2024年高一数学下册（苏教版）-期末押题卷01（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏教版2019必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，即，
，即，则，
因为，夹角 ，
故选：C.
2．已知复数在复平面内对应的点为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，所以，则.
故选：B.
3．某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：
5588 6054 8799 9851 9901 10111 11029 11207 12634 12901
13001 13092 13127 13268 13562 13621 13761 13801 14101 14172
14191 14292 14426 14468 14562 14621 15061 15601 15901 19972
估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（ ）
A．14292B．14359C．14426D．14468
【答案】C
【解析】由，得样本的第75百分位数为第23个数据，
据此估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为14426.
故选：C
4．拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】抛掷次数为的概率为，点数可能为或，
抛掷次数为的概率为，
此时基本事件有、、、、、、、共八种，
其中点数之和至少为4的情况有、、、、共五种，
故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为.
故选：A.
5．某测量爱好者在城市CBD核心区测量一座国际金融中心摩天大楼时，过国际金融中心摩天大楼底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得摩天大楼顶部点P的仰角依次为30°，45°，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ）
A．350米B．400米C．450米D．500米
【答案】C
【解析】由题意知，，
则，故,
即，解得（米），
故选：C
6．已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】已知样本数据的平均数为，方差为，
记数据的平均数为，方差为，
则，
，
由题意可得，.
故选：C
7．在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】由，，共线，可设，
由,,三点共线，故可设，
则有，解得：，
故，
由题意，，，三点共线，
故可设，
则，整理得，
故，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为；
故选：C
8．在中，角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】D
【解析】由正弦定理得
因为，所以，故，
如图所示，
则的面积为，
即，
．
．
当且仅当时取等号．
所以，的最小值为．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由，得，则A错误.
对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.
对于C，设（，且），
则，所以，则C正确.
对于D，由，得.
设（，且），则，
，从而，则D正确.
故选：BCD
10．下列说法中正确的是（ ）
A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．
B．若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥．
C．设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32
D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分
【答案】ACD
【解析】对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的；
对于B，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确；
对于C，设样本数据的均值为，则，方差为，则，
所以新样本的均值为，方差为，故C正确；
对于D，由题意，可得高一年级抽取的样本量为×450＝90，
高二年级抽取的样本量为×350＝70.
高一和高二数学竞赛的平均分约为×80＋×90＝84.375(分)，故D正确.
故选：ACD.
11．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧PQ上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记．则下列说法正确的是（ ）
A．弧PQ的长为
B．扇形OPQ的面积为
C．当时，矩形ABCD的面积为
D．矩形ABCD的面积的最大值为
【答案】AC
【解析】由题意知，在扇形OPQ中，半径，圆心角，
故弧PQ的长为，A正确；
扇形OPQ的面积为，B错误；
在中，，，
在中，，，
则ABCD的面积，
当时，由，得，，C正确；
又，
当，即时，矩形ABCD的面积取最大值，D错误．
故选：AC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为 石（结果四舍五入取整数）.
【答案】434
【解析】设粮仓内的秕谷有x石，依题意，，解得，
所以粮仓内的秕谷约为434石.
故答案为：434.
13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为 .
【答案】
【解析】因为，由正弦定理可得：，即，
又，所以，
由，
所以，
故答案为：.
14．如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为 .
【答案】或
【解析】取的中点，连接、，
、分别为、的中点，且，
同理可得且，
为异面直线与所成的角或其补角，则或.
在中，，，
若，由余弦定理可得
；
若，由余弦定理可得
；
综上所述，或.
故答案为：或.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85．
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数；
(2)从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．
【解析】（1）由频率分布直方图可得：且，
解得，
甲离子残留百分比的中位数为.
（2）组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为，
组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7，
​​​​​​​所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为.
16．（15分）
已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【解析】（1）
所以，故，
因为，所以，
所以，故.
（2），所以，
所以，
又，所以，
因为，所以，
所以.
17．（15分）
在直三棱柱中，点D，E分别为棱AB，的中点，点F在棱上.
(1)试确定点F的位置，使得平面平面CDE，并证明；
(2)若多面体的体积为直三棱柱体积的，求.
【解析】（1）证明：当点为棱的中点时，平面平面，
证明如下：由点分别为的中点，可得，
因为平面，平面，可得平面，
又因为，可得四边形是平行四边形，可得，
因为平面，平面，可得平面，
又因为，且，所以平面平面.
（2）设的面积为，，可得直三棱柱的体积为，
多面体的体积为直三棱柱体积的，即为，
由三棱锥的体积为，
可得四棱锥的体积为，
设，点到侧面的距离为，
则，解得，则.
18．（17分）
已知点G为三条中线的交点．
(1)求证:
(2)若点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，求证:
(3)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，，求的最小值．
【解析】（1）令分别为的边上的中线，则，
由点在上，得，显然，则，即，
又点共线，于是，解得，则，
因此，
所以.
（2）由（1）知，，而点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，
因此，即，
所以.
（3）由（1）知，，而，，
因此，又点共线，则，即，
于是，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
19．（17分）
如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围．
【解析】（1）由，
由正弦定理，可得，
由余弦定理，可得，
得，且，所以；
（2）由为边上中线，可得，
则，
由，可得，
则，则，
则，
，
则；
（3）由，可得，
设，
由的面积为面积的，可得，
则，则，设，由为中线，可得，
则，由共线可得，
，
由可得，
由，可得，则