高一数学下册考试真题强化训练 期末专题05 解三角形大题综合原卷版+解析

这是一份高一数学下册考试真题强化训练 期末专题05 解三角形大题综合原卷版+解析，共50页。试卷主要包含了已知平面四边形中，，，在中，设角，，的对边分别为，，，在中，分别为角的对边，，且，.，在中，角的对边分别为，已知.等内容，欢迎下载使用。
1．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知平面四边形中，，
(1)若，求；
(2)若，求．
2．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）在中，设角，，的对边分别为，，．已知向量，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
3．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求的周长.
4．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在中，分别为角的对边，，且，.
(1)求角大小.
(2)为边上一点，，且__________，求的面积.
（从①为的平分线，②为的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.）
5．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
(1)若，求B；
(2)若，求符合条件的k的最小值．
6．（2021春·江苏扬州·高一统考期末）在中，角的对边分别为，已知.
（1）若，求的最大值；
（2）若为钝角，求：
①的取值范围；
②的取值范围.
（参考公式：）
7．（2021春·江苏常州·高一统考期末）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中，，.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合.
（1）设，若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
8．（2021春·江苏南通·高一统考期末）在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
①，②
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ；
（1）求sinA的值
（2）如图，M为边AC上一点，，，求的面积
9．（2021春·江苏常州·高一统考期末）已知在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）若，求的值；
（2）若点在边上，且，，求面积的最大值.
10．（2021·江苏·高一期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解决该问题． 已知中，_____________，，，
（1）求角B；
（2）求的面积．
11．（2021春·江苏南通·高一统考期末）在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角所对的边分别为，且满足________．
（1）求角的大小；
（2）若为边上一点，且，，，求．
12．（2021春·江苏泰州·高一泰州中学校考期末）的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知且.
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为，求的面积；
(3)若，求的值.
13．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
14．（2022春·江苏扬州·高一期末）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足．
(1)求A的大小；
(2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长．
15．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）在中，内角所对的边分别为，，，请在①，②，③这三个条件中任选一个，完成下列问题.
(1)求角；
(2)在（1）的条件下，若点为的中点，且，，求的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
16．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____________．
(1)求A；
(2)若，求面积的取值范围．
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
17．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，．
(1)求A和a的大小；
(2)若为锐角三角形，求的面积S的取值范围．
18．（2022春·江苏常州·高一统考期末）如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，.
(1)求角D的大小；
(2)若，，，，求的长.
19．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B.
(1)若，求的值；
(2)若，求证：.（参考数据：）
20．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，某学校前后两座教学楼，的高度分别为12米和17米，从教学楼顶部看教学楼的张角．
(1)求两座教学楼和的底部之间的距离；
(2)求的正切值．
21．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，，DE＝8，且.
(1)求BE的长度；
(2)景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．
22．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，
①的角平分线交于M，求线段的长；
②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围．
23．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在中，角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)若，，求角
(2)设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．
24．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）中，已知，，为上一点，，.
(1)求的长度；
(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.
25．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
26．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．
27．（2022春·江苏南京·高一统考期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝2，∠CAQ＝．
(1)求AQ的长；
(2)过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值．
28．（2022春·江苏常州·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点.
(1)求的值；
(2)若.
①求证：平分；
②求面积的最大值及此时的长.
29．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在四边形中，.
(1)若，，，求四边形面积的最小值；
(2)若四边形的外接圆半径为，，求的最大值.
30．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）如图1，为了测量运动场上探照灯杆的高度；某数学兴趣小组进行如下实验：一身高为米的人站在灯杆正前方某点处（用表示站立的人），此时在地面的人影为，此人朝灯杆位置沿直线向前走4米后（用表示站立的人），此时在地面的人影为（假设把探照灯看做一个点光源）.
