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2023-2024学年山西省临汾市洪洞县九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山西省临汾市洪洞县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简1 3的结果是( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
2.在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程.如图所示的图案，是由一连串公共顶点为O的直角三角形拼接而成，若∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°，则图中直角三角形之间存在的变换关系是( )
A. 图形的平移B. 图形的旋转C. 图形的全等D. 图形的相似
3.下列运算正确的是( )
A. 5 3+ 3=6 3B. 5− 3= 2
C. 6×(− 3)=−2 3D. 12÷ 2=6
4.如图，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被直线l1、l2、l3所截，AB=4，BC=10，EF=12，则DE的长为( )
A. 14
B. 245
C. 15
D. 247
5.一元二次方程x2+ 3x−1=0的根的情况是( )
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
6.跷跷板是在狭长的木杆中间装上轴，然后架在支柱上，两人对坐两端，轮流用脚蹬地，使一端跷起，图1是两个小朋友玩跷跷板实物图；图2是其示意图，支柱MN垂直于地面，点M是AB的中点，MN=35cm，那么小朋友在游戏中，点B离地面的最大高度是( )
A. 60cmB. 35 3cmC. 70cmD. 70 3cm
7.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为( )
A. 2.5(1+x)=3.2B. 2.5(1+2x)=3.2
C. 2.5(1+x)2=3.2D. 2.5(1−x)2=3.2
8.《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》涵盖了动画片、纪录片等多种类型，旨在通过不同的故事和视角，帮助中小学生更好地理解和感受中国的历史、文化和价值观.某年级两个班分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本班学生观看，则这两个班选择的影片相同的概率为( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
9.弹琴、弈棋、书法、绘画是中国古代文人修身所必须掌握的技能，它是中国古典文化的代表，合称“琴棋书画”.如图1，是一块宣传“新时代公民个人素养”的扇面展板，该展板的内部部分示意图如图2所示，是以O为圆心，OA，OB的长分别为半径，圆心角∠AOD=100°形成的扇面，若OA=2m，OB=0.5m，则扇面内部阴影部分的面积为( )
A. 10π9m2B. 25π9m2C. 9π24m2D. 25π24m2
10.中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程.如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量OA=12m，抛物线的顶点P到OA的距离为5m，则抛物线的函数表达式为( )
A. y=−15(x+6)2B. y=−536(x−6)2
C. y=−136(x+6)2+5D. y=−536(x−6)2+5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一元二次方程2x2+5x=0的根是______．
12.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花.”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为______．
13.小薇为了了解自家草莓的质量，随机从种植园中抽取适量草莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在0.8，小薇家今年的草莓总产量约为2000kg，由此估计小薇家今年的“优质草莓”产量约为______kg．
14.图1是某幼儿园的一个滑梯，图2是其示意图，滑梯的高BC为2m，坡角∠A为60°，由于滑梯坡角过大存在安全隐患，幼儿园决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离AB，使得坡角∠A变为30°，则AB加长的距离是______.(计算结果保留根号)
15.如图所示，△ABC和△DCE为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一条直线上，BC=4 2，且CE=12BC，连接AD，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则MN= ______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)计算：( 18− 12)× 2；
(2)计算：−32−tan60°× 112+327．
17.(本小题9分)
下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：3x2+12x−9=0
二次项系数化为1，得x2+4x−3=0第一步
移项，得x2+4x=3第二步
配方，得x2+4x+16=3+16，即(x+4)2=19第三步
由此，可得x+4=± 19第四步
所x1= 19−4，x2=− 19−4第五步
任务一：填空：
①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______；
②“第二步”变形的数学依据是______；
③小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误，请直接写出正确的结果______；
任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：3x2+8x−3=0．
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆与BC交于点F，且AC与⊙O相切于点E.连接DE，EF．
(1)求证：DE=EF；
(2)若∠A=30°，AB=6 3，求CE的长．
19.(本小题7分)
如图1，是一幅美丽的风景画，如图2，为彩色打印该风景画，需要在打印之前，设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离)，即风景画周围白色区域的宽度.若使用纸张长为16cm，宽为10cm，考虑到画的整体美观性，要求各页边距相等并使打印出的风景画面积占纸张面积的70%，请你求出所需设置的页边距宽度．
20.(本小题8分)
项目化学习
项目主题：测量树的高度．
分析探究：树的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子，标杆，皮尺，小木棒，自制的直角三角形硬纸板…确定方案后，还要画出测量示意图，并实地进行测量，得到具体数据，从而计算出树的高度．
成果展示：下面是某小组进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：
请同学们继续完善上述成果展示：
任务一：根据测量数据，求出树AB的高度；
任务二：写出求树的高度时所利用的数学知识______.(写出一个即可)
21.(本小题10分)
2023年4月，第三届中国国际消费品博览会暨全球消费论坛开幕式在海南国际会展中心举行，展馆内3000多件消费精品集中亮相，首发首秀新品大幅增加，其中山西展区分为Q.“酿造山西”、W.“品味山西”、R.“工艺山西”、X.“智造山西”四大板块.“智造山西”板块内一款“自动焊接机器人”的介绍引起大家的格外关注，随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟．
