【期末真题】人教版高一下学期期末数学真题检测05（原卷版+解析版）

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【期末真题】人教版高一下学期
期末数学真题检测05（解析版）
高一数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知向量，，且与共线，则实数x的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出，然后根据与共线建立方程求解即可.
【详解】因为，，所以
因为与共线，所以，解得
故选：A
【点睛】本题考查的是向量共线在坐标形式下的表示，属于基础题.
2. 一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图的面积为1，则原梯形的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角梯形，从而可求出其面积
【详解】解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示，
设原来梯形的上底为，下底为，高为，
则直观图中等腰梯形的高为，
因为直观图的面积为，
所以，
所以原梯形的面积为，
故选：D
【点睛】此题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，掌握斜二测画法的作图规则是解题的关键，属于基础题
3. 设m，n是不同的直线，，，是不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
A. 由或异面判断；B.由或相交判断；C.由则或判断；D. 由面面垂直的性质判断.
【详解】A. 若，，则或异面，故错误；
B.若，，，，则或相交，故错误；
C.若，，则或，故错误；
D. 若，，，则，又，所以，故正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
4. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，故每3个随机数为一组，代表3次射击的结果，经随机模拟产生了20组随机数；
据此估计，其中3次射击至少2次击中目标的概率约为（ ）
A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.6
【答案】C
【解析】
【分析】
这是一个古典概型，已知基本事件的总数为20种，然后从中找出3次射击至少2次击的基本事件的种数，代入公式求解.
【详解】基本事件的总数为20种，
其中3次射击至少2次击的基本事件有162 151 271 932 408 471 333 027 730 163 039共11种，
所以3次射击至少2次击中目标的概率约为
故选：C
【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，属于基础题.
5. 将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，球体最大体积直径为棱长，利用球的体积公式即可求解.
【详解】正方体的棱长为3cm，
所以球体最大体积的半径，
所以球的体积：.
故选：B
【点睛】本题考查了正方体的内切球、球的体积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
6. 已知正四棱柱中，，，则直线和所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可.
【详解】
如图，以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为正四棱柱中，，，
所以
所以
所以，所以直线和所成的角的余弦值为
故选：A
【点睛】本题考查的是异面直线所成角的求法，考查了学生的基础水平，属于基础题.
7. 在平行四边形中，，若交于点M.且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知找到相似三角形，用向量、线性 表示向量.
【详解】如图，平行四边形中，，，
，.
故选：B
【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.
8. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8、方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为（ ）
A. 1.75B. 1.85C. 1.95D. 2.05
【答案】C
【解析】
【分析】
设乙得到十位市民的幸福感指数分别为，根据这10个数据的平均数为8、方差为2.2可得，再根据方差的公式可求20个数据的方差.
【详解】设甲得到的十位市民的幸福感指数分别为，
乙得到十位市民的幸福感指数分别为，
故这20位市民的幸福感指数的方差为，
因为乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8、方差为2.2，
，
故，
而，故，
而，
故所求的方差为，
故选：C.
【点睛】本题考查方差的计算，注意样本数据的方差为，也可以是，本题属于中档题.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 若复数z满足，则（ ）
A. B. z的实部为1
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可
【详解】解：由，得，
所以z的实部为1，，，
故选：BC
【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题
10. 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. 是单位向量B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断.
【详解】A. 因为是边长为2的等边三角形，所以，又，所以 是单位向量，故正确；
B. 因为，，所以，所以，故正确；
C. 因，所以，故错误；
D. 因为， ，所以，所以，故正确.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ）
A. M与N互斥B. M与N不对立
C. M与N相互独立D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判断四个选项正误.
【详解】对于选项A：事件与是可能同时发生的，故与不互斥，选项A不正确；
对于选项：事件与不互斥，不是对立事件，选项正确；
对于选项：事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立.
对于选项：事件发生概率为 ，事件发生的概率，，选项正确.
故选：
【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础题.
12. 已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 与平面所成的角的大小为45°
D. 平面将正方体分成两部分的体积的比为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
如图，计算可得分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A、B的正确与否，计算出直线与平面所成的角为后可得C正确，而几何体为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D正确与否.
【详解】
如图，连接，则，故棱与球面没有交点.
同理，棱与球面没有交点.
因为棱与棱之间的距离为，故棱与球面没有交点.
因为正方体的棱长为2，而，
球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，
所以棱与球面各有一个交点， 如图各记为.
因为为直角三角形，故，故为棱的中点.
同理分别为棱的中点.
由正方形、为所在棱的中点可得，
同理，故，故共面.
由正方体可得，故
因为平面，平面，故平面，故A正确.
因为在直角三角中，， ，，
与不垂直，故与不垂直，故平面不成立，故B错误.
由正方体可得平面，而平面，
所以，所以
在正方形中，因为分别为的中点，故，
因为，故平面，
所以为直线与平面所成的角，而，
故直线与平面所成的角为，
因为，故与平面所成的角的大小为45°.故C正确.
因为分别为所在棱的中点，故几何体为三棱柱，
其体积为，而正方体的体积为8，
故平面将正方体分成两部分的体积的比为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义，由求解.
【详解】因为向量，对应的复数分别是，，
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题.
14. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【解析】
【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.
15. 如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km.
【答案】
【解析】
【分析】
在中，根据，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理 求解.
【详解】在中，因为，，，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍去），
在中，因为，，
所以，
由正弦定理得： ，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16. 在中，，E，F是边的三等分点，若，则_______________
【答案】
【解析】
【分析】
以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，根据，得到， 再根据，得到平行四边形ABCD是菱形，则，设，利用勾股定理分别求得，的长度，在中利用余弦定理求解.
【详解】如图所示：
以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，则，
因为，
所以，设，则，
因为，所以平行四边形ABCD是菱形，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求的值；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）；（2）9.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式，再结合，即可得的值.
（2）利用向量数量积定义知，可得，
再利用余弦定理，可求，即可得周长.
【详解】（1）由正弦定理，得.
∴，即
又，∴.
（2）∵
∴
由余弦定理，得
即
解得.
∴的周长为.
【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理，两角和的正弦公式，向量数量积的定义，属于中档题.
18. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在，的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据小矩形的面积代表概率，所以所有小矩形面积之和等于 ，即可得a的值，
成绩在以下的频率为，成绩在分以下的频率为，第80百分位数，
.
（2）先利用频率之比求出，的两组中应抽的人数，然后列出从这6人中随机抽取2人包括的基本事件，至少有1人的成绩在内包括的基本事件，利用概率公式即可求概率.
【详解】（1）由题意可知，
解得.
∵，，，，
∴成绩在分以下的频率为，
成绩在分以下频率为，
∴第80百分位数，.
.
（2）∵，的频率之比为
∴从中随机抽取人.
从中随机抽取人.
从中随机抽取的4人记为1，2，3，4，从中随凯抽取的2人记为a，b，
从这6人中随机抽取2人的样木空间为
，共有15个样本点，.
设事件“至少有1人的成绩在内”，则，共有9个样本点.
∴.
∴至少有1人的成绩在内的概率.
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，以及古典概率的计算，属于中档题.
19. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面之间的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由平面，AE∥平面，且，即可证得平面平面；
（2）先将平面与平面之间的距离转化为点B到面的距离，然后把当作顶点求出总体积，再把当作顶点利用等体积法建立方程，即可求出点到平面的距离
【详解】（1）证明：∵正方体中E，F分别为，的中点，
∴∥，=
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平面，平，
∴平面.
∵∥，=
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平向，平面，
∴AE∥平面.
又∵，
∴平面平面.
（2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h，
∵正方体的棱长为2，
∴，，
∴的面积
∴三棱锥的体积，.
又三棱锥的体积.
由可得，
解得.
∴平面与平面之间的距离为.
【点睛】此题考查空间位置关系、面面距离的计算、面面平行的判定、等体积求距离，考查推理能力和计算能力，属于中档题
20. 如图所示，在中，点D为边上一点，且，，.
（1）求的长；
（2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在中，首先利用两角差的正弦公式求出，再利用正弦定理即可求解.
（2）的面积，设，，由为锐角角形，即，即求.
【详解】解：（1）在中，
∴.
∴.
在中，由正弦定理，得，
即.
（2）由题设知的面积.
在中，由正弦定理，得
设，
则.
∴为锐角角形，
∴，，
又，
∴.
∴.
∴，从而.
∴的面积的取值范围是.
【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于中档题.
21. 甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M，在点M处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N，在点N处投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙两人在M点投中的概率都为p，在N点投中的概率都为q.且在M，N两点处投中与否互不影响.设定甲、乙两人先在M处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.
（1）求p，q的值；
（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，，，分别表示在一次比赛中甲得分的事件，，，，分别表示在一次比赛中乙得分的事件，由题意结合在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，由求解.
（2）由题意知：，，，，设“星队”在一次比赛屮的总得分为5分”，则，然后利用独立事件和互斥事件的概率公式求解.
【详解】（1）设，，，分别表示在一次比赛中甲得分的事件，，，，分别表示在一次比赛中乙得分的事件.
因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，
所以.
解得，.
（2）由已知得，
，
，
，
设““星队”在一次比赛屮的总得分为5分”，
则，
则，
，
，
，
所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是.
【点睛】本题主要考查独立事件和互斥事件的概率，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
22. 如图1所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点E满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接，连接交于点O，证明平面即可；
（2）延长，，设，连接，可得是平面与平面的交线，作，垂足为H，连接，然后证明为平面与平面所成锐二面角的平面角，然后求出即可.
【详解】（1）证明：在图1中，连接，易求.
∴四边形为菱形.
连接交于点O，则.
∴在图2中，，.
又，
∴平面.
又平面，
∴.
（2）解：在图2中延长，，设，连接.
∵平面，平面.
又平面，平面.
∴是平面与平面的交线.
∵平面平面，，平面平面，
∴平面.
又平面，∴.
作，垂足为H，连接.
又，
∴平面，又平面，
∴.
∴即为平面与平面所成锐二面角的平面角.
由（1）知，，为等边三角形，
∴.
∵，∴，
解得
在中，.
∴
∴平面与平面所成锐二面角余弦值.
【点睛】本题考查的是线面垂直的证明和面面垂直的性质、二面角的求法，考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于较难题.