(1)若，求灯杆的高度（单位：米）；
(2)如图2，在地面上存在点满足，现在探照灯杆上安装一电子屏幕（屏幕中轴线为）播放运动赛况，屏幕的高米，屏幕底部距离地面米.此人（用表示站立的人）从上某一位置出发走向上某一位置（行走路线一直落在内），为始终能获得最佳观看效果（眼睛观看屏幕上下沿形成的视角最大），求此人行走的最短路程.
期末专题05 解三角形大题综合
1．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知平面四边形中，，
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由条件可得，在中，求出,然后在直角三角形中由勾股定理可得出答案.
（2）根据条件先求出，然后在中利用正弦定理求出, 在中利用正弦定理可得出答案.
（1）
由, ,则为等边三角形
所以，又，则
又，所以，则,
由,则
连接,由，则
（2）
由，，则
又，则
又，则
在中，,即
解得
在中, , 即,解得
2．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）在中，设角，，的对边分别为，，．已知向量，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；
（2）由正弦定理先求出的关系，再由余弦定理即可解出，最后根据三角形的面积公式即可解出
（1）
由可得，，所以，而，所以．
（2）
由得，而，即，解得，所以，故的面积为．
3．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行的坐标公式，结合余弦定理求解即可；
（2）根据面积公式可得，进而得到，从而利用正弦定理求出，进而得到周长即可
(1)
由向量平行的坐标公式可得，由正弦定理可得，即，故，因为，故
(2)
由三角形面积公式，，故，故为等腰三角形，故，又，故，所以的周长为
4．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在中，分别为角的对边，，且，.
(1)求角大小.
(2)为边上一点，，且__________，求的面积.
（从①为的平分线，②为的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的平行关系得到等式，再运用正弦定理及正弦的两角和公式化简即可求解；
（2）若选①，运用面积公式及余弦定理可求解；选②，根据向量关系及余弦定理即可求解.
【详解】（1）
由正弦定理得：
，
（2）选①：
由平分得：
，
所以，（1）
在中，由余弦定理得：
所以，（2）
（1）（2）联立得
解得，解得，
所以，
选②：
，
，得（1）
中，由余弦定理得
所以，（2）
（2）-（1）即可得，
.
5．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
(1)若，求B；
(2)若，求符合条件的k的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换得出，再由，得出；
（2）由结合正弦定理以及得出，令，结合基本不等式得出的最小值.
【详解】（1），
即，
，
，
两边平方得，即，
,,
，;
（2）由（1）可得，，则,
则，,
，
由得，
设，则
当且仅当时，等号成立
即符合条件的k的最小值为
6．（2021春·江苏扬州·高一统考期末）在中，角的对边分别为，已知.
（1）若，求的最大值；
（2）若为钝角，求：
①的取值范围；
②的取值范围.
（参考公式：）
【答案】（1）；（2）①；②.
【分析】（1）由题意可得，然后利用余弦定理可得，从而可求出的最大值；
（2）①由于为钝角，所以可得，结合，可得，再结合基本不等式可求得的取值范围；②由正弦定理将化为，利用和差化积公式可得，再利用三角恒等变换公式可得，再结合①可得结论
【详解】（1）当时，，所以，因为，所以，则的最大值为.
（2）①因为，所以；因为为钝角，即存在，使得，
即成立；
因为，所以，即；
②又因为，所以，
则，因为，
所以，所以，
则，
，
所以，因为，所以，
所以的取值范围为.
7．（2021春·江苏常州·高一统考期末）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中，，.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合.
（1）设，若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据大三角形直角边的比例关系，可得三角形，结合，可求得各边的长度以及三角形的面积
（2）在中，由正弦定理求出的表达式，可化简为关于的三角函数形式，根据角的范围求出三角函数的最值，从而求出的最值
【详解】（1）由题意得：与全等，
在中，，
又，
，，
又，，，
，为等边三角形，
公共绿地的面积
（2）由图得：且
在中，由正弦定理得：
，
令
又由得，
，
当即时取最大值，即最短，
此时是等边三角形，.