(1)在山西展区的四个板块中，君君和娜娜两位同学计划各选一个板块进行了解参观，请用树状图或者列表来分析她们两人选到同一个板块的概率；
(2)如图1，是展馆内一款自动焊接机器人，主要从事焊接、切割或热喷涂等工作.如图2，是该自动焊接机器人工作状态下的示意图，底座OA与地面垂直且可根据需要进行移动，AB，BC为机械臂，OA=1m，AB=6m，BC=3m，∠OAB=150°，∠ABC=95°.求机械臂端点C离地面OM的距离.(结果精确到0.1m，参考数据：sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47， 3≈1.73)
22.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，现取一块透明等腰直角三角尺(∠DEF=90°,DE=EF=10)，将45°角的顶点D放在Rt△ABC斜边的任意一点处，并将三角尺绕点D顺时针方向旋转a(0°观察猜想：
(1)如图1情形，△BDM与△CND有怎样的关系？______；(填写“全等”、“相似”或“不相似”)
类比推理：
(2)将三角板绕点D旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点M、N，(1)中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由；
深入探究：
(3)如图3，在(2)的条件下，若点D为BC的中点，三角尺绕点D继续旋转的过程中，AM=3，连接MN，求DM的长．
23.(本小题13分)
综合与探究
如图，已知抛物线y=−38x2+bx+c与x轴相交于A(−4,0)，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C(0,3)，连接AC．
(1)求该抛物线的解析式及对称轴；
(2)若过点B的直线与抛物线相交于另一点D，当∠ABD=∠BAC时，求直线的解析式；
(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP=23S△ABD，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：1 3=1× 3 3× 3= 33，
故选：C．
根据二次根式分母有理化的方法，分子、分母同时乘 3即可．
本题考查了分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
2.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=∠BOC=∠COD=⋯=∠LOM=30°，∠B=∠OCD=∠ODE=⋯=∠MLO=90°，
∴图中的直角三角形都相似，
故选：D．
直接根据相似三角形的判定作答即可．
本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练运用两个角相等证明三角形相似．
3.【答案】A
【解析】解：A、5 3+ 3=6 3，原式计算正确，符合题意；
B、 5与 3不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、 6×(− 3)=− 18=−3 2，原式计算错误，不符合题意；
D、 12÷ 2= 6，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=4，BC=10，EF=12，
∴410=DE12，
解得：DE=245．
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得，Δ=( 3)2−4×(−1)×1=3+4=7>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，据此求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的判别式的应用．
6.【答案】C
【解析】解：∵MN//BC，MA=BM，
∴AN=CN，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12BC，
∵MN=35米，
∴BC=70米，
点B离地面的最大高度是70米．
故选：C．
由平行线等分线段定理推出AN=CN，得到MN是△ABC的中位线，因此MN=12BC，即可求出BC=70米，于是得到点B离地面的最大高度是70米．
本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到MN=12BC．
7.【答案】C
【解析】解：依题意得：2.5(1+x)2=3.2．
故选：C．
设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力=2017年全国生活垃圾无害化处理能力×(1+年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：把三部影片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，这两个班选择的影片相同的结果有3种，
∴这两个班选择的影片相同的概率为39=13，
故选：B．
根据题意画出树状图，运用概率公式求解即可．
本题考查了画树状图法求概率，解题关键是根据题意画出树状图，熟练运用概率公式求解即可．
9.【答案】D
【解析】解：S阴影部分=S大扇形−S小扇形
=100π×22360−100π×(0.5)2360
=2524π(m2).
故选：D．
根据扇形面积的计算方法，按照S阴影部分=S大扇形−S小扇形进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵OA=12m，抛物线的顶点P到OA的距离为5m，
∴抛物线顶点P的坐标为(6,5)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−6)2+5，
将O(0,0)代入y=a(x−6)2+5得：0=36a+5，
解得：a=−536，
∴抛物线的函数表达式为y=−536(x−6)2+5，
故选：D．
由OA的长度及点P到OA的距离，可得出点P的坐标，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
11.【答案】x1=−52,x2=0
【解析】解：2x2+5x=0，
(2x+5)x=0，
2x+5=0或x=0，
解得x1=−52,x2=0，
故答案为：x1=−52,x2=0．
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握利用因式分解求解．
12.【答案】6
【解析】解：由两个枫叶图案相似，
可得x12=510，
解得x=6，
即x的值为6．
故答案为：6．
根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果．
此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比．
13.【答案】1600
【解析】解：因为多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在0.8，
估计小薇家今年的“优质草莓”产量约为2000×0.8=1600(kg)，
故答案为：1600．
根据实验得出的频率进行计算即可．
本题考查了用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键．
14.【答案】4 33m
【解析】解：由题意得：AB⊥BC，
在Rt△ABC中，BC=2m，
∴AB=BCtanA，
当∠A=60°时，AB=2tan60∘=2 3=2 33(m)，
当∠A=30°时，AB=2tan30∘=2 33=2 3(m)，
∴AB加长的距离=2 3−2 33=4 33(m)，
故答案为：4 33m.
