安徽省安庆市桐城市第二中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份安徽省安庆市桐城市第二中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知三角形的三边长分别是，，，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点P（m，2m﹣4）在x轴上，则点Q（1﹣m，﹣m）的位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④若，则；⑤邻补角的平分线互相垂直，其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．到的三边距离相等的点是的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点
8．甲、乙两人沿相同的路线由地到地匀速前进．，两地间的路程为．他们前进的路程为，甲出发后的时间为，甲、乙前进的路程与时间之间的图象如图所示．下列说法错误的是（ ）

A．甲比乙早小时出发B．乙的速度是甲的速度的倍
C．走完全程，甲比乙多用小时D．经过分钟，乙追上甲
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．4.8B．9.6C．8D．6
10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线， 交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ）
①的周长-的周长；②的面积的面积；③；④；⑤．

A．①③⑤B．②③④⑤C．①③④⑤D．①③④
二、填空题
11．将点P向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(3,-1)，则点P坐标为 ．
12．如图，点D在的垂直平分线上，，若，则 度．
13．如图，已知是的平分线，，若，则的面积为 ．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，1）、B（4，1）、C（1，3）．若△ABC与△ABD全等，则点D坐标为 ．
三、解答题
15．已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数．
(1)求m的值．
(2)当时，求y的取值范围．
16．如图，网格中小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)求的面积；
(2)作出关于x轴对称的，并直接写出，，三点的坐标．
17．在中，平分交于点D，是边上的高，且，，求的度数．

18．平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即．
(1)求点的勾股值；
(2)若点B在第二象限，且满足，求满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形面积．
19．如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．

(1)求直线的函数表达式；
(2)若点P在射线上，且，求点P的坐标．
21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
22．某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a的值．
23．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；．
故选C
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．A
【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，，
∴，
解得：，
∴选项中符合题意，
故选：．
3．C
【分析】先根据x轴上点的纵坐标为0求出m的值，然后可判断点Q所在的象限．
【详解】解：∵点P(m，2m﹣4)在x轴上，
∴2m-4=0，
∴m=2，
∴1-m=-1，-m=-2，
∴点Q(1﹣m，﹣m)的位置在第三象限．
故选C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
4．B
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，两函数图象交点的横坐标就是关于x的方程的解．
【详解】解：当时，，解得，则，
当时，，
关于的方程的解为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键．
5．A
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，
∴，
∵，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了真假命题的判定，涉及平行线的性质、对顶角性质，不等式的性质，邻补角，据此逐项分析即可作答．
【详解】解：①垂直于同一条直线的两条直线平行是错误的，要强调同一平面内，
②两直线平行，同位角相等；是正确的；
③对顶角相等；是正确的；
④若，则是错误的；要强调前提是；
⑤邻补角的平分线互相垂直，是正确的；
故选：C
7．B
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的内心，解答本题的关键是明确角平分线的性质和三角形的内心．根据角平分线的性质，可以到的三边距离相等的点是的三条角平分线的交点，本题得以解决．
【详解】解：到的三边距离相等的点是的三条角平分线的交点，
故选：．
8．D
【分析】由图可知甲出发小时后乙才出发的，可以对选项进行判断；由图提供的数据可以分别求出甲，乙的速度，可以对选项进行判断；利用速度除以速度等于时间，分别求出甲乙走完全程所用时间，可以对选项进行判断；设经过小时乙追上甲，利用路程相等列出方程求解即可．
【详解】解：由图可知甲出发小时后乙才出发的，甲比乙早小时出发正确，故选项正确，不符合题意；
由图可知：甲的速度为，
乙的速度为，
，
乙的速度是甲的速度的倍正确，故选项正确，不符合题意；
甲走完全程所用时间为，
乙走完全程所用时间为，
，
走完全程，甲比乙多用小时正确，故选项正确，不符合题意；
设经过小时乙追上甲，
解得：，
小时分钟，
选项错误，符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，从函数图象中获取关键信息并灵活运用是解答本题的关键．
9．B
【分析】根据题意可证AD是BC边上的高，设点Q关于直线AD对称的对称点为，可得，根据题意可证点在AB上，当且C、P、三点共线时，有最小值，根据等面积法计算求值即可．
【详解】解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵,
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求的值是解题关键．
10．D
【分析】由是高，是中线，是角平分线，可得，，，，根据的周长-的周长为，可判断①的正误；由，可得的面积的面积，进而可判断②的正误；由，可得，则，，即，进而可判断③的正误；由，可得，进而可判断④的正误；由，可得，解得，进而可判断⑤的正误．
【详解】解：∵是高，是中线，是角平分线，
∴，，，，
∴的周长-的周长为，①正确，故符合要求；
∴，则的面积的面积，②错误，故不符合要求；
∵，
∴，
∴，
，
∴，③正确，故符合要求；
∵，
∴，④正确，故符合要求；
∵，
∴，解得，⑤错误，故不符合要求，
∴①③④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线，中线，高．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
11．（5，2）
【分析】设点P的坐标为（x，y），然后根据向左平移，横坐标减，向下平移，纵坐标减，列式进行计算即可得解．
【详解】设点P的坐标为（x，y），
根据题意，x-2=3，y-3=-1，
解得x=5，y=2，
则点P的坐标为（5，2）．
故答案是：（5，2）．
【点睛】考查了平移与坐标与图形的变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
12．25
【分析】根据平行线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质得到，即，最后根据三角形内角和定理计算即可．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
故答案为25．
13．/12平方厘米
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，延长交于点D，证明，推出，进而可得，通过即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点D，
是的平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
14．（1，﹣1），（5，3）或（5，﹣1）．
【分析】根据题意画出符合条件的图形，根据图形结合A、B、C的坐标即可得出答案．
【详解】解：如图所示，共有3个符合条件的点，
∵△ABD与△ABC全等，
∴AB＝AB，BC＝AD或AC＝AD，
∵A（2，1）、B（4，1）、C（1，3）．
∴D1的坐标是（1，﹣1），D2的坐标是（5，3），D3的坐标是（5，﹣1），
故答案为：（1，﹣1），（5，3）或（5，﹣1）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和坐标与图形性质，注意要进行分类讨论，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
15．(1)4
(2)
【分析】（1）根据一次函数的图象及性质可得，解不等式组得，再取整数解即可．
（2）由（1）得：，当时，，当时，，根据y随x的增大而减小，进而可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
又为整数，
．
（2）由（1）得：，
，
当时，，
当时，，
y随x的增大而减小，
当时，求y的取值范围为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质．
16．(1)
(2)，，三点的坐标分别是
【分析】本题考查了轴对称性质、图形与坐标：
（1）运用割补法列式计算，即可作答．
（2）先根据轴对称性质，作出点，，三点，再根据平面直角坐标系中的位置，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，
，
∴的面积为；
（2）解：如图：