8．（2021春·江苏南通·高一统考期末）在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
①，②
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ；
（1）求sinA的值
（2）如图，M为边AC上一点，，，求的面积
【答案】选择见解析；（1）；（2）．
【分析】选择条件①（1）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．（2）根据已知条件，运用余弦定理，可得，再结合三角形面积公式，即可求解．
选择条件②（1）根据已知条件，运用正弦定理，以及二倍角公式，即可求解．（2）根据已知条件，运用余弦定理，可得，再结合三角形面积公式，即可求解．
【详解】解：若选①，（1），由正弦定理可得
因为，所以可得，在中，所以，所以；
（2）设，
易知．
在中，由余弦定理得，
解得，
所以，
在中，因为，，，所以
所以，
所以．
若选②，（1）因为，所以，由正弦定理可得，因为，，所以，，所以.
（2）设，
易知．
在中，由余弦定理得，解得，
所以，
在中，因为，，，所以
所以，
所以．
9．（2021春·江苏常州·高一统考期末）已知在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）若，求的值；
（2）若点在边上，且，，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据已知条件，运用余弦定理，可推得，再结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．
（2）由，可推得，对等式两边同时平方，并结合均值不等式和三角形面积公式，即可求解．
【详解】解：（1）由余弦定理得，
整理得，，所以
又因为，所以
因为，又，
所以
故
（2）因为，所以
所以，
即，
所以.
当且仅当，即取“=”
又因为，
所以
10．（2021·江苏·高一期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解决该问题． 已知中，_____________，，，
（1）求角B；
（2）求的面积．
【答案】条件选择见解析（1）B=；（2）.
【分析】分别选择①②③，利用余弦定理、正弦定理和三角函数的性质，以及辅助角公式等，求得
，再根据正弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】若选①：
（1）因为，由余弦定理可得，
又因为，可得，
（2）由，，根据正弦定理得，
则，
所以的面积为.
若选②：
（1）因为，由正弦定理，可得，
又因为，得，所以，即，
由，可得，
（2）由，，根据正弦定理得，
则，
所以的面积为.
若选③：
（1）因为，可得，即，
又因为，可得，所以，所以，
（2）由，，根据正弦定理得，
则，
所以的面积为.
11．（2021春·江苏南通·高一统考期末）在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角所对的边分别为，且满足________．
（1）求角的大小；
（2）若为边上一点，且，，，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）选①则根据等式化简结合余弦定理与角 的取值范围即可；选②则根据两角和的正切公式化简并结合角 的取值范围即可；选③则利用两角和的正弦公式结合角 范围即可；（2）在 中利用余弦定理求出 算出 ，在 中利用正弦定理即可.
【详解】（1）选①，由题意化简得，即，根据余弦定理得，因为所以.
选②，由题意得,则，因为所以.
选③，由题意化简得,当时代入原式显然不成立，故，因为所以.
（2）在中，根据余弦定理得，所以，故,所以，在中根据正弦定理得，解得
12．（2021春·江苏泰州·高一泰州中学校考期末）的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知且.
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为，求的面积；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由余弦定理角化边化简后可得；
（2）余弦定理与已知联立可得bc的值，然后可得；
（3）先由正弦定理可得的值，然后根据二倍角公式与和差公式可解.
【详解】（1）因为，所以，
整理可得：，
由余弦定理可得：，
所以，，
所以可得；
（2）由三角形的周长为，a=，
所以，
由（1）可得，而，
所以可得，可得，
所以，
所以△ABC的面积为；
（3）因为b=，a=，A=π，
由正弦定理可得：=，
b＜a，所以B为锐角，所以，
所以，，
所以，即，
所以．
13．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；
（2）由余弦定理求得，再用正弦定理计算．
【详解】（1）∵，∴，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，∴，
∴，∴．
14．（2022春·江苏扬州·高一期末）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足．
(1)求A的大小；
(2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角A；
（2）由数量积公式可得，再由余弦定理求出，根据三角形面积公式利用建立方程求解即可.
【详解】（1）因为，
∴，
因为，所以，
所以，又，
∴，
所以，即.