根据题意可得：AB⊥BC，然后在Rt△ABC中，根据锐角三角函数的定义可得AB=BCtanA，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15.【答案】 5
【解析】解：如图所示，过点A作AO⊥BC于O，以点O为原点，BC，OA所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，
∵△ABC和△DCE为等腰直角三角形，BC=4 2，CE=12BC，
∴OA=OB=OC=12BC=CE=2 2，
∴A(0,2 2)，
同理可得D(3 2, 2)，
∵点M，N分别是AD，BE的中点，
∴M(3 22,3 22)，N( 2,0)，
∴MN= (3 22− 2)2+(3 22)2= 5，
故答案为： 5．
过点A作AO⊥BC于O，以点O为原点，BC，OA所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，根据等腰直角三角形的性质求出A(0,2 2)，D(3 2, 2)，再由点M，N分别是AD，BE的中点，M(3 22,3 22)，N( 2,0)，据此利用两点距离计算公式求解即可．
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等等，解题的关键是学会构建平面直角坐标系解决问题．
16.【答案】解：(1)( 18− 12)× 2
=(3 2− 22)× 2
=5 22× 2
=5；
(2)−32−tan60°× 112+327
=−9− 3× 112+3
=−9−12+3
=−132．
【解析】根据三角函数值，准确进行二次根式及立方根运算即可．
本题考查了实数的运算，解题关键是熟记三角函数值．
17.【答案】转化 完全平方公式 等式的基本性质 三 x1= 7−2，x2=− 7−2
【解析】解：任务一：①由题意得，此过程所体现的数学思想是转化：其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式；
故答案为：转化；完全平方公式；
②“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质(或等式两边同时加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式)；
故答案为：等式的基本性质；
③观察可知，小明是在第三步配方的时候出错，
配方，得x2+4x+4=3+4，即(x+2)2=7，
由此，可得x+2=± 7，
∴x1= 7−2，x2=− 7−2，
故答案为：三；x1= 7−2，x2=− 7−2；
任务二：3x2+8x−3=0
x2+83x−1=0，
x2+83x=1，
x2+83x+169=1+169，
∴(x+43)2=259，
∴x+43=±53，
∴x+43=53或x+43=−53，
∴x1=13，x2=−3．
任务一：①根据转化思想，完全平方公式解答；
②根据移项的依据是等式的性质解答；
③由完全平方公式判断即可解答；
任务二：根据配方法的基本步骤，由完全平方公式进行计算．
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键；
18.【答案】(1)证明：连接OE，OF，如图，
∵AC切⊙O于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴OE//BC，
∴∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠DOE=∠EOF，
∴DE=EF；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OB=OE=r，
在Rt△AOE中，∵∠A=30°，
∴AO=2OE=r，
∵AB=6 3，
∴2r+r=6 3，
解得r=2 3，
∴AE= OA2−OE2= (4 3)2−(2 3)2=6，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=12AB=3 3，
∴AC= BA2−BC2= (6 3)2−(3 3)2=9，
∴CE=AC−AE=3．
【解析】(1)连接OE，OF，如图，先根据切线的性质得到∠AEO=90°，则可判断OE//BC，根据平行线的性质得到∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB，则可证明∠DOE=∠EOF，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
(2)设⊙O的半径为r，则OB=OE=r，在Rt△AOE中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到2r+r=6 3，解得r=2 3，再求出AC=9，AE=6即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系．
19.【答案】解：设页边距为x cm，
由题意得：(16−2x)(10−2x)=16×10×70%，
整理得：x2−13x+12=0，
解得：x1=1，x2=12(不合题意，舍去)，
答：需设置页边距为1cm．
【解析】设页边距为x cm，根据打印区域的面积占纸张面积的70%，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】相似三角形的性质与判定(答案不唯一)
【解析】解：任务一：如图，过点C作CG⊥AB于点G，交EF于点H，则四边形CDBG与四边形CDFH是矩形，
∴CH=DF=2m，CG=BD=14m，CD=HF=GB=1.7m，
∴EH=EF−HF=3.2−1.7=1.5m，
由题意得EF//AB，
∴△CEH∽△CAG，
∴CHCG=EHAG，即214=1.5AG，
∴AG=10.5m，
∴AB=AG+BG=10.5+1.7=12.2m，
答：树AB的高度为12.2m．
任务二：求树的高度时所利用的数学知识有相似三角形的性质与判定(答案不唯一)．
任务一：如图，过点C作CG⊥AB于点G，交EF于点H，则四边形CDBG与四边形CDFH是矩形，求出CH=DF=2m，CG=BD=14m，CD=HF=GB=1.7m，EH=1.5m，证明△CEH∽△CAG，CHCG=EHAG，即214=1.5AG，求出AG=10.5m，则AB=AG+BG=12.2m；
