初中华师大版第27章 圆27.2 与圆有关的位置关系3. 切线精品第2课时教案

第2课时　切线长定理与三角形的内切圆

【知识与技能】

 1.掌握切线长定理及其应用

 2.理解三角形内切圆的有关概念

 3.学会作三角形的内切圆

【过程与方法】

通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法．探究三角形的内切圆知识，逐步培养学生研究问题的能力；

【情感态度】

通过应用内切圆相关知识解题，体会把复杂问题转化为简单问题后易于解决，从而树立解决问题的信心．

【教学重点】

切线长定理及应用．

【教学难点】

切线长定理及应用．

一、情境导入，初步认识

  1.已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？

    2.直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？

【教学说明】　由旧知识引入新知识，过渡自然，符合学生的认知规律．

二、思考探究，获取新知

探究1：切线长定理

如图：PA、PB为⊙O的两条切线，A、B为切点．

【归纳结论】　我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．

如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？说明图中的PA和PB、∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明吗？

证明：如上图，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP, OB⊥BP.又OA＝OB, OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB    ∠APO＝∠BPO

【归纳结论】　切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

【教学说明】　发展学生探究知识的意识和“实验几何——论证几何”探究方法．

探究2：三角形的内切圆

(1)如果最大的圆存在，它与三角形的各边有怎样的位置关系？

其位置关系与三角形三边的情况，有如下四种：

哪种情况圆的面积最大？

 (2)如何作出这个圆呢？

分析：确定一个圆需要什么条件，我们如何去确定这些条件？

作法：略

【归纳结论】　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．这个三角形叫做这个圆的外切三角形．

【教学说明】　从上面的探究过程中，我们发现：一切事物都依据一定的规律运动存在着，揭示一件事物，必须揭示其本质，才能从根本上认识它．

三、运用新知，深化理解

1．下列说法中，正确的是(　　)

A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线

B．圆有且只有一个外切三角形

C．三角形有且只有一个内切圆

D．三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等

答案：　C

2．如图，⊙O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是________．

解析：根据切线的性质可得∠OFC＝∠OEC＝90°，且∠ACB＝90°，所以四边形OECF是矩形．再根据切线长定理可得EC＝FC，所以四边形OECF是正方形．

答案：正方形

3．如图，△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DO＝DB.

证明：连接OB，

∵点O是△ABC的内心，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

∵∠2＝∠5,

∴∠ 1＝∠5 

∵∠BOD＝∠1＋∠3,

∠OBD＝∠5＋∠4

∴∠BOD＝∠OBD

∴DO＝DB

4．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周长．

解：∵AD，AE切于⊙O于D，E

∴AD＝AE＝20

∵AD，BF切于⊙O于D，F

∴BD＝BF，同理：CF＝CE

∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋FC＋AC＝AB＋BD＋EC＋AC＝AD＋AE＝40

5．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC＝ 12，∠P＝60°，求弦AB的长．

解：连接BC，∵PA，PB切⊙O于A，B，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB是正三角形

∵∠PAB＝60°，∵PA是⊙O切线

∴CA⊥AP，∴∠CAP＝90°  ∴∠CAB＝30°

∵直径AC，∴∠ABC＝90°

∴cos30°＝，∴AB＝6.

6．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm.

(1)求⊙O的直径BE的长；

(2)计算△ABC的面积．

解：(1)连接OD，∴OD⊥AC

∴△ODA是Rt△，设半径为r

∴AO＝r＋2，∴(r＋2)2－r2＝16

解之得：r＝3，∴BE＝6

(2)∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线

∵CD切⊙O于D

∴CB＝CD，令CB＝x

∴AC＝x＋4，AB＝x，AB＝8

∵x2＋82＝(x＋4)2

∴x＝6，∴S△ABC＝×8×6＝24

【教学说明】　通过习题巩固课堂教学成果，思考题使学生保持继续探究的欲望加深对知识的深入思考．

四、师生互动、课堂小结

通过本节课的学习你学会了哪些知识？学会了哪些方法？还有哪些疑惑？

1．布置作业：教材P55“练习”．

2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合．在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而渗透转化思想和方程思想，提高应用意识．