（2）由，得，
∴，又，
∴，
可得，
∵，
∴，
所以.
15．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）在中，内角所对的边分别为，，，请在①，②，③这三个条件中任选一个，完成下列问题.
(1)求角；
(2)在（1）的条件下，若点为的中点，且，，求的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，根据二倍角公式结合内角和与诱导公式化简求解即可；选②，根据正弦定理结合内角和与两角喝茶的正余弦公式化简求解即可；选③，根据余弦定理与面积公式化简求解即可；
（2）构造四边形为平行四边形，再在中，由余弦定理化简求解即可
【详解】（1）选①，因为，所以，
，解得，
因为，所以，故角．
选②，因为，
由正弦定理的，，
所以，，，所以，故角．
选③，因为，所以，
，，故角．
（2）作，交于点，连结，则四边形为平行四边形，
点为中点，且．
在中，由余弦定理得
或（舍），即，
所以
16．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____________．
(1)求A；
(2)若，求面积的取值范围．
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)
【分析】对于条件①：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得；
对于条件②：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得；
对于条件③：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得.
【详解】（1）（1）若选①：因为，根据正弦定理得，
所以，
所以．
则，因为，所以
，又，所以．
若选②化简得：，则，
又，所以．
若选③：因为，根据正弦定理得，所以
．即，
因为，所以．
（2）（2）因为，由，则，
，
又，所以，
则的取值范围为．
17．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，．
(1)求A和a的大小；
(2)若为锐角三角形，求的面积S的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和a的大小；
（2）由锐角三角形得，根据正弦定理有，，最后利用三角形面积公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：
所以，
所以，
因为中，所以，
因为，所以，
因为，由余弦定理得：，解得，
综上，，．
（2）由（1）知：，，
由正弦定理得：，．
因为为锐角三角形，故，得．
从而的面积
，
又，，
所以，从而的面积的取值范围为．
18．（2022春·江苏常州·高一统考期末）如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，.
(1)求角D的大小；
(2)若，，，，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在，根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可求角的大小；
（2）设，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理，联立可解得的值，在中，由正弦定理可得的值.
(1)
解：因为在中，
所以，①
即在中，由余弦定理得，
，②
则由①②两式得，，
又因为在中，，所以，
(2)
解：在中，设，，则由正弦定理得，
即①
又在中，，，
则由正弦定理得，
即②
则由①②两式得，，即，
展开并整理得，也即
，
又因为在中，，所以，
把代入①式得，.
19．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B.
(1)若，求的值；
(2)若，求证：.（参考数据：）
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由三角形内角性质可得，结合已知并利用二倍角正余弦公式求、、，最后应用诱导公式、和角正弦公式求.
（2）由大边对大角及三角形内角性质得，根据及正弦定理边角关系得，即可证结论.
(1)
由，，故，
又，可得，则，，
则.
(2)
由知：，
所以，即，
又，则，即，
所以，而，则，
综上，.
20．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，某学校前后两座教学楼，的高度分别为12米和17米，从教学楼顶部看教学楼的张角．
(1)求两座教学楼和的底部之间的距离；
(2)求的正切值．
【答案】(1)米；
(2)．
【分析】（1）过点作交于点，分别求出，再根据两角和的正切公式即可解出；
（2）先通过解求出，即可求出．
（1）
如图所示：过点作交于点，易知四边形为矩形，设米，所以，，而，所以，
，化简得，，而，解得，即米．
（2）
在中，，在中，，所以，
．
21．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，，DE＝8，且.
(1)求BE的长度；
(2)景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．
【答案】(1)10
(2)当步行观光旅游路线时，种植区域面积最大，且最大值为
【分析】（1）在中，根据正弦定理，可得BD的长，在中，根据余弦定理，即可得答案.
（2）在中，由余弦定理及基本不等式，可得，代入面积公式，即可得答案.