任务二：根据任务一的求解过程即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定，平行线的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)画树状图如图：
一共有16种等可能结果，她们两人选到同一个板块的有4种，她们两人选到同一个板块的概率为416=14；
(2)过点B作BE⊥OM，垂足为E，过点A作AH⊥BE，垂足为H，过点C作CF⊥OM，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，
由题意得：AO=EH=1m，CF=EG，∠OAH=∠AHB=∠BGC=90°，
∵∠OAB=150°，
∴∠BAH=∠OAB−∠OAH=60°，
∴∠ABH=90°−∠BAH=30°，
∵∠ABC=95°，
∴∠CBG=∠ABC−∠ABH=65°，
∴∠BCG=90°−∠CBG=25°，
在Rt△ABH中，AB=6m，
∴BH=AB⋅tan60°=6 3(m)，
在Rt△BCG中，BC=3m，
∴BG=BC⋅sin25°≈3×0.42=1.26(m)，
∴CF=EG=BH+EH−BG=6 3+1−1.26≈10.1(m)，
∴机械臂端点C到地面OM的距离约为10.1m．
【解析】(1)列出所有可能结果，再根据概率公式求解即可；
(2)过点B作BE⊥OM，垂足为E，过点A作AH⊥BE，垂足为H，过点C作CF⊥OM，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了概率和解直角三角形，解题关键熟练利用列举法求概率，构建直角三角形求解．
22.【答案】相似
【解析】解：(1)如图1，∵∠BAC=90°，∠DEF=90°，AB=AC，DE=EF，
∴∠B=∠C=45°，∠EDF=∠F=45°，
∴∠BMD=180°−∠B−∠BDM=135°−∠BDM，∠CDN=180°−∠EDF−∠BDM=135°−∠BDM，
∴∠BMD=∠CDN，
∴△BDM∽△CND，
故答案为：相似．
(2)成立，
证明：如图2，∵∠BAC=∠DEF=90°，AB=AC，DE=EF，
∴∠B=∠C=∠EDF=∠F=45°，
∴∠BMD=180°−∠B−∠BDM=135°−∠BDM，∠CDN=180°−∠EDF−∠BDM=135°−∠BDM，
∴∠BMD=∠CDN，
∴△BDM∽△CND，
∴(1)中的结论成立．
(3)如图3，∵∠BAC=90°，AB=AC=6，AM=3，
∴BC= AB2+AC2= 62+62=6 2，BM=AB+AM=6+3=9，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=12BC=12×6 2=3 2，
∵△BDM∽△CND，
∴BMCD=BDCN，
∴CN=BD⋅CDBM=3 2×3 29=2，
∴AN=AC−CN=6−2=4，
∵∠MAN=180°−∠BAC=90°，
∴NM= AM2+AN2= 32+42=5，
∵AMCD=DMDN，BD=CD，
∴AMBD=DMDN，
∴AMDM=BDDN，
∵∠B=∠MDN=45°，
∴△BDM∽△DNM，
∴DMNM=BMDM，
∴DM= BM⋅NM= 9×5=3 5，
∴DM的长是3 5．
(1)由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，∠EDF=∠F=45°，可证明∠BMD=∠CDN=135°−∠BDM，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BDM∽△CND，于是得到问题的答案；
(2)类比(1)中的方法，可证明△BDM∽△CND，所以(1)中的结论成立；
(3)由∠BAC=90°，AB=AC=6，根据勾股定理求得BC=6 2，则BD=CD=3 2，而AM=3，所以BM=9，由相似三角形的性质得BMCD=BDCN，可求得CN=BD⋅CDBM=2，所以AN=4，则NM= AM2+AN2=5，由AMCD=DMDN，BD=CD，得AMBD=DMDN，变形为AMDM=BDDN，而∠B=∠MDN，则△BDM∽△DNM，所以DMNM=BMDM，求得DM= BM⋅NM=3 5．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，适当选择相似三角形的判定定理证明△BDM∽△CND及△BDM∽△DNM是解题的关键．
23.【答案】解：(1)将点A(−4,0)，C(0,3)代入y=−38x2+bx+c，
∴c=3−6−4b+c=0，
解得c=3b=−34，
∴抛物线的解析式为y=−38x2−34x+3，
∵y=−38x2−34x+3=−38(x+1)2+278，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1；
(2)当y=0时，−38x2−34x+3=0，
解得x=2或x=−4，
∴B(2,0)，
当D点在x轴下方时，
∵∠ABD=∠BAC，
∴BD//CA，
设直线AC的解析式为y=kx+3，
∴−4k+3=0，
解得k=34，
∴直线AC的解析式为y=34x+3，
∴直线BD的解析式为y=34x−32；
当D点在x轴上方时，
直线BD关于x轴对称的解析式为y=−34x+32；
综上所述：直线BD的解析式为y=34x−32或y=−34x+32；
(3)当D点在x轴下方时，直线BD的解析式为y=34x−32，
当34x−32=−38x2−34x+3时，解得x=2或x=−6，
∴D(−6,−6)，
∴S△ABD=12×6×6=18，
∵S△BDP=23S△ABD，
∴S△BDP=12，
过P点作PQ//y轴交BD于点Q，
设P(t,−38t2−34t+3)，则Q(t,34t−32)，
∴PQ=|−38t2−34t+3−34t+32|=|−38t2−32t+92|，
∴12×8|−38t2−32t+92|=12，
解得t=−2+2 6或t=−2−2 6或t=−2+2 2或t=−2−2 2，
∵P点在y轴左侧，
∴t<0，
∴P(−2−2 6,−6−3 62)或(−2−2 2,−3 22).
