安徽省安庆市桐城市第二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 计算：（ ）
A. 1B. C. 2D.
2. 抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为( )
A. B. C. D.
3. 若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ）
A. AC2=BC·ABB. BC2=AC·ABC. D.
6. 如图，，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是（ ）
A B. C. D.
7. 在中，点D，E分别在边，上，则在下列条件中，不能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的是（ ）
A B.
C. D.
8. 已知y关于x的函数表达式是y=ax2﹣2x﹣a，下列结论不正确的是（ ）
A. 若a=1，函数的最小值是﹣2
B. 若a=﹣1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大
C. 不论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
D. 不论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣2）和（﹣1，2）
9. 已知对于任意正整数n，都有a1+a2+a3+…+an＝n3，则＝（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知，且，则的值为__________．
12. 抛物线与坐标轴的交点个数为______个．
13. 如图，以等腰顶点为圆心的与相切于点，并与、交于、两点，连接．若，且的长为，则的长为______．
14. 如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为__．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的两点，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当时，的取值范围．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图,在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是, , .
（1）以点为位似中心,将缩小为原来的得到,请在轴右侧画出;
（2） 的正弦值为 .
18. 观察点阵图中点与等式之间的关系，寻找规律．
①；
②；
③；
④；
…
按照你发现的规律解答下列问题：
（1）第⑥个等式是______；
（2）用含（为正整数）的等式表示第n个等式，并证明其正确性．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的为无人机某次空中飞行轨迹，为延长线上一点，点，，，在同一平面内，，．若米，求的长．（结果保留整数，参考数据：，，，）
20. 如图，是的直径，C是圆上一点，，垂足为E，交于点D，点P在延长线上，连接、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求点B到的距离．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为秒，连接．
（1）若，求的值；
（2）若以为顶点的三角形与相似，求的值．
七、（本题满分12分）
22. 如图，抛物线经过点、.是线段上一动点（点不与、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点.过点作，垂足为点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）试求线段的长关于点的横坐标的函数解析式，并求出的最大值.
八、（本题满分14分）
23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．
（1）如图1，若∠B＝45°，则＝ ；
（2）如图2，若∠DCG＝30°，，求：＝ ；
（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？