（1）
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得或（舍）
（2）
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
此时面积最大值
所以当步行观光旅游路线时，种植区域面积最大，且最大值为
22．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，
①的角平分线交于M，求线段的长；
②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据三角形内角的关系，结合二倍角公式求解即可；
（2）①法一：在与中根据正弦定理可得，再根据结合数量积运算求解即可；
法二：根据，结合面积公式列式求解即可；
②法一：根据平面向量基本定理可得，进而求得范围；
法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据坐标运算求解即可
【详解】（1），则，故，所以，因为，
可得，由，所以．
（2）①法一：在与中，
由正弦定理得，
即，故，
所以，
所以
法二：在中，由是的角平分线
所以
由知：
即，解得
②法一：由，得
又
所以．
的取值范围为；
法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由．则
因为，
所以．
所以
由，得的取值范围为
23．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在中，角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)若，，求角
(2)设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度.
（2）利用角平分线性质及面积公式得到，再利用基本不等式得出最值.
【详解】（1）解：因为，
依据正弦定理，
所以，
即，
由余弦定理变形知，
因为，所以．
因为，，
则在中，由正弦定理得：
又，
因为，所以．
（2）法一：因为，
是的角平分线，
而，
所以，
即，
所以，
因为，，，且，故AD
当且仅当取等，
所以最大值为．
答：当时，最大值为．
法二：因为,
设，，
在，中由正弦定理知：
①，
②，
因为，所以①②得，
，
令，，
由于，
所以，易得此函数在为单调递增函数，
所以当时，最大值为．
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．
24．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）中，已知，，为上一点，，.
(1)求的长度；
(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设，，在与中应用余弦定理，结合可得，再由有求出.
（2）由（1）易知为外接圆的直径，讨论的位置，利用正余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质求的最大值.
【详解】（1）设，，则.
在与中，由余弦定理知：
，即，
，即.
，
，可得.
，
，即.解得，.
.
（2）由（1）知：中，，，为外接圆的直径.
为外接圆上任意一点，
当在点时，.
当在点时，.
当在优弧上时，，
设，则.
中，由正弦定理知，.
，
当时，的最大值为.
当在劣弧上时，，
设，则.
中，由正弦定理知，.
.
当时，的最大值为.
综上，的最大值为.
【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论的位置，综合运用正余弦定理、三角恒等变换及正弦型函数的性质求对应最值.
25．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先由正弦定理得，化简整理得，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）先由面积求得，再由角平分线得，结合平面向量得，平方整理求得，再由（1）中即可求出c的值.
【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，
化简得，由余弦定理得，又，则；
（2）
由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则，
即，则，
所以，即，
整理得，又，解得，则，
由（1）知，则.
26．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；
（2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：若选①，
由正弦定理可得
即，又，所以，即，
因为，所以；
若选②，即，
即，
所以，即，所以，即，
因为，所以；
（2）解：依题意，，
所以，
因为、、三点共线，故设，
同理、、三点共线，故设，
所以，解得，
所以，
则，
因为，所以，
又为锐角三角形，
当为锐角，则，即，
即，即，即，所以，
当为锐角，则，即，
即，即，即，即，所以，
综上可得，
又，则
因为，所以，而在上单调递减，所以，
即，即，所以，则.
27．（2022春·江苏南京·高一统考期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝2，∠CAQ＝．
(1)求AQ的长；
(2)过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得＝，结合已知有sin∠BAQ＝sin∠CAQ，进而求得∠BAQ＝，在△ABC、△ABQ和△ACQ中应用余弦定理求AQ的长；
（2）设＝，λ≠0，根据向量加减的几何意义可得＝、＝，进而可得，应用基本不等式“1”的代换求x+y的最小值．
(1)
在△ABQ与AQC中，＝和＝，
两式相除得：＝，
又＝＝＝2，所以sin∠BAQ＝sin∠CAQ，
因为∠CAQ＝，∠BAQ∈(0,)，所以∠BAQ＝或（舍），
由CP＝2BP，AB＝2AC，a＝6，
在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccs∠BAC，可得b2＝，
在△ABQ和△ACQ中,，
可得AQ2＝2b2－8＝2×－8＝，
所以AQ＝.