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)当D点在x轴下方时，BD//CA，求出直线AC再求BD的解析式即可；当D点在x轴上方时，直线BD关于x轴对称的解析式为y=−34x+32，即为所求；
(3)过P点作PQ//y轴交BD于点Q，设P(t,−38t2−34t+3)，则Q(t,34t−32)，根据面积关系可得12×8|−38t2−32t+92|=12，求出t的值即可求P点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质是解题的关键．测量工具
标杆，皮尺
测量方案
选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆，使树的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好在一条直线上.这时再测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高．
测量示意图
测量数据
线段AB表示树，标杆EF=3.2m，观测者的眼睛到地面的距离CD=1.7m，观测者的脚到树底端的距离DB=14m，观测者的脚到标杆底端的距离DF=2m．
…
1.化简1 3的结果是( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
2.在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程.如图所示的图案，是由一连串公共顶点为O的直角三角形拼接而成，若∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°，则图中直角三角形之间存在的变换关系是( )
A. 图形的平移B. 图形的旋转C. 图形的全等D. 图形的相似
3.下列运算正确的是( )
A. 5 3+ 3=6 3B. 5− 3= 2
C. 6×(− 3)=−2 3D. 12÷ 2=6
4.如图，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被直线l1、l2、l3所截，AB=4，BC=10，EF=12，则DE的长为( )
A. 14
B. 245
C. 15
D. 247
5.一元二次方程x2+ 3x−1=0的根的情况是( )
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
6.跷跷板是在狭长的木杆中间装上轴，然后架在支柱上，两人对坐两端，轮流用脚蹬地，使一端跷起，图1是两个小朋友玩跷跷板实物图；图2是其示意图，支柱MN垂直于地面，点M是AB的中点，MN=35cm，那么小朋友在游戏中，点B离地面的最大高度是( )
A. 60cmB. 35 3cmC. 70cmD. 70 3cm
7.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为( )
A. 2.5(1+x)=3.2B. 2.5(1+2x)=3.2
C. 2.5(1+x)2=3.2D. 2.5(1−x)2=3.2
8.《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》涵盖了动画片、纪录片等多种类型，旨在通过不同的故事和视角，帮助中小学生更好地理解和感受中国的历史、文化和价值观.某年级两个班分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本班学生观看，则这两个班选择的影片相同的概率为( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
9.弹琴、弈棋、书法、绘画是中国古代文人修身所必须掌握的技能，它是中国古典文化的代表，合称“琴棋书画”.如图1，是一块宣传“新时代公民个人素养”的扇面展板，该展板的内部部分示意图如图2所示，是以O为圆心，OA，OB的长分别为半径，圆心角∠AOD=100°形成的扇面，若OA=2m，OB=0.5m，则扇面内部阴影部分的面积为( )
A. 10π9m2B. 25π9m2C. 9π24m2D. 25π24m2
10.中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程.如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量OA=12m，抛物线的顶点P到OA的距离为5m，则抛物线的函数表达式为( )
A. y=−15(x+6)2B. y=−536(x−6)2
C. y=−136(x+6)2+5D. y=−536(x−6)2+5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一元二次方程2x2+5x=0的根是______．
12.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花.”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为______．
13.小薇为了了解自家草莓的质量，随机从种植园中抽取适量草莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在0.8，小薇家今年的草莓总产量约为2000kg，由此估计小薇家今年的“优质草莓”产量约为______kg．
14.图1是某幼儿园的一个滑梯，图2是其示意图，滑梯的高BC为2m，坡角∠A为60°，由于滑梯坡角过大存在安全隐患，幼儿园决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离AB，使得坡角∠A变为30°，则AB加长的距离是______.(计算结果保留根号)
15.如图所示，△ABC和△DCE为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一条直线上，BC=4 2，且CE=12BC，连接AD，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则MN= ______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)计算：( 18− 12)× 2；
(2)计算：−32−tan60°× 112+327．
17.(本小题9分)
下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：3x2+12x−9=0
二次项系数化为1，得x2+4x−3=0第一步
移项，得x2+4x=3第二步
配方，得x2+4x+16=3+16，即(x+4)2=19第三步
由此，可得x+4=± 19第四步
所x1= 19−4，x2=− 19−4第五步
任务一：填空：
①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______；
②“第二步”变形的数学依据是______；
③小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误，请直接写出正确的结果______；
任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：3x2+8x−3=0．
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆与BC交于点F，且AC与⊙O相切于点E.连接DE，EF．
(1)求证：DE=EF；
(2)若∠A=30°，AB=6 3，求CE的长．
19.(本小题7分)
如图1，是一幅美丽的风景画，如图2，为彩色打印该风景画，需要在打印之前，设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离)，即风景画周围白色区域的宽度.若使用纸张长为16cm，宽为10cm，考虑到画的整体美观性，要求各页边距相等并使打印出的风景画面积占纸张面积的70%，请你求出所需设置的页边距宽度．
20.(本小题8分)
项目化学习
项目主题：测量树的高度．
分析探究：树的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子，标杆，皮尺，小木棒，自制的直角三角形硬纸板…确定方案后，还要画出测量示意图，并实地进行测量，得到具体数据，从而计算出树的高度．
成果展示：下面是某小组进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：
