∠BAD +∠ABI，∠IBD =∠CBD +∠CBI，∴∠BID =∠IBD．∴ BD = ID．
提供了证线段和角相等的新方法
分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程