(2)
因为＝2，所以CP＝2BP，则＝－2，
故－＝－2()，则＝，
同理：设＝，λ≠0，得＝+，
因为E为AP中点，所以＝+＝，
所以，可得：，则，
，
当且仅当：时取等号，即，
所以的最小值．
28．（2022春·江苏常州·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点.
(1)求的值；
(2)若.
①求证：平分；
②求面积的最大值及此时的长.
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②最大值为3，.
【分析】（1）利用余弦定理可得，即得；
（2）①设，，，由题可得，利用正弦定理可得，进而即得；②利用余弦定理及面积公式可表示出三角形的面积，然后利用二次函数的性质或基本不等式可得面积的最大值，再利用余弦定理可求的长.
(1)
因为，，
所以
.
(2)
①因为，
所以，即，
由知，，，
设，，，
在中，由正弦定理得，，
即，所以，
在中，由正弦定理得，，
即，所以，
所以，即，
所以平分；
②在中，因为，，
代入余弦定理得，，
而的面积，
解法1：因为，且为锐角，所以，
所以
，
当且仅当，取等号，
此时，，，即，，
由得，
解得.
解法2：由得，
所以，
所以当即时，面积最大为3，
此时在中，，，，
所以由余弦定理求得，
在中，由余弦定理得，
所以此时.
29．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在四边形中，.
(1)若，，，求四边形面积的最小值；
(2)若四边形的外接圆半径为，，求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】延长，相较于点，结合题意可知是边长为的正三角形，进而利用余弦定理即三角形面积，基本不等式即可求得结果；
由四边形存在外接圆，进而得出四边形为等腰梯形，连接，设，，利用正弦定理，表示，，，进而利用基本不等式得出结果.
（1）
解：延长，相较于点，
如图所示：
，，
是边长为的正三角形，
的面积为.
在中，，，
由余弦定理得，，
即，
则，（当且仅当时，等号成立）
的面积,
的面积的最大值为，
四边形面积的最小值为.
（2）
四边形存在外接圆，
，
，
.
，
四边形为等腰梯形.
连接，设，，，
如图所示：
的外接圆半径为，
在中，由正弦定理得，，
，.
同理可得，在中，由正弦定理可得，
，，
设，得，
，，
，（当且仅当时，等号成立）
，，（当且仅当时，等号成立）
当，时，取得最大值.
30．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）如图1，为了测量运动场上探照灯杆的高度；某数学兴趣小组进行如下实验：一身高为米的人站在灯杆正前方某点处（用表示站立的人），此时在地面的人影为，此人朝灯杆位置沿直线向前走4米后（用表示站立的人），此时在地面的人影为（假设把探照灯看做一个点光源）.
(1)若，求灯杆的高度（单位：米）；
(2)如图2，在地面上存在点满足，现在探照灯杆上安装一电子屏幕（屏幕中轴线为）播放运动赛况，屏幕的高米，屏幕底部距离地面米.此人（用表示站立的人）从上某一位置出发走向上某一位置（行走路线一直落在内），为始终能获得最佳观看效果（眼睛观看屏幕上下沿形成的视角最大），求此人行走的最短路程.
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）由，得到相似比，，计算得到，，由题可得，建立关系式，代入数量即可求得灯杆的高度；
（2）将平面单独拿出，在和中分别求得，，利用两角差的正切公式求得，进而转化成函数，利用基本不等式求最值即可.
（1）
解：因为，所以，
因为，所以，所以，
同理可得.
由题意可得，，，
所以，即，
所以米；
（2）
设，在平面内过点作，垂足为（如图），，，
所以，，
所以，
因为（当且仅当，即时取等号），
所以当此人距离灯杆的距离为米时始终能获得最佳观看效果，
此时此人行走的路程为以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧长，
所以最短路程为米.