请同学们继续完善上述成果展示：
任务一：根据测量数据，求出树AB的高度；
任务二：写出求树的高度时所利用的数学知识______.(写出一个即可)
21.(本小题10分)
2023年4月，第三届中国国际消费品博览会暨全球消费论坛开幕式在海南国际会展中心举行，展馆内3000多件消费精品集中亮相，首发首秀新品大幅增加，其中山西展区分为Q.“酿造山西”、W.“品味山西”、R.“工艺山西”、X.“智造山西”四大板块.“智造山西”板块内一款“自动焊接机器人”的介绍引起大家的格外关注，随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟．
(1)在山西展区的四个板块中，君君和娜娜两位同学计划各选一个板块进行了解参观，请用树状图或者列表来分析她们两人选到同一个板块的概率；
(2)如图1，是展馆内一款自动焊接机器人，主要从事焊接、切割或热喷涂等工作.如图2，是该自动焊接机器人工作状态下的示意图，底座OA与地面垂直且可根据需要进行移动，AB，BC为机械臂，OA=1m，AB=6m，BC=3m，∠OAB=150°，∠ABC=95°.求机械臂端点C离地面OM的距离.(结果精确到0.1m，参考数据：sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47， 3≈1.73)
22.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，现取一块透明等腰直角三角尺(∠DEF=90°,DE=EF=10)，将45°角的顶点D放在Rt△ABC斜边的任意一点处，并将三角尺绕点D顺时针方向旋转a(0°
(1)如图1情形，△BDM与△CND有怎样的关系？______；(填写“全等”、“相似”或“不相似”)
类比推理：
(2)将三角板绕点D旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点M、N，(1)中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由；
深入探究：
(3)如图3，在(2)的条件下，若点D为BC的中点，三角尺绕点D继续旋转的过程中，AM=3，连接MN，求DM的长．
23.(本小题13分)
综合与探究
如图，已知抛物线y=−38x2+bx+c与x轴相交于A(−4,0)，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C(0,3)，连接AC．
(1)求该抛物线的解析式及对称轴；
(2)若过点B的直线与抛物线相交于另一点D，当∠ABD=∠BAC时，求直线的解析式；
(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP=23S△ABD，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：1 3=1× 3 3× 3= 33，
故选：C．
根据二次根式分母有理化的方法，分子、分母同时乘 3即可．
本题考查了分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
2.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=∠BOC=∠COD=⋯=∠LOM=30°，∠B=∠OCD=∠ODE=⋯=∠MLO=90°，
∴图中的直角三角形都相似，
故选：D．
直接根据相似三角形的判定作答即可．
本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练运用两个角相等证明三角形相似．
3.【答案】A
【解析】解：A、5 3+ 3=6 3，原式计算正确，符合题意；
B、 5与 3不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、 6×(− 3)=− 18=−3 2，原式计算错误，不符合题意；
D、 12÷ 2= 6，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=4，BC=10，EF=12，
∴410=DE12，
解得：DE=245．
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得，Δ=( 3)2−4×(−1)×1=3+4=7>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，据此求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的判别式的应用．
6.【答案】C
【解析】解：∵MN//BC，MA=BM，
∴AN=CN，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12BC，
∵MN=35米，
∴BC=70米，
点B离地面的最大高度是70米．
故选：C．
由平行线等分线段定理推出AN=CN，得到MN是△ABC的中位线，因此MN=12BC，即可求出BC=70米，于是得到点B离地面的最大高度是70米．
本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到MN=12BC．
7.【答案】C
【解析】解：依题意得：2.5(1+x)2=3.2．
故选：C．
设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力=2017年全国生活垃圾无害化处理能力×(1+年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：把三部影片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，这两个班选择的影片相同的结果有3种，
∴这两个班选择的影片相同的概率为39=13，
故选：B．
根据题意画出树状图，运用概率公式求解即可．
本题考查了画树状图法求概率，解题关键是根据题意画出树状图，熟练运用概率公式求解即可．
9.【答案】D
【解析】解：S阴影部分=S大扇形−S小扇形
=100π×22360−100π×(0.5)2360
=2524π(m2).
故选：D．
根据扇形面积的计算方法，按照S阴影部分=S大扇形−S小扇形进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵OA=12m，抛物线的顶点P到OA的距离为5m，
∴抛物线顶点P的坐标为(6,5)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−6)2+5，
将O(0,0)代入y=a(x−6)2+5得：0=36a+5，
解得：a=−536，
∴抛物线的函数表达式为y=−536(x−6)2+5，
故选：D．
由OA的长度及点P到OA的距离，可得出点P的坐标，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
11.【答案】x1=−52,x2=0
【解析】解：2x2+5x=0，
(2x+5)x=0，
2x+5=0或x=0，
解得x1=−52,x2=0，
故答案为：x1=−52,x2=0．
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握利用因式分解求解．
12.【答案】6
【解析】解：由两个枫叶图案相似，
可得x12=510，
解得x=6，
即x的值为6．
故答案为：6．
根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果．
此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比．
13.【答案】1600
【解析】解：因为多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在0.8，
估计小薇家今年的“优质草莓”产量约为2000×0.8=1600(kg)，
故答案为：1600．
根据实验得出的频率进行计算即可．
本题考查了用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键．
14.【答案】4 33m
【解析】解：由题意得：AB⊥BC，
在Rt△ABC中，BC=2m，
∴AB=BCtanA，
当∠A=60°时，AB=2tan60∘=2 3=2 33(m)，
当∠A=30°时，AB=2tan30∘=2 33=2 3(m)，
∴AB加长的距离=2 3−2 33=4 33(m)，
故答案为：4 33m.