∴，，三点的坐标分别是
17．
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和是求出，再由直角三角形的两锐角互余即可求解，根据，即可得解．
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义基本知识．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解勾股值的定义是解题的关键．
（1）由勾股值的定义即可求解；
（2）设B点的坐标为，由，得到方程，进而得出，求出所有点B与坐标轴围成的三角形的面积即可．
【详解】（1）解：依题意，
（2）解：依题意，点B在第二象限，
则设B点的坐标为，
由，得到方程，，
即：．
故所有点B与坐标轴围成的图形如图所示的三角形，
故其面积为．
19．(1)见解析
(2)AE=4，BE=1
【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
【详解】（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
20．(1)
(2)或
【分析】本题考查了一次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）设点P坐标为，根据分两种情况即可求解；
【详解】（1）解：点A在y轴上，直线过点A，
令，则，
点A坐标为，
将点和点代入直线，
得，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：设点P坐标为，
令，即，解得：，
点C坐标为，
点，点，
，，，
，
当点P在上时，，如图
，
，
，
，解得，
点P坐标为；
当点P在的延长线上时，如图，

，
，
，解得，
点P坐标为；
综上所述点P的坐标为：或．
21．（1）；（2）11秒或12秒.
【分析】（1）由题意用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，即可求得t；
（2）根据题意用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，即可求得t的值．
【详解】解：（1）由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=16，
∴BP=AB-AP=16-t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，
即16-t=2t，解得t=，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ=BQ，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°．
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10（cm），
∴BC+CQ=22（cm），
∴t=22÷2=11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC，如图2所示，
则BC+CQ=24（cm），
∴t=24÷2=12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．掌握用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意结合方程思想进行分析．
22．（1）y＝﹣100x＋50000
（2）A型34台、B型66台，最大利润是46600元
（3）100
【分析】（1）根据“总利润＝A型电脑每台利润×A电脑数量＋B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y＝（400＋a）x＋500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x＋50000，当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．
【详解】解：（1）根据题意，y＝400x＋500（100﹣x）＝﹣100x＋50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x，
∵y＝﹣100x＋50000中k＝﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，
∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y＝（400＋a）x＋500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x＋50000，当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．
【点睛】本题考查一次函数的表示和应用，在理解题意的基础上熟练地用解析式表示一次函数并应用一次函数的性质是解题关键．
23．（1）；（2），见解析；（3），见解析
【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案；
（2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．
【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长至点M，使，连接，如图②所示．
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：
，
∴；
（3），理由如下：
如图③，延长交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．