根据题意可得：AB⊥BC，然后在Rt△ABC中，根据锐角三角函数的定义可得AB=BCtanA，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15.【答案】 5
【解析】解：如图所示，过点A作AO⊥BC于O，以点O为原点，BC，OA所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，
∵△ABC和△DCE为等腰直角三角形，BC=4 2，CE=12BC，
∴OA=OB=OC=12BC=CE=2 2，
∴A(0,2 2)，
同理可得D(3 2, 2)，
∵点M，N分别是AD，BE的中点，
∴M(3 22,3 22)，N( 2,0)，
∴MN= (3 22− 2)2+(3 22)2= 5，
故答案为： 5．
过点A作AO⊥BC于O，以点O为原点，BC，OA所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，根据等腰直角三角形的性质求出A(0,2 2)，D(3 2, 2)，再由点M，N分别是AD，BE的中点，M(3 22,3 22)，N( 2,0)，据此利用两点距离计算公式求解即可．
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等等，解题的关键是学会构建平面直角坐标系解决问题．
16.【答案】解：(1)( 18− 12)× 2
=(3 2− 22)× 2
=5 22× 2
=5；
(2)−32−tan60°× 112+327
=−9− 3× 112+3
=−9−12+3
=−132．
【解析】根据三角函数值，准确进行二次根式及立方根运算即可．
本题考查了实数的运算，解题关键是熟记三角函数值．
17.【答案】转化 完全平方公式 等式的基本性质 三 x1= 7−2，x2=− 7−2
【解析】解：任务一：①由题意得，此过程所体现的数学思想是转化：其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式；
故答案为：转化；完全平方公式；
②“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质(或等式两边同时加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式)；
故答案为：等式的基本性质；
③观察可知，小明是在第三步配方的时候出错，
配方，得x2+4x+4=3+4，即(x+2)2=7，
由此，可得x+2=± 7，
∴x1= 7−2，x2=− 7−2，
故答案为：三；x1= 7−2，x2=− 7−2；
任务二：3x2+8x−3=0
x2+83x−1=0，
x2+83x=1，
x2+83x+169=1+169，
∴(x+43)2=259，
∴x+43=±53，
∴x+43=53或x+43=−53，
∴x1=13，x2=−3．
任务一：①根据转化思想，完全平方公式解答；
②根据移项的依据是等式的性质解答；
③由完全平方公式判断即可解答；
任务二：根据配方法的基本步骤，由完全平方公式进行计算．
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键；
18.【答案】(1)证明：连接OE，OF，如图，
∵AC切⊙O于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴OE//BC，
∴∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠DOE=∠EOF，
∴DE=EF；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OB=OE=r，
在Rt△AOE中，∵∠A=30°，
∴AO=2OE=r，
∵AB=6 3，
∴2r+r=6 3，
解得r=2 3，
∴AE= OA2−OE2= (4 3)2−(2 3)2=6，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=12AB=3 3，
∴AC= BA2−BC2= (6 3)2−(3 3)2=9，
∴CE=AC−AE=3．
【解析】(1)连接OE，OF，如图，先根据切线的性质得到∠AEO=90°，则可判断OE//BC，根据平行线的性质得到∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB，则可证明∠DOE=∠EOF，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
(2)设⊙O的半径为r，则OB=OE=r，在Rt△AOE中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到2r+r=6 3，解得r=2 3，再求出AC=9，AE=6即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系．
19.【答案】解：设页边距为x cm，
由题意得：(16−2x)(10−2x)=16×10×70%，
整理得：x2−13x+12=0，
解得：x1=1，x2=12(不合题意，舍去)，
答：需设置页边距为1cm．
【解析】设页边距为x cm，根据打印区域的面积占纸张面积的70%，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】相似三角形的性质与判定(答案不唯一)
【解析】解：任务一：如图，过点C作CG⊥AB于点G，交EF于点H，则四边形CDBG与四边形CDFH是矩形，
∴CH=DF=2m，CG=BD=14m，CD=HF=GB=1.7m，
∴EH=EF−HF=3.2−1.7=1.5m，
由题意得EF//AB，
∴△CEH∽△CAG，
∴CHCG=EHAG，即214=1.5AG，
∴AG=10.5m，
∴AB=AG+BG=10.5+1.7=12.2m，
答：树AB的高度为12.2m．
任务二：求树的高度时所利用的数学知识有相似三角形的性质与判定(答案不唯一)．
任务一：如图，过点C作CG⊥AB于点G，交EF于点H，则四边形CDBG与四边形CDFH是矩形，求出CH=DF=2m，CG=BD=14m，CD=HF=GB=1.7m，EH=1.5m，证明△CEH∽△CAG，CHCG=EHAG，即214=1.5AG，求出AG=10.5m，则AB=AG+BG=12.2m；
任务二：根据任务一的求解过程即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定，平行线的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)画树状图如图：
一共有16种等可能结果，她们两人选到同一个板块的有4种，她们两人选到同一个板块的概率为416=14；
(2)过点B作BE⊥OM，垂足为E，过点A作AH⊥BE，垂足为H，过点C作CF⊥OM，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，
由题意得：AO=EH=1m，CF=EG，∠OAH=∠AHB=∠BGC=90°，
∵∠OAB=150°，
∴∠BAH=∠OAB−∠OAH=60°，
∴∠ABH=90°−∠BAH=30°，
∵∠ABC=95°，
∴∠CBG=∠ABC−∠ABH=65°，
∴∠BCG=90°−∠CBG=25°，
在Rt△ABH中，AB=6m，
∴BH=AB⋅tan60°=6 3(m)，
在Rt△BCG中，BC=3m，
∴BG=BC⋅sin25°≈3×0.42=1.26(m)，
∴CF=EG=BH+EH−BG=6 3+1−1.26≈10.1(m)，
∴机械臂端点C到地面OM的距离约为10.1m．
【解析】(1)列出所有可能结果，再根据概率公式求解即可；
(2)过点B作BE⊥OM，垂足为E，过点A作AH⊥BE，垂足为H，过点C作CF⊥OM，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了概率和解直角三角形，解题关键熟练利用列举法求概率，构建直角三角形求解．
22.【答案】相似
【解析】解：(1)如图1，∵∠BAC=90°，∠DEF=90°，AB=AC，DE=EF，
∴∠B=∠C=45°，∠EDF=∠F=45°，
∴∠BMD=180°−∠B−∠BDM=135°−∠BDM，∠CDN=180°−∠EDF−∠BDM=135°−∠BDM，
∴∠BMD=∠CDN，
∴△BDM∽△CND，
故答案为：相似．
(2)成立，
证明：如图2，∵∠BAC=∠DEF=90°，AB=AC，DE=EF，
∴∠B=∠C=∠EDF=∠F=45°，
∴∠BMD=180°−∠B−∠BDM=135°−∠BDM，∠CDN=180°−∠EDF−∠BDM=135°−∠BDM，
∴∠BMD=∠CDN，
∴△BDM∽△CND，
∴(1)中的结论成立．
(3)如图3，∵∠BAC=90°，AB=AC=6，AM=3，
∴BC= AB2+AC2= 62+62=6 2，BM=AB+AM=6+3=9，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=12BC=12×6 2=3 2，
∵△BDM∽△CND，
∴BMCD=BDCN，
∴CN=BD⋅CDBM=3 2×3 29=2，
∴AN=AC−CN=6−2=4，
∵∠MAN=180°−∠BAC=90°，
∴NM= AM2+AN2= 32+42=5，
∵AMCD=DMDN，BD=CD，
∴AMBD=DMDN，
∴AMDM=BDDN，
∵∠B=∠MDN=45°，
∴△BDM∽△DNM，
∴DMNM=BMDM，
∴DM= BM⋅NM= 9×5=3 5，
∴DM的长是3 5．
(1)由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，∠EDF=∠F=45°，可证明∠BMD=∠CDN=135°−∠BDM，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BDM∽△CND，于是得到问题的答案；
(2)类比(1)中的方法，可证明△BDM∽△CND，所以(1)中的结论成立；
(3)由∠BAC=90°，AB=AC=6，根据勾股定理求得BC=6 2，则BD=CD=3 2，而AM=3，所以BM=9，由相似三角形的性质得BMCD=BDCN，可求得CN=BD⋅CDBM=2，所以AN=4，则NM= AM2+AN2=5，由AMCD=DMDN，BD=CD，得AMBD=DMDN，变形为AMDM=BDDN，而∠B=∠MDN，则△BDM∽△DNM，所以DMNM=BMDM，求得DM= BM⋅NM=3 5．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，适当选择相似三角形的判定定理证明△BDM∽△CND及△BDM∽△DNM是解题的关键．
23.【答案】解：(1)将点A(−4,0)，C(0,3)代入y=−38x2+bx+c，
∴c=3−6−4b+c=0，
解得c=3b=−34，
∴抛物线的解析式为y=−38x2−34x+3，
∵y=−38x2−34x+3=−38(x+1)2+278，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1；
(2)当y=0时，−38x2−34x+3=0，
解得x=2或x=−4，
∴B(2,0)，
当D点在x轴下方时，
∵∠ABD=∠BAC，
∴BD//CA，
设直线AC的解析式为y=kx+3，
∴−4k+3=0，
解得k=34，
∴直线AC的解析式为y=34x+3，
∴直线BD的解析式为y=34x−32；
当D点在x轴上方时，
直线BD关于x轴对称的解析式为y=−34x+32；
综上所述：直线BD的解析式为y=34x−32或y=−34x+32；
(3)当D点在x轴下方时，直线BD的解析式为y=34x−32，
当34x−32=−38x2−34x+3时，解得x=2或x=−6，
∴D(−6,−6)，
∴S△ABD=12×6×6=18，
∵S△BDP=23S△ABD，
∴S△BDP=12，
过P点作PQ//y轴交BD于点Q，
设P(t,−38t2−34t+3)，则Q(t,34t−32)，
∴PQ=|−38t2−34t+3−34t+32|=|−38t2−32t+92|，
∴12×8|−38t2−32t+92|=12，
解得t=−2+2 6或t=−2−2 6或t=−2+2 2或t=−2−2 2，
∵P点在y轴左侧，
∴t<0，
∴P(−2−2 6,−6−3 62)或(−2−2 2,−3 22).
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)当D点在x轴下方时，BD//CA，求出直线AC再求BD的解析式即可；当D点在x轴上方时，直线BD关于x轴对称的解析式为y=−34x+32，即为所求；
(3)过P点作PQ//y轴交BD于点Q，设P(t,−38t2−34t+3)，则Q(t,34t−32)，根据面积关系可得12×8|−38t2−32t+92|=12，求出t的值即可求P点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质是解题的关键．测量工具
标杆，皮尺
测量方案
选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆，使树的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好在一条直线上.这时再测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高．
测量示意图
测量数据
线段AB表示树，标杆EF=3.2m，观测者的眼睛到地面的距离CD=1.7m，观测者的脚到树底端的距离DB=14m，观测者的脚到标杆底端的距离DF=2